КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 76, № 2, с. 228-242
УДК 535.36
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВОЛОКОН ПО РАЗМЕРАМ В ПОЛИДИСПЕРСНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВОЛОКНИСТЫХ МАТЕРИАЛАХ © 2014 г. А. Л. Черняков, А. А. Кирш
Научно-исследовательский центр "Курчатовский институт" 123182 Москва, пл. Курчатова, 1 Поступила в редакцию 30.04.2013 г.
Предложен простой метод определения средней длины волокон в единице объема полидисперсного волокнистого материала в зависимости от их диаметра. Метод состоит в измерении ослабления светового потока как функции расстояния до исследуемого образца. В методе проводится сопоставление результатов измерения потоков энергии, попадающих в приемник до и после рассеяния исследуемым образцом волокнистого материала, и используется интегральное соотношение, выражающее интенсивность света после прохождения случайной среды через корреляционную функцию электрического поля. Найдены выражения для корреляционной функции электрического поля после прохождения через слой полидисперсного волокнистого материала со случайным расположением и ориентацией волокон. Полученная корреляционная функция позволяет написать интегральное уравнение, выражающее логарифм отношения потоков энергии, попадающих в приемник излучения до и после прохождения через рассеивающую среду, через функцию распределения волокон по размерам. Решая это интегральное уравнение, можно определить функцию распределения волокон по размерам по результатам измерения ослабления света в зависимости от расстояния до точки наблюдения. Выполнены эксперименты с несколькими волокнистыми фильтрами, для которых проведены расчеты. Результаты решения интегрального уравнения согласуются с данными, полученными другими экспериментальными методами, и с визуальной обработкой снимков, полученных в электронном микроскопе.
Б01: 10.7868/80023291214010054
1. ВВЕДЕНИЕ
Различные природные и искусственные волокнистые материалы широко используются во многих отраслях промышленности [1]. Большое распространение получили изделия на основе стеклянных волокон и, в частности, стеклянные волокнистые фильтры, используемые для тонкой очистки газов. Волокнистые фильтры тонкой очистки газов изготавливают из субмикронных стеклянных волокон. Метод получения этих волокон с помощью диспергирования потоком горячего воздуха, приводящий к полидисперсным волокнам [2], не позволяет точно предсказывать получающуюся широкую функцию распределения размеров волокон. Однако знание этой функции необходимо для расчета течения газа внутри фильтра и определения эффективности фильтрации и перепада давления. Существующий метод визуальной обработки снимков в электронном микроскопе очень трудоемок, требует большого времени, использования снимков с различным масштабом увеличения, так как диаметры волокон могут отличаться в сто и более раз, и просмотра большой области сканирования фильтра, так
как распределение волокон может существенно флуктуировать на малых масштабах. Значительно упростить и ускорить получение информации о распределении волокон по диаметрам можно, применяя оптические методы рассеяния света.
Рассеяние света на структурных неоднородно-стях физических и биологических объектов является распространенным методом исследования, применяемым для определения концентрации, формы и размера неоднородностей для тонких образцов или слабо рассеивающих растворов [3— 6]. Волокнистые фильтры — это тонкий слой материала, который состоит из случайно расположенных длинных волокон, ориентированных в плоскости фильтра. Волокна, как уже говорилось, обычно полидисперсны, характеризуются широким разбросом по диаметрам. Хотя объемная плотность волокнистых фильтров порядка нескольких процентов, но уже при толщине ~0.1 мм фильтры с волокнами субмикронного размера сильно рассеивают видимый свет за счет многократного рассеяния. С этой же проблемой приходится сталкиваться при исследовании различных биологических тканей [7]. Однако если поме-
стить фильтр в жидкость с показателем преломления, близким к показателю преломления волокон, то интенсивность рассеяния можно существенно уменьшить и даже выполнить условия для применимости приближения однократного рассеяния света. Рассеянию света в так называемых мягких средах с малым отклонением показателя преломления от постоянной величины посвящено много работ, ссылки на которые можно найти в монографиях [3, 8].
В данной работе на примере фильтров, образованных цилиндрическими волокнами круглого сечения, мы покажем, какую информацию о структуре диэлектрических волокнистых материалов можно извлечь из измерения ослабления пучка света после прохождения через рассеивающий образец.
Схема эксперимента по измерению ослабления потока электромагнитного излучения после рассеяния на пористой волокнистой среде показана на рис. 1. Для описания результатов эксперимента по ослаблению интенсивности света в зависимости от высоты г в общем случае необходимо вычислять распределение электрического поля вдоль всего пути распространения пучка света от источника до приемника излучения.
2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ УЗКОГО ПУЧКА СВЕТА В ПЛОСКОСЛОИСТОЙ СРЕДЕ
Как видно из рис. 1, луч света от источника проходит через стеклянную кювету, наполненную жидкостью с показателем преломления, близким к показателю преломления волокон, и затем попадает в приемник излучения. Воздух, стекло кюветы, жидкость в кювете имеют различные показатели преломления, поэтому необходимо рассмотреть распространение узконаправленного пучка света через плоскослоистую среду.
Для описания распространения узконаправленного пучка света можно вместо полных уравнений Максвелла для электрического поля волны
Ё(г) = е1к7"Ё(г, р) использовать параболическое уравнение для комплексной амплитуды Ё(г, р), как это часто делается, например, при исследовании распространения лазерного пучка в турбулентной атмосфере [9, 10]
Ш—Ё +
дг
2 Л
дх2 ду2
Ё = 0, к = к0п,
(1)
Рис. 1. Схема эксперимента: 1 — источник света, 2 — светофильтр, 3 — кювета с жидкостью, 4 — образец исследуемого материала, 5 — приемник излучения.
координаты в направлении распространения пучка. В этом случае решение уравнения для электрического поля, распространяющегося в плоскослоистой среде, состоящей из дискретных плоских слоев, нумеруемых индексом q, толщиной ^ с показателями преломления пч, можно написать в виде интеграла по поперечным координатам р' в начальной плоскости
ж Г) = Р) =
= е
- гр - р')Етр')dp'.
(2)
Интегрирование в (2) ведется по всей начальной плоскости при г = г', а функция Грина параболического уравнения для среды, состоящей из дискретных плоских слоев, равна
'крр
где г — координата вдоль направления распространения пучка, х, у — координаты поперечного к направлению распространения вектора р, к0 — волновой вектор электромагнитной волны в воздухе, п — показатель преломления среды, I — мнимая единица. Для плоскослоистой среды в уравнении (1) волновой вектор к = к0п(г) зависит от
Я / \ с к 2г 2 2 2 ~
р) = -8 е г , р = х + у, г
2пг —п
,(3)
где 8/т — символ Кронекера, равный 1, если индексы элементов тензора совпадают (/ = т), и равен нулю в противном случае.
Эта функция получается из функции Грина для однородной среды [11] заменой координаты г на г
3
В частности, пусть в среде с показателем преломления, близким к 1, при г' = 0 имеем цилиндрически симметричный расходящийся узкий гауссов пучок
Е 0(0, р) = Се -лр
Л = Аг + А = 1 й2 - ¡к0/Я, й < Я.
(4)
фронта) имеет компоненты (пх 1
пг) =
2 2 2 1/2(2Л,х,2АУ,ко). Средняя
(ко2 + 4(Ах)2 + 4(Л;у2))^2 кривизна волнового фронта 2/Щ в начале коорди-
2 дпх дпу нат равна — = —х +--- = 4А(/к0.
Rf дх ду
На расстоянии г от входа в однородной среде из (2) получаем
Е0 (г, р) = —С-
1 +
21гЛ
ехр
Iко г - р
2 Л
1+
2-гл к0
(5)
1Е0 (г, р )|2 = Ик —4-
4 г2 1 + "М- (1 + К 4 2
х ехр
22 коР
Я
2й
2г
4 г\ к0 й
1 + --от. I 1 + К К2 V 2г
Я
(6)
Параметр Я, как видно из (6), определяет расстояние до фокуса = —Я/2, где интенсивность имеет максимальное значение. Из формулы (6) следует, что ширину пучка d можно определить, измеряя распределение интенсивности по сечению пучка в начальной плоскости при г = 0. Параметр Я можно найти, измеряя интенсивность излучения в центре пучка при р = 0 в зависимости от расстояния г или измеряя распределение интенсивности пучка света по поперечному сечению в какой-либо дополнительной плоскости г, отличной от начальной.
Теперь, используя формулу (6), вычислим поток энергии света, приходящийся на цилиндри-
ческий приемник радиуса Ь, находящийся на удалении г от начального сечения,
1о =
| Е°|2 (г, р) йр
я\С\У 2
Действительная часть коэффициента А, обозначенная как Аг, определяется шириной пучка d, а мнимая часть АI = к0/Я — радиусом кривизны волнового фронта Яг = Я/2 в начале координат. Действительно, фаза волны вблизи начала координат равна фv = кг + А(р2. Единичный вектор нормали п к поверхности постоянной фазы (волнового
1 - ехр
22 ко Ь
2 й
4 г21 + кУ I1 + К
К2
2г
(7)
3. РАССЕЯНИЕ СВЕТА ПРИ ПРОХОЖДЕНИИ СЛУЧАЙНОГО ВОЛОКНИСТОГО ФИЛЬТРА
При прохождении через волокнистую среду свет рассеивается, и это приводит к уменьшению интенсивности излучения, регистрируемого приемником. Для большинства используемых фильтров радиус волокон а больше 0.1 мкм, и, например, для зеленого света с длиной волны 0.53 мкм в среде с показателем преломления п0 = 1.5 получим к0ап0 > 1.9. Поэтому мы рассмотрим рассеяние света толстыми волокнами в пределе к0ап0 > 1 в среде с малым отличием показателя преломления среды п0 от показателя преломления волокон 5п = |п1 — п0| ^ 1. Произведение же к0аЪп может быть произвольным. Свет в этих условиях, как следует из теории аномальной дифракции [12], эйконального приближения [8] или квазиклассического метода Вентцеля—Крамерса—Бриллюэна [13], распространяется почти по прямой, приобретая дополнительную фазу при прохождении через волокна. Сравнение результатов расчета коэффициента экстинкции, полученных для сферы методом аномальной дифракции, с точными значениями теории Ми показывает, что даже при 8п ~ 1 они близки, начиная с к0ап0> 5 [14]. Толщина фил
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.