ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
< 4, 2008
НАДЕЖНОСТЬ, ПРОЧНОСТЬ, ИЗНОСОСТОЙКОСТЬ МАШИН
И КОНСТРУКЦИЙ
УДК 621.833.1:539.319
© 2008 г. Нахатакян Ф.Г.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА КОНЦЕНТРАЦИИ ИЗГИБНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ЗУБЬЯХ КОЛЕС С УЧЕТОМ УПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЙ И ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗГОТОВЛЕНИЯ И МОНТАЖА ЭЛЕМЕНТОВ ПЕРЕДАЧИ
Приведены результаты теоретических исследований по определению коэффициента изгибных напряжений в зубьях колес с учетом концентрации контактных давлений, вызванных упругими деформациями и погрешностями изготовления и монтажа элементов передачи. Получены формулы для определения коэффициента концентрации изгибных напряжений в зубьях колес, которые универсальны и позволяют определить изгибные напряжений зубьев зубчатых колес и зубчатых соединений. Построены эпюры изменений коэффициента концентрации изгибных напряжений по длине зубьев при наличии перекоса.
Рассмотрим вопрос определения коэффициента изгибных напряжений зубчатых передач с учетом концентрации контактных давлений, вызванных упругими деформациями и погрешностями изготовления и монтажа элементов передачи.
Существующие методы расчета на прочность зубчатых передач [1] относятся к цилиндрическим передачам и основываются на введении условной расчетной удельной нагрузки, представляемой в виде произведения номинальной удельной нагрузки на ряд коэффициентов, учитывающих реальные условия работы передачи. Такой подход, несмотря на его широкое распространение, вызывает возражение в связи с условностью учета реальных условий работы передачи при определении, по существу, фиктивной расчетной удельной нагрузки в зацеплении. Вообще понятие "удельная нагрузка" теряет смысл, если речь идет о зубчатой передаче с точечным начальным касанием зубьев, связанным с геометрией контактирующих поверхностей зубьев и погрешностями их взаимного положения.
Учитывая типовые отказы зубчатых передач, методы расчета их на прочность должны включать оценку контактной выносливости боковых поверхностей зубьев, износа, изгибной выносливости, контактной и изгибной прочности зубьев при действии максимальной нагрузки, с учетом геометрических параметров и погрешностей взаимного положения боковых поверхностей зубьев. Во всех случаях для таких расчетов требуется знание фактических контактных и изгибных напряжений на зубьях зубчатых колес.
Целью настоящей работы является определение коэффициента изгибных напряжений в зубьях цилиндрических колес в общем случае (с учетом концентрации контактных
давлений). При линейном касании зубьев, когда боковые поверхности зубьев в зоне касания моделируются цилиндрическими параболоидами, контактные напряжения он на зубьях определяются из решения классической контактной задачи Г. Герца [2]:
он = 4кдТкц , где q = Р/1 - распределенная нагрузка; Р - нормальная сила в зацеплении;
I - длина зуба; к = Я-1 ± В.- - приведенная кривизна зубьев с радиусом кривизны В1 и В2
2
на линии контакта; п = 1- V2) / Е; - упругая постоянная материалов колес; V;, Е; -
; = 1
коэффициент Пуассона и модуль упругости ;-го зуба. Что касается определения контактной деформации сжимаемых цилиндров, то известно, что Г. Герц не привел формул для их определения. Это, по-видимому, связано с особенностями, возникающими при использовании им модели контактирующих тел в виде упругого полупространства.
В справочной литературе [2] приводится расчетная формула для сближения цилиндров ан в виде
ан = $КЕ1п (В/Ьн), (1)
которая дает нелинейную связь между ан и q.
Здесь Ьн = -У(4п7лк^ - полуширина площадки контакта по Г. Герцу, КЕ - постоянная материала контактирующих тел.
Из зависимости (1) следует, что ан неограниченно возрастает с увеличением В - факт, не объяснимый физически и противоречащий экспериментам. Для определения контактной деформации ан, при отсутствии перекоса, можно пользоваться формулой [3]
ан = Ка ФЕ, (2)
где Ка - константа.
Из последней формулы следует линейная связь между перемещением ан и нагрузкой q, что подтверждено экспериментально [4], методом голографической интерферометрии. Наличие погрешностей и упругих деформаций элементов передачи приводит к начальному неприлеганию зубьев и исключает возможность использования решения Г. Герца для определения параметров контакта зубьев. Отсутствие точного решения контактной задачи о сжатии цилиндров с непараллельными осями предопределило поиск приближенных решений этой практически важной задачи.
Для определения коэффициента Ку, учитывающего перекос осей цилиндров, воспользуемся зависимостью [3]
Ку = 1 + 0,65 (/у / ан)2/3 (3)
где у - угол перекоса цилиндров, I - длина цилиндров. В этом случае контактная деформация Оу определяется [3] а^, = а^К^. Здесь ан определяется по формуле (2), а Ка = 4,05 [3].
Входящий в формулу (3) угол у обусловлен технологическим перекосом ут и дефор-мативным у, перекосом собственно зубьев
у = ут - у3. (4)
Определение у, требует использования численных методов теории упругости для оценки напряженно-деформированного состояния зуба-консольной плиты при произвольном характере его нагружения. Однако представляется целесообразной приближенная оценка угла у.. Достоинством приближенных расчетных моделей является простота получаемых результатов, возможность легко оценить влияние конструктивных и технологических параметров на прочность передачи. Эту оценку можно проводить, что
очень важно, на стадии проектирования. С этой целью воспользуемся дискретно-континуальной моделью зуба, согласно которой зуб колеса представляется в виде набора дискретных консольных балок (в поперечном направлении), объединенных между собой балками на упругом основании (в продольном направлении), упругим основанием для которых служат консольные балки.
Экспериментальная оценка этой модели зуба показала, что она с удовлетворительной точностью соответствует имеющимся экспериментальным данным, полученным на моделях консольных пластин и зубьев. При этом было установлено [6], что зуб в продольном направлении деформируется подобно балке конечной длины на упругом основании. Из [5] следует, что связь между ут и у, можно представить в виде
у3/ут = 0,506 (ß О0,11 (ан//ут )n(ßl), (5)
где n(ßl) = 0,39(ßl)-0,25; ßl = (Kl 4/4EI)1/4 - безразмерный параметр длины балки; K - коэффициент жесткости упругого основания; EI - жесткость балки на изгиб; l - длина балки.
Для консольных пластин было установлено [6], что безразмерный параметр высоты зуба
ßh = (1,1 Yp)-1, (6)
где h - высота зуба, Yp = yp/h, yp - координата точки приложения силы по высоте зуба. Из (6) легко получить
ßl = L / (1,1 Yp), (7)
где L = l/h - безразмерная длина зуба в долях высоты. Из (5) для точки на делительной окружности (Yp = 0,56) получено [5]: уз/ут = 0,534L0'11(ан/lyт)0,296.
С учетом полученных зависимостей, появляется возможность оценить влияние погрешностей и упругих деформаций элементов передачи на изгибные напряжения в произвольной точке по длине зуба. Для зубьев с прямолинейной образующей анализ изменения прогиба зуба-балки по длине (а в соответствии с дискретно-континуальной моделью зуба и изгибных напряжений в заделке) при варьировании длины линии нагружения
(а значит и коэффициента концентрации контактных давлений K) lK = lK/l от 0,0 до 1,0 и параметра ßl от 1,0 до 7,0 показал, что величину коэффициента концентрации изгибных напряжений Ka( X) по длине зуба можно искать в виде
Ka(X) - Kа(l) = [Kа(0) - Kа(l)](1- x) (Ky'ßl), (8)
где Ka(0), Ka(l) - суть коэффициенты концентрации изгибных напряжений на торцах зуба (при X = x/1 = 0 и X = l соответственно).
На рис. 1 для наглядности показана зависимость K a( X) = [ K а( X) - K а( l)] /[Ka(0) - K а( l) ]
от X для lK = 0,6 (Ky = 3,33) при варьировании ßl от 1 до 5 (1 - ßl = 1, 2 - 2, 3 - 3, 4 - 4, 5 - 5). На основе проделанного машинного эксперимента при варьировании коэффициента контактных давлений Ky в широких пределах и безразмерного параметра длины зуба ßl получены зависимости для [Ka(0) - 1] и [Ka(l) - 1] от (Ky - 1) для различных значений параметра ßl.
По результатам расчета на рис. 2 построена зависимость [Ka(0) - 1] от (Ky - 1) при варьировании ßl от 1 до 5 (1 - ßl = 1, 2 - 2, 3 - 3, 4 - 4, 5 - 5). Анализ результатов расчета позволил получить эмпирические зависимости для определения коэффициентов изгибных напряжений Ka(0) и Ka(l) в виде
Ka(0) = 1 + 1,43(ß l )0,9[( K ^-1 )/9 ]n K a( l) = 1-5,1(ßl)-1,1[(Ky-1 )/9 ] "2 (9)
к0(-) 1,0
[К0(0) - 1]
О 1
д 2 • 3
к0( -
5^
3 -
1
0 -
0 0,2 0,6 х 1,0 0 2 6 (К,,- 1) 10 -0'5 0,25 0,50 0,75 -
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
Рис. 3. Сопоставление расчетных (линии) и экспериментальных (точки) данных: 1 - у = 1, 2 - 0,5, 3 - 0,25 град.
Для показателей степени п; получены зависимости
п(Кг в/) = 1 + 0,029(Ку - 1 )Пз, (10)
где п1 = 0,34(р0°'5; п2 = 1,22(р0-2,3; п3 = 0,84(р/)°'7.
Полученные зависимости (9) можно аппроксимировать для параметра р/ в диапазоне от 1 до 5 следующими выражениями:
Ка(0) = 1 + 0,754(р/)0,3(К -1 )п1, Ка(I) = 1 - 2,713(р/)-0,'2(Ку -1)
0,72
(11)
При р/ = 3, что справедливо для большинства типоразмеров зубчатых колес, с учетом (7) из (9) и (10) получим
Ка( 0) = 1 + 2,21 Ь°'9[( Ку -1) /9 ]0,59, Ка( /) = 1-3 Ь 1,1 [(Ку -1 )/9]0,097; 1 0 1
п = 1 + 0,029 (Ку -1) .
Используя (5) с учетом (6), можно переписать
К а(0) = 1 + 0,469Ь0'9 (/ут / ан )0,4( 1- у 3/ут )0,4,
V /7ч 1 „,,,,-1^, , ..0,064 0,064
Ка( /) =1 - 2,32 Ь (/ у т / ан) (1- у 3/ут) . В частности, при Ь = 1,84 из (12) получим
Ка(0) = 1 + 1,05(Ку - 1 )0,59, Ка(/) = 1 - 1,23(Ку - 1 )0,097
(12) (13)
(14)
К а( 0) = 1 + 0,812( /у т/ан)0,4 (1- у 3 /ут )0,4,
0,064 0,064
Ка(/) = 1 - 1,19(/ут/ан) (1 - у3/ут)
Для экспериментальной проверки полученных зависимостей обратимся к приведенным в [7] результатам определения коэффициентов изгибных напряжений зубьев с прямолинейной образующей при варьировании угла перекоса ут по длине зубьев (рис. 3).
или
Здесь же приведены результаты расчета по зависимостям (8), (13) и (14), которые с хорошей точностью соответствуют экспериментальным данным. Таким образом, полученные зависимости (5), (9) и (11) для определения коэффициентов концентрац
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.