УДК 550.361.4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕМПЕРАТУРОПРОВОДНОСТИ ОСАДОЧНЫХ ПОРОД НА ОСНОВЕ НЕЛОКАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ДРОБНОМ ИСЧИСЛЕНИИ © 2014 г. М. Р. Шабанова, Р. П. Мейланов, Р. Р. Мейланов, Э. Н. Ахмедов
Институт проблем геотермии Дагестанского научного центра РАН, г. Махачкала
E-mail: mumina@me.com Поступила в редакцию 08.08.2013 г.
На основе уравнения теплопроводности в производных дробного порядка и экспериментальных данных по измерению распределения температуры в верхних слоях Земли исследована зависимость коэффициента температуропроводности от глубины при различных значениях параметров нелокальности по времени и координате. Показано, что температуропроводность увеличивается с глубиной и экспериментально наблюдаемые значения температуропроводности совпадают с расчетными значениями, полученными на основе нелокального уравнения теплопроводности, учитывающего эффекты памяти в производных дробного порядка по времени.
DOI: 10.7868/S0002333714050056
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время, несмотря на накопленный экспериментальный материал и многочисленные теоретические построения, изучение теплофизи-ческих свойств осадочных пород далеко от завершения [Бабаев, 1987; Сидорцова, 2009; Чехонин, 2012]. Исследование теплофизических параметров и выявление общих закономерностей явлений тепломассопереноса осадочных пород затруднены рядом обстоятельств. Прежде всего, сложная структура пор и гетерофазность пород приводят к необходимости учета нелокальных свойств по времени (эффект памяти) и координатам (эффект пространственных корреляций) [Лавров, 2004]. Это связано с наличием развитой межфазной структуры, которая представляет собой особое состояние вещества, занимающее промежуточное положение между взаимодействую -щими фазами. Природа межфазной структуры до конца не ясна, это приводит, во-первых, к необходимости привлечения представлений геометрии дробной размерности, во-вторых, к сложной природе релаксации неравновесных процессов. При этом не выполняется принцип локального равновесия и необходимо исходить из принципа локального неравновесия, что в свою очередь приводит к необходимости учета нелокальных свойств. Следующее обстоятельство связано с изменчивостью механических параметров, минералогического состава, что затрудняет сопоставление экспериментальных данных разных авторов, приводимых без подробного описания изученных образцов. Это затрудняет обобщение материала и выявление закономерностей взаимосвязи тепловых свойств с со-
ставом и структурой породы, знание которых необходимо не только для проведения геотермических исследований, но и для понимания физической природы теплопереноса в сложных геофизических средах. В этой связи актуальным становится с одной стороны проведение дальнейших экспериментальных исследований с применением тепловизоров и лазеров для создания четкой и внутренне законченной картины теплофизики материала осадочной толщи литосферы [Вавилов, 1991; 2009; Власов, 2002; 2004], с другой — дальнейшее развитие математической теории нелокальной теплопроводности [Алхасов, 2011; Мейланов, 2011].
Фундаментальной физической причиной необходимости учета нелокальных эффектов в сложных системах является особенность природы спектра характерных времен релаксации неравновесного состояния к равновесному состоянию, приводящая к медленной релаксации корреляционных связей, когда многочастичные функции распределения не распадаются на произведения одночастичных функций распределения. В результате нарушаются условия выполнения принципа локального равновесия, традиционные методы "сокращенного" описания в статистической физике становятся не пригодными и необходимо исходить из принципа локального неравновесия. Исследование неравновесных процессов в условиях принципа локального неравновесия приводят к необходимости учета эффектов памяти (нелокальность по времени) и пространственных корреляций (нелокальность по координате) и развития принципиально новых методов анализа, основанных на применении математического
83
6*
аппарата интегро-дифференцирования дробного порядка — дробного исчисления.
Отметим еще одно обстоятельство, имеющее фундаментальное значение. Традиционный статистический подход при описании неравновесных процессов основан на предположении о существовании параметров "сокращенного описания", выделяющихся большими временными масштабами. При этом более важно то, что наряду с иерархией временных масштабов, позволяющих ввести "сокращенные параметры", существует также и определенная субординация между медленно и быстро меняющимися величинами благодаря возникновению особого рода корреляций частиц системы. Эти корреляции и приводят к тому, что параметры сокращенного описания системы начинают определять состояние системы и не нужно всякий раз проводить усреднение микроскопической динамики системы [Куни, 1981]. Для этого необходимо, чтобы характерные времена корреляций микроскопических переменных т mic были значительно меньше характерных времен изменения макроскопических (параметров "сокращенного описания" или гидродинамических параметров) времен Tmac: т mic <§ тmac. Это соотношение лежит в основе различных процедур усреднения многочастичных функций распределения с последующим выводом традиционных уравнений движения для явлений переноса. Однако для широкого класса веществ, особенно имеющих фрактальную структуру, имеет место медленная релаксация быстрых процессов. Эти
-а -г-,
процессы происходят по степенному закону т . В этом случае в системе быстрые процессы не успевают релаксироваться за времена порядка Tmac. Для таких быстрых процессов нарушается условие Т mic < т mac и имеет место условие Тmic » т mac. В конечном итоге это приводит к расходящимся величинам в кинетических коэффициентах и к яркому проявлению нелинейных свойств, эффектов памяти, самоорганизации. Для таких систем также характерно отсутствие локальных приближений как по пространственным, так и по временным характеристикам. Это приводит к отказу от традиционных методов усреднения при статистическом рассмотрении. В результате вместо традиционных уравнений математической физики необходимо исходить из математического аппарата интегро-дифференцирования дробного порядка [Самко, 1987; Нахушев, 2003; Учайкин, 2008].
Отметим, что учет эффектов памяти и пространственных корреляций в рамках традиционных подходов приводит к появлению в дифференциальных уравнениях интегрального оператора, ядро которого несет информацию о природе нелокальности. Для решения таких уравнений интегральные операторы представляются в виде ряда дифференциальных операторов с возрастающим показателем порядка диф-
ференцирования и при наличии малого параметра ограничиваются несколькими членами ряда. В отсутствии малого параметра такой подход оказывается непродуктивным и, кроме того, полученные уравнения не всегда удается решать.
Новый этап развития нелокальных уравнений теплопроводности связан с развитием математического аппарата интегродифференцирования дробного порядка — дробного исчисления. Операция дифференцирования дробного порядка, включая в себя определенное сочетание обычных производных и интегралов, открывает принципиально новый подход к теории нелокальных дифференциальных уравнений и их прикладных аспектов. Дробное исчисление, внося в теорию дополнительные параметры в виде показателей производных дробного порядка, дает возможность использования широкого класса многопараметрических функций и открывает тем самым принципиально новые возможности интерпретации экспериментальных данных и создания адекватных количественных моделей процессов нелокального переноса [Самко, 1987; Нахушев, 2000; 2003; Ки1кЬ, 2000; Мейланов, 2001; Матагё1, 2001; Нахушева, 2006; КПЪаз, 2006; Учайкин, 2008].
Настоящая работа посвящена определению зависимости коэффициента температуропроводности от глубины и параметров нелокальности осадочных пород на основе каротажных данных с применением решений нелокального уравнения теплопроводности в дробном исчислении для задачи без начальных условий [Тихонов, 1972].
ЗАДАЧА БЕЗ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
В геотермии задача без начальных условий применяется для исследования распространении суточных, годовых и вековых колебаний на поверхности вглубь земли [Тихонов, 1972; Демежко, 2009]. При этом определяется глубина распространения колебаний температуры вглубь земли, фаза запаздывания колебаний и температуропроводность. При обобщении задачи без начальных условий на основе нелокального уравнения теплопроводности удобно исходит из решения задачи для полупространства, в котором необходимо перейти к пределу устремления начального момента времени в минус бесконечность.
Рассмотрим задачу для полупространства, когда 0 <2,<да, т> 0. В этом случае уравнение теплопроводности в производных дробного порядка принимает вид [Мейланов, 2011]
даТ(%, т) _ DдвТ(%, т) _ T ( То) = 0 дта д^ Г (1 _ а)та
(1)
с граничным условием Т (0, т) = ц(т), D = at 0 / x2 — безразмерный коэффициент температуропроводности, где a2 = X/ cpp — коэффициент температуропро-
водность среды, ср — удельная изобарная теплоемкость, р — плотность вещества, X — коэффициент теплопроводности, 0 < а < 1, 0 < в < 2; т = ¿Д0, 2 = х/х0 — безразмерные время и координата, ¿0, х 0 — характерные время и масштаб, Г(х) — гамма-функция Эйлера. д"Т &т) = 1 д Г -
дта Г(1 - а)дт -Г (х- ¿)а производная Лиувилля учитывает память (нелокальность во времени). Производная Рисса учитывает пространственные корреляции (пространственная нелокальность) определена на полупрямой и задается выражением [Самко, 1987]
да да
1
J Е-rl Е.
—да —да
= ,
1-¥Ю, $ < 0J и (I, т) =
Jdk Jexp(-/k(2, - ^)m^a>ibD|£|e та).
—да —да
Рассмотрим Uт) только в области ^ > 0, где U (£, т) = T& т). Имеем
U (Q т) =
да да
= J dk J d^' exp(-/k(2, - в та) =
-да —да
= П Jdk JdQ sin(k^)sin(k^')v(^')Ea>1(-D|kв та).
0 0
Таким образом, искомое решение 71(2,, т) задается выражением
Щ, т) = П Jdk Jd£v(^')sin(k^)sin(k^')Ea,(-Dkвтa).
Для определения T2(%, т) используя принцип Дюа-меля [Тихонов, 1972], получим
2D
п
Ш Т) =
да т
Jdk JdT'- Т')Т'a lEaA{-Dk Va).
0
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.