ФИЗИКА ЗЕМЛИ, 2008, № 4, с. 74-82
УДК 550.83
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАМАГНИЧЕННОСТИ ГОРНЫХ ПОРОД, РАСПОЛОЖЕННЫХ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ, ПО ВНЕШНЕМУ МАГНИТНОМУ ПОЛЮ
© 2008 г. Е. Г. Булах, Н. А. Слободник
Институт геофизики им. С И. Субботина НАН Украины, г. Киев, Украина Поступила в редакцию 07.11.2006 г.
Решена обратная задача магнитометрии для горизонтального слоя. Массы модели намагничены неоднородно. Вектор намагниченности есть функция двух горизонтальных координат. По внешнему магнитному полю восстанавливаются составляющие этого вектора.
PACS: 91.25.Rt
ВВЕДЕНИЕ
Задача, которая будет рассмотрена ниже, имеет много общего с аналогичной гравиметрической задачей. Последняя была поставлена давно. Следует обратиться к работе В. М. Новоселицко-го [1965]. Избыточная плотность масс, которые заполняют горизонтальный слой, может быть определена как функция горизонтальных координат точки по аномалии силы тяжести. Задача сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода.
О трудностях решения таких задач хорошо известно. Можно обратиться к примеру, который был приведен А.Н. Тихоновым [1967]. Показано, как решение сильно зависит от погрешности исходных данных. Для решения задач такого класса должен быть использован метод регуляризации. Некоторые подходы приводятся в монографии С.М. Оганесяна [2004]; в работе П.С. Мартышко и Д.Е. Кокшарова [2005].
Аппроксимационный подход позволяет стабилизировать решение и в значительной степени упростить его. Есть опыт решения такой задачи [Булах, 2003; 2006].
Магнитометрическая задача значительно сложнее гравиметрической. Подлежит определению векторная функция двух переменных.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть в некотором объеме Цг размещаются неоднородно намагниченные массы. Степень интенсивности намагничивания определена вектором намагниченности.
Установим теперь форму и размеры области W. Выберем систему координат. Начало ее расположим в точке на дневной поверхности. Ось аппликат направим вертикально вниз, тогда координатная плоскость ХОУ (или ^Оп) будет совмещена с дневной поверхностью, если последняя является горизонтальной плоскостью.
Пусть теперь в интервале глубин г = Н1 и г = Н2 выделен горизонтальный слой. В этом слое и размещаются намагниченные объекты. Простирание слоя определим прямоугольной областью:
D: [a b; c <ц< d ].
(1)
Намагниченные массы в точках внешнего пространства обусловили магнитное поле. Известно, что потенциал этого поля может быть записан так:
и(х, у, г) = Л I, ^V)йт =
W
= Ш( ^х + IyVy + IV )йт; (2)
W
1
V =
- х)2 + (п - У)2 + (Z - z)2]]
йт = й^йцй^ - элемент объема.
Выше уже отмечалось, что массы намагничены неоднородно. Вектор намагниченности есть функция координат точек. Введем следующее ап-проксимационное построение:
/д,п) = X
Далее введем следующее правило. Если точка располагается внутри намагниченных масс, то бу- „
дем писать: М п, С). Если же точка внешняя по отношению к этим массам, то запишем: М (х, у, г).
п [ 1 + А1Д - / + А2j(n - По/]а
й,
2П а
~ [ 1+ й 1Д - ^о/ + й2j(n - По/]
m
С;
^п) = У- 2 2 а-
/Т1 [ 1 + С 1 Д - ;)2+ С 2 - П 0 ) ] Перепишем формулы (3) следующим образом:
т
/х(%,П) = У А; Х
; = 1
х ехр (-а 1п [ 1 + А1 /% - %о/ + А2/п - По/]);
т
/,(5,п) = У В
х
(3.1)
х ехр (-а 1п [ 1 + В1 /% - % о / + В2 /п - П о / ]);
/Д,п) = У С
х
Я 2
Н2
Я 2
= И /х | + /у | ^ху^С + ^ |
Н1
Ту =
Н
= II /х I + /у | Ууу^ + /. |
Н2
'у J ' ху1" Н1
д): ду
Н2
г I ' хг^ Н1
Н2
Б Я1
Н2
Я1
тгг = =
д г
Я 2
г | ' уг" Я1
Я2
(4)
= II /х I + /у I VyгdZ + /г I VггdZ
перных точек. В этих точках известен вектор намагниченности пород.
2. ОПИСАНИЕ НАЧАЛЬНОЙ ГЕОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Пусть установлено, что геологическая модель представляет собой горизонтальный слой. Он определен положением кровли - плоскости г = Я1 и положением подошвы - плоскости г = Я2. Запишем:
Р1 = [ Я1; Я 2 ].
(5.1)
Оба эти параметра закреплены и при решении задачи не меняют своего значения.
Массы, которые размещаются внутри горизонтального слоя, намагничены неоднородно. В слое выделена система т точек:
т
; (%о;-,По;-); ; = 1, 2, ..., т.
(5.2)
х ехр(-а 1п[ 1 + С1/% - %о/ + С2/п - По;)2]).
Каждая из трех функций определяется т слагаемыми и соответственно т центрами:
т; (%о;, По;); ; = 1, 2, ..., т.
Теперь может быть определено теоретическое поле. Область Цг получила свое описание. Запишем составляющие теоретического вектора напряженности поля:
т, )и
тгх = =
д х
Они размещены внутри фиксированной ранее области Б (запись (1)). Удобно расположить эти точки по регулярной сети. Сеть определим следующими величинами:
Р2 = (%«о, А%о, %^),п«о, АПо,П^о).
(5.3)
Здесь записаны: абсцисса начальной точки, шаг по оси абсцисс, абсцисса конечной точки, ордината начальной точки, шаг по оси ординат, ордината конечной точки. В этом случае количество точек определится следующим образом:
т=
%ок - %о« , ЛГПок - По«
А%о
+1
АПс
+1
(5.4)
у уг г гг
Б Я1 Я1 Я1
Задача состоит в следующем. Известно внешнее магнитное поле. Принята гипотеза о том, что массы, намагниченные неоднородно, располагаются в выделенном горизонтальном слое. Границы этого слоя закреплены. Требуется восстановить составляющие вектора намагниченности пород выделенного слоя.
Сделаем одно примечание. Априорные данные могут быть такими, что можно будет в условие задачи включить сведения о положении ре-
По сути дела, эти точки определяют структуру функций (3). Они не будут изменяться при решении задачи.
Обратимся к формулам (3). Если положение т точек зафиксировано, то функции определяются параметрами:
Р3 =
= {т; а; [(А, А1, А2, В, В1, В2, С, С1, С2); (5.5) ; = 1, 2, ...,т]}.
Поясним эту запись. Зафиксировано положение т точек. Установлено численное значение параметра а. В каждой -той точке функции (3) определяются системой трех параметров.
Теперь обобщим изложенное. Модель описывается следующими параметрами:
Р = { Р1; Р 2; Р 3 } =
= {(Я1; Я 2); (%о п, А%о, %о к, Поп, АПо, По к); т; а; [(А, А1, А2, В, В1, В2, С, С1, С2);
; = 1, 2, ...,т]}.
(5.6)
т
т
Как отмечалось выше, в геологической модели могут быть зафиксированы реперные точки. Имеем:
[к; (^; П; 1пхг'; 1Пу1; 1пгц); ) = 1, 2, к]. (5.7)
Здесь записано, что в слое введено к реперных точек. Определены их горизонтальные координаты и значения составляющих вектора намагниченности.
3. ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ
Пусть теперь определена геологическая модель. Каждому параметру в векторе (или кортеже) (5) присвоено численное значение. Формулы (4) позволяют получить три компоненты теоретического поля. Нужно эти формулы записать в удобном виде.
+
(6)
+
= { Tnz( i); Tnx( i); Tny( i)}
(9)
Ttx(x, y, z) = J J [Kxx(x, У, z, П)
D
+ /y(t П)Kxy(x, y, z, n) +
+ /z(^,n)Kxz(x, y, z, £,n) ]ds; Tty(x, y, z) = J J [ /x (£, П) Kxy( x, y, z, t П) +
D
+ /y(£, n)Kyy(x, y, z, t n) +
+ /z(^, n)Kyz(x, y, z, n) ]ds; Ttz(x, y, z) = JJ[/xn)Kxz(x, y, z,^,n)
D
+ Щ, n)Kyz(x, y, z, n) + + /z(^,n)Kzz(x, y, z,^,n) ]ds.
Функции, которые находятся под знаком интеграла, получены в конечном виде. В формулах (6) перейдем к численному интегрированию.
4. О ВЫБОРЕ ИСХОДНОГО ПОЛЯ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
В практику полевых работ магниторазведки входит трехкомпонентная съемка. Аномальное магнитное поле определено в точках дневной поверхности. Эта поверхность может быть негоризонтальной плоскостью, поэтому каждая ее точка определяется тремя координатами. Зафиксировано п таких точек. Таким образом, первый массив исходных данных может состоять из следующих величин:
{Тпг(х„ у,-, г); Тпх(х„ у¡, г); Тпу(х„ у, г)} =
или:
Пусть в общем случае выбрано некоторое исходное поле:
ип(х,, у,-, г,) = ип(1 ); г = 1, 2,., п. (8)
Это может быть не только одна из составляющих напряженности поля, которая измерена в точках дневной поверхности, но и какая-либо производная наблюденного поля или иная ее трансформанта.
Следуя практике полевых работ, перед съемкой выбирают контрольный или нулевой пункт, а измеренное поле в любой --той точке есть приращение составляющей напряженности относительно поля в нулевом пункте. Имеем:
А2(г) = 2(1) - 2(0); АХ(г) = X(г) - X(0);
АУ(г) = У (г) - У (0).
Обычно полагают, что нулевой пункт выбран в нормальном магнитном поле, и аномалии, определяемые функциями (9), вызваны только неод-нородностями геологического строения. Вместе с тем, нет оснований полагать, что магнитное поле в нулевом пункте свободно от влияния совершенно посторонних намагниченных объектов. В практике полевых работ часто интерпретатор сам корректирует уровень отсчета аномального поля.
Поступим следующим образом. Для интерпретационных расчетов введем новую функцию - вариацию магнитного поля относительно поля в фиксированной точке. Обратимся к последовательности (8). Из совокупности г-тых точек выберем одну (г = I) с координатами (х0, у0, г0) и получим массив исходных данных как вариацию элементов магнитного поля относительно поля в четко выбранной точке:
5Тг(1 ) = АТг(1 ) - АТг(I) = (101)
= (Тг( г) - Тг(0)) - (Тг(1)- Тг(0)) = Тг(г)- Тг(1).
Аналогично запишем для других составляющих 5Тх(г ) = Тх(г) - Тх(I); (10.2)
5 Ту(г ) = Ту(г ) - Ту( I). (10.3)
Таким образом, ип ( г) принимает какое-либо из записанных выше значений.
5. СОПОСТАВЛЕНИЕ ИСХОДНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ С ТЕОРЕТИЧЕСКИМ ПОЛЕМ, КОТОРОЕ ОБУСЛОВЛЕНО ПРИНЯТОЙ МОДЕЛЬЮ
Пусть определено исходное аномальное поле -формулы (10). Допустим далее, что есть предпосылки сформировать геологическую модель и каждому параметру (запись (5)) присвоить численное значение. Может быть решена прямая задача и получено теоретическое поле - формулы (6). Имеем:
{ ATnz(i); ATnx(i); ATny(i)}; i = 1, 2,..., n. (7) Ut(x, y, z, Pt) = Ut(i, Pt); i = 1, 2,..., n. (11)
X, км 10
9-
8-
7-
6-
4-
2-
2 3 4 5
89 Y, км
Рис. 1. Пример 1. Исходное поле вертикальной составляющей (АТг) полного вектора напряженности магнитного поля, нТл.
Как и в случае исходного поля, отметим в совокупности формул (11) выделенную ранее точку (/ = I) с координатами (х0, у0, г0). Составим функцию вариации:
§Ut(i, l, Pt) = Ut(i, Pt)- U
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.