ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2007, том 43, № 4, с. 476-481
УДК 551.513
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННОЙ ДНАБАТНЧЕСКОЙ ЦИРКУЛЯЦИИ, ОСНОВАННОЕ НА ВАРИАЦИОННОМ ПОДХОДЕ
© 2007 г. А. С. Медведев
Институт Макса Планка по исследованию Солнечной системы 37191 Германия, Катленбург-Линдау medvedev@mps.mpg.de Поступила в редакцию 20.10.2006 г., после доработки 14.02.2007 г.
Диагностика диабатической циркуляции с использованием распределений скоростей нагрева и потенциальной температуры требует в каждом частном случае специальной и неоднозначно определенной поправки к функции тока для того, чтобы обратить рассчитанную глобально осредненную вертикальную скорость в ноль на любом изобарическом уровне. До настоящего времени физическая природа этой поправки была мало объяснена, а для ее обычно используемой формы не было предложено достаточного обоснования. В данной статье эта поправка, а также ее неопределенность связываются с вихревым членом, обычно пренебрегаемым в рамках концепции диабатических скоростей. Разложение волновых потоков на адвективную и диффузионную составляющие не является однозначным. Это позволяет сформулировать вариационную задачу минимизации диффузионной компоненты волнового потока и тем самым нахождения адвективных скоростей, включающих в себя максимум адвекции, возбуждаемой волнами. Было получено однозначное решение этой задачи и исследована его связь со "стандартной" диабатической циркуляцией. Показано, что в приближении квазигоризонтальных изэнтроп обобщенная диабатическая функция тока совпадает со "стандартной". Это частично оправдывает использование поправки, обычно применяемой при расчетах диабатической циркуляции.
ВВЕДЕНИЕ
Диабатической циркуляцией называется адвективный перенос на меридиональной (широтно-долготной) плоскости, полностью определяемый диабатическим нагревом. Понятие диабатической циркуляции широко используется в диагностических исследованиях атмосферы [1-4]. Считается, что диабатические скорости хорошо описывают меридиональный перенос зонально осредненных примесей и среднезональной потенциальной температуры, в частности [5].
Основополагающей идеей в определении диабатической циркуляции является предположение о том, что эффект возмущений в уравнении переноса тепла, возникающий при зональном или любом другом осреднении, может быть целиком представлен в виде адвекции потенциальной температуры. В таком случае диабатическая скорость (V *, ) является суммой эйлеровской средней скорости (V, &) и индуцированной вихревой скорости, которая полностью включает себя вихревые потоки. В упрощенном случае, когда можно не учитывать нестационарность (дд = 0) и пренебречь меридиональной адвекцией на основе масштабного анализа (V0у < & ), осредненное уравнение термодинамики в ^-изобарических координатах упрощается к виду
W *0Z = Q.
(1)
Это уравнение определяет вертикальную диабати-
ческую скорость w * , где 0 и Q - это зонально осредненные потенциальная температура и диаба-тический нагрев, а буквенный индекс обозначает частную производную в соответствующем направлении. Меридиональная компонента диабатической скорости v * тогда может быть найдена из уравнения неразрывности для (v *, w *) путем введения соответствующей функции тока: v * = , W* = -Уу.
Интеграл по сфере от функции W * , взвешенной на площадь области, должен быть равен нулю, поскольку отсутствует глобальный перенос массы через любой изобарический уровень. В практических применениях это условие, как правило, не выполняется для заданных распределений Q и 0, и поэтому всегда требуется введение поправки к W *
или, в свою очередь, к Q. Шайн (Shine) [6] предположил, что эта коррекция возникает на практике из-за возможных неточностей в определении Q. Существует бесконечно много широтно зависимых функций, которые обращают среднеглобаль-ную вертикальную скорость W * в ноль. Шайн исследовал чувствительность диабатической скорости к различным способам коррекции [6]. Однако
только широтно независимая поправка к вертикальной скорости обычно примененяется на практике. В данной статье будем называть диабатиче-скую циркуляцию, полученную с помощью такой коррекции, "стандартной". К настоящему времени не было предложено никакого строгого объяснения такому способу достижения глобального баланса массы. По видимому, этот метод применяется в исследованиях главным образом из-за его простоты.
Чтобы разобраться в данной проблеме, полезно рассмотреть соотношение между диабатической и остаточной цикуляциями. Остаточная цикуляция на меридиональной плоскости - это адвективный перенос, определяемый как сумма средней эйле-ровской и индуцированной вихрями скоростей [7]. В отличие от диабатической циркуляции, диффузионная часть переноса в ней не должна обязательно быть в точности равна нулю. Разложение вихревого члена на адвективную и диффузионную составляющие не является однозначным. Поскольку этот член появляется в осредненном уравнении термодинамики только в виде дивергенции вихревого потока, V • v'0', где штрихи обозначают отклонения от средних, любой бездивергентный (со-леноидальный) поток может быть добавлен под знак градиента (V-). Этот соленоидальный поток, или калибровка, вносит вклад одновременно в адвективную и диффузионную составляющие, и поэтому обе эти компоненты в общем случае не равны нулю [8]. В конкретных приложениях требуются дополнительные ограничения, позволяющие разделить адвективный и диффузионный вихревые вклады. Таким образом, волновой перенос, описываемый вихревыми потоками, не может быть учтен в общем случае целиком через адвекцию. Например, индуцированная вихревая диффузия, описываемая с использованием формализма трансформированных эйлеровских средних (Transformed Eulerian Mean - TEM), равна нулю только в квазигеострофическом приближении для стационарных и адиабатических возмущений [7]. Строго говоря, такие возмущения не взаимодействуют со средним потоком и не создают переноса средней потенциальной температуры в целом.
Хотя диабатическая циркуляция в том виде, как она обычно понимается и определена в первом предложении данной статьи, может и не существовать в общем случае, можно, тем не менее, ее полезным образом переформулировать. В этой работе предлагается найти представление вихревого потока в форме, которая минимизирует диффузионную часть переноса и таким образом делает адвективную компоненту максимальной. Определенная таким образом скорость (v *, w *) будет включать в себя максимум индуцированного вихрями адвективного переноса, а широтная поправ-
ка, обсуждаемая выше, будет однозначным образом связана с "наименьшим" диффузионным вкладом возмущений. Данная статья построена следующим образом. В разд. 1 представлены основные уравнения. Вариационная задача сформулирована и решена в разд. 2. Полученная диабатическая циркуляция сравнивается со "стандартной" в разд. 3.
1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ Уравнение переноса тепла для средней потенциальной температуры 0 в log-изобарических координатах имеет вид
0t + V 0 y + w 0z = Q - P01 V-poV0', (2) где черта сверху обозначает зональное осреднение, Q - скорость диабатического нагревания или охлаждения, v' = (V, w') - двумерная (на меридиональной плоскости) вихревая скорость, р0 = p^exp (-z/H) - фоновая плотность, H - высота однородной атмосферы, - плотность на уровне z = 0. Оператор скалярного умножения (V-) в сферических координатах задается как (V ■) = (cos ф)-1 х Э(cosф)/ Эу + d/dz, где ф -широта, Эу = аЭф и a - радиус планеты. Чтобы параметризовать вихревой поток в терминах средней потенциальной температуры, обычно используется градиентно-потоковое соотношение
V0"' = -K V0. (3)
В (3) K обозначает тензор, компоненты которого должны быть найдены, а V0 = (Эу, dz) 0 является градиентом в сферических координатах. K может быть единственным образом разложен на симметричную и асимметричную части [9]. Асимметричная часть K связана с адвекцией, индуцированной волнами (асимметричной диффузией), а симметричная часть - с обычной градиентной диффузией. Таким образом, дивергенция вихревого потока в правой части (2) может быть представлена как
-Р01 VpoV0~' = -V0у - W 0z + p-1V • p0KV0, (4)
где симметричная часть K тензора аппроксимирована локально изотропной диффузией с единственным коэффициентом K(y, z), а скорости (V, w), индуцированные волнами, определяются асимметричной компонентой K. Уравнение притока тепла (2) тогда может быть записано в виде
0t + V*0у + W*0z = Q + р-1 V • poKV0, (5)
где скорости, индуцированные возмущениями, включены в введенную остаточную скорость: V * = = V + V, W* = W + W . В последующем будем пренебрегать нестационарностью 0t, поскольку она в любой момент может быть восстановлена фор-
мальным добавлением -0г к Q. Эйлеровская средняя скорость V = (V, й) удовлетворяет уравнению сохранения массы
V • роV = 0, (6)
и будем предполагать, что (V, й) обладает таким же свойством сохранения. Поэтому остаточная скорость (V*, й* ) также является чисто солено-идальной. Вводя массово взвешенную функцию тока ¥
V* = -(pocosф) 1 Чг, w* = (pocosф) 1 Чу и подставляя ее в (5), получим
- Чг 0у + Чу0г = cos ф(р o Q + V-po *V0).
Боковое граничное условие для Ч может быть найдено из (7). Во-первых, глобальный интеграл от взвешенной на массу и площадь скорости w * должен обращаться в ноль на любом log-изобари-
ческом уровне, J*^ p0cosфw*ёф. Тогда из второго
уравнения в (7) следует, что Ч должна быть периодической функцией на Южном и Северном полюсах, 4(SP) = 4(NP). Во-вторых, не существует зонально осредненного потока массы через полюсы, p0 V* (SP) = p0 V* (NP) = 0. Значит, как следует из первого уравнения в (7), 4z равно нулю на полюсах. Следовательно, функция тока Ч должна быть константой на обоих полюсах на всех высотах. Поскольку всегда можно добавить произвольную постоянную к функции Ч в (7), для того чтобы удовлетворить боковому граничному условию, а скорости (V *, W*) при этом не изменятся, точная величина Ч^Р) = Ч^Р) = const здесь значения не имеет.
Теперь удобно ввести единичные вектора й и s так, что й локально нормален к средним изэнтро-пам 0 = const, т.е. направлен вдоль
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.