КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2008, том 46, № 6, с. 553-558
УДК 629.78
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ДВУХ СПУТНИКОВ С ПОМОЩЬЮ ТРАЕКТОРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
© 2008 г. М. Ю. Овчинников, С. С. Ткачев
Институт прикладной математики им.М.В.Келдыша РАН, г. Москва Поступила в редакцию 01.03.2007 г.
Изложен способ определения относительной скорости движения двух спутников в начальный момент времени по результатам измерений системы NORAD. Показано, что определение относительного начального положения приводит к неудовлетворительной точности. Изложенный способ применяется к определению скорость отделения первого российского наноспутника ТНС-0 от Международной космической станции.
PACS: 45.50.Jf
ВВЕДЕНИЕ
Для определения орбитальных элементов спутника обычно используются специализированные наземные средства или бортовые навигационные приборы, однако для простых аппаратов можно обойтись общедоступными измерениями, поставляемыми системами контроля за космическим пространством. С помощью данных, получаемых такими системами, можно определять относительное движение двух спутников. Имея подходящую модель такого движения и используя статистические методы обработки данных, можно получить начальные условия движения - относительные скорости и отклонения.
Настоящая работа посвящена нахождению относительной начальной скорости движения первого российского наноспутника ТНС-0 и Международной космической станции (МКС). Спутник был выведен на орбиту с борта станции 28.III.2005 г. российским космонавтом С.Шарипо-вым, который, стоя на внешней стороне МКС, оттолкнул спутник рукой. Так как запуск осуществлялся вручную, то непосредственных измерений начальной скорости не проводилось. Однако в этих данных есть необходимость, например для последующего определения динамики спутника. Используя величину скорости отделения, можно оценить максимально возможные начальные кинетический момент и энергию вращательного движения спутника. Были использованы данные системы раннего оповещения КОИЛБ, допускающей относительно простой доступ к данным через Интернет (www.space-track.org). Известно, что при определении положения спутника на низкой орбите с помощью этих данных ошибка по положению составляет порядка сотен метров. Метод определения начальной скорости с использованием данных наблюдения системы КОИЛБ в нашем случае является чуть ли не единственным
доступным из-за отсутствия на спутнике навигационной аппаратуры. Неточное знание момента запуска ТНС-0 также осложняет задачу определения начальных относительных скоростей спутника. Основной целью настоящей работы является построение метода определения начальных условий движения по результатам измерений. Показано, почему предложенный в работе метод нецелесообразно использовать для определения начального положения спутника относительно станции. В качестве модели относительного движения спутника, параметры которой предстоит определить, выбрано возмущенное аэродинамическим сопротивлением решение задачи Хилла [1].
1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим уравнение Хилла. Оно описывает невозмущенное относительное движение, и в векторной форме выглядит следующим образом [1]:
j2 d s
dt
+ [ w, w, s] + 2
W,
ds
dt
= _ M_s + 3g_Tp_(rpLs)
3 + 5 •
Здесь ю - угловая скорость вращения радиус-вектора одного спутника (назовем его основным или материнским спутником) вокруг Земли, гр -радиус орбиты основного спутника, 8 - радиус-вектор другого спутника относительного основного. Другой спутник будем называть вторым
p
p
или дочерним. В координатной форме уравнение Хилла будет выглядеть так:
2 0 . ЦХ Х- Ю Х + 2fflz = —^""тт",
или с учетом малости Х V2 ~ Vx + Х. Отсюда F2 Fi
m2 m1
: — aVX • V1 — a2Vx • AV — a2Х • V1;
2
z — ю z
У + Ц = 0,
— 2 ю Х = —Ц"^3^.
r r
p p
Перепишем эти уравнения с учетом обозначения ю2 = Ц/ rp:
Х+ 2 Ю^ = 0, y + Ю2 y = 0, z —3 Ю21 — 2 ю Х = 0.
Как известно [1], решение этой системы при Ю = const имеет вид
2C 2 C
х =--22 sin (ю t) + —3 cos (ю t) — 1.5ю.С + C4,
Ю Ю 14
y = C5cos (ю t) + C6sin (юt),
CC z = —2 cos (Ю t) + —sin (Ю t) + C1,
Ю Ю 1
где C1, C2, C3, C4, C5, C6 - постоянные интегрирования. Этим исчерпывается невозмущенная задача Хилла. Как видно, она легко интегрируется. Теперь учтем наличие сопротивления атмосферы.
Сила лобового сопротивления, действующая на спутник, записывается в виде F = -amV • V, где a = Scxp/2m - баллистический коэффициент, S -сечение, cx - коэффициент лобового сопротивления, р - плотность атмосферы, V - скорость основного спутника. Силы, действующие на разные спутники, будут разные, так как спутники имеют различные скорости и баллистические коэффициенты. При расчетах берется некоторое осред-ненное по орбитальному и угловому движениям значение коэффициентов лобового сопротивления.
Пусть основной спутник движется по круговой орбите, тогда в орбитальной системе координат его скорость запишется следующим образом: V1 = = (Vx, 0, 0). Скорость второго тела можно представить в виде V2 = V1 + AV, AV V1, AV = (Х, y, z). Тогда
где а = а2 - ах. Считая, что угловое ускорение, связанной с основным спутником системы координат мало, пренебрегаем слагаемым, содержащим это ускорение. Тогда уравнение движения второго спутника относительно основного выглядит следующим образом:
d 2s
-— + [ w, w, s] + 2
dt
ds w, ~T -t
= ¡.1$» + 33 ¡1 • Г р • ( Гр , 8 ) _
3 + 5
Г г
рр
- аУх • V! - а2Ух • АV - а2х • V!.
В координатной форме это уравнение запишется так:
х'+2 ю Z = -аУХ -2а2 Ухх,
2
у + ю у = -а2 уху,
2
1-3ю z-2юх = -а2Ух^.
Используя метод Ван-дер-Поля [2] (быстрой переменной здесь является время, осреднение проводится по периоду Т = 2п/ю), получаем решение этой системы, которое запишется следующим образом:
x = —21 C^exp(—4.5a2Vxt) |sin(юt) + + 21 C3exp(—4.5a2Vxt) |cos(юt) —
— 1.5Юt( Gexp(6a2Vxt) +
aVx
3 a2 Ю
^ Л s- /->
+ C4 + 1.5n Gexp (6 a2Vxt) + — c3exp (—4.5a2 Vxt),
3 Ю
V2 = jv2x + 2 VxX + Х2 + y2 + z2
^ , a2 Vxt) y = C5exp( —x~ I cos(юt) +
+ C6exp ( — sin (ю t),
p
p
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
z = (-^exp(-4.5а2 Vxt)J cos (at) +
+ (--exp (-4.5 a2 Vxt sin (at) +
(~ aVx J
+ I Ci exp (6 a2 Vxt) + 7-7- .
V 3a2ay
Здесь Ci, ..., Сб - постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий.
2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ДАННЫХ СИСТЕМЫ NORAD
Для определения начальной относительной скорости кроме аналитической модели требуются также и данные измерений. В их качестве в этой работе используются измерительные данные системы NORAD. Они представляют собой наборы двухстрочных элементов. На www.space-track.org можно найти информацию по запущенным спутникам, начиная с 1957 года. Эти данные выглядят следующим образом:
1 25544U 98067A 05168.18002262 .00018232
00000-0 13543-3 0 7051
2 25544 051.6453 260.9417 0004123 265.7312
175.6907 15.72912223375689
В первой строке: 05168.18002262 (год - 2005 и время 168.18002262 в днях) и число 13543-3 (что означает 0.13543 ■ 10-3). Последнее является коэффициентом аэродинамического сопротивления, его размерность - это (радиус Земли)-1. Во второй строке: - 051.6453 наклонение орбиты в градусах, 260.9417 - долгота восходящего узла в градусах, .0004123 эксцентриситет, 265.7312 - аргумент перицентра в градусах, 175.6907 - средняя аномалия в градусах, 15.72912223 - среднее число оборотов за день. Они являются средними и получены с помощью исключения различных перио-
555
дических отклонений особым образом. Именно поэтому для построения движения по данным системы NORAD следует пользоваться только вполне определенными моделями, например, SGP4 (Simplified General Perturbations) www.space-track.org. Все объекты классифицируются NORADW как околоземные (с периодом меньше 225 минут) и объекты дальнего космоса (с периодом б ольшим либо равным 225 минут). В зависимости от этого используются различные модели (SGP4 - используется для околоземных объектов).
Итак, воспользуемся теперь данными для ТНС-0 и МКС, датированными 28.111.2005г, и моделью SGP4 для получения их абсолютного движения. Наборы двухстрочных элементов выглядят следующим образом (www.space-track.org):
Для МКС:
1 25544U 98067A 05086.99438763 .00013124
00000-0 10986-3 0 1123
2 25544 051.6481 316.3505 0005463 300.8762
198.6833 15.70356376362916
Для ТНС-0:
1 28547И 05010Л 05087.75558373 .00017889
00000-0 14070-3 0 17
2 28547 051.6421 312.4605 0006808 257.3869
230.0457 15.71551601 14
В результате получим движение МКС и ТСН-0 в инерциальной системе координат. После этого перейдем в систему отсчета связанную с МКС. Для этого, первым шагом сделаем переход в систему координат О^пС, с началом в притягивающем центре. Ось системы совпадает с направлением на перицентр орбиты, плоскость О^п совпадает с плоскостью орбиты. Этот переход осуществляется с помощью матрицы [3]
А =
/ л
cos Q cos a -sin Q sin a cos i sin Q cos a + cos Q sin a cos i sin a sin i
-cos Q sin a - sin Q cos a cos i -sin Q sin a + cos Q cos a cos i cos a sin i
sin Q sin i -cos Q sin i cos i
а затем повернем систему таким образом, чтобы радиус-вектор основного спутника совпадал с осью ОЪ новой системы координат, а ось ОХ была бы направлена по касательной к траектории основного спутника (МКС). Матрица этого перехода запишется следующим образом:
( j
T = cos ф sin ф V -sinф cosф у
Здесь ф - угол между осями OX и O\. Таким образом, произведя эти два поворота, мы получим движение ТНС-0 в системе отсчета, ось OX кото-
рой направлена по касательной к траектории МКС, ось ОЪ по радиус-вектору, а ОУ - перпендикулярно к плоскости орбиты. Далее, находя разность соответствующих координат, получим, требуемое движение ТНС-0 относительно МКС. Используя описанный алгоритм, получим данные по относительному движению для первого витка с интервалом по времени в одну минуту. В результате будем иметь 92 "тройки" чисел.
3. НАХОЖДЕНИЕ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ ДВИЖЕНИЯ
С помощью данных, полученных в предыдущем разделе, и аналитической модели (1) найдем начальные условия движения. Используя метод наименьших квадратов, найдем константы в уравнениях (1). Так как
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.