ена орбита, движение по которой складывается из движения фиктивного центра и движения относительно этого центра. Фиктивный центр может двигаться прямолинейно и равномерно. Движение относительно фиктивного центра описывается уравнениями задачи Гюльдена—Мещерского. Предельные значения параметров построенной орбиты при стремящемся к нулю опорном временном интервале задают сверхоскулирующую орбиту с касанием третьего порядка к реальной траектории. Скорость сходимости к точному решению при сокращении опорного интервала времени в предложенном методе на два порядка выше, чем в традиционных методах, использующих невозмущенную кеплеров-скую орбиту задачи двух тел.
В данной статье подход, изложенный в работе Шефера (2003), развивается применительно к решению задачи нахождения орбиты небесного тела по трем заданным векторам положения и соответствующим им моментам времени. В классической постановке задачи (такая постановка связана с построением кеплеровской орбиты) предполагается, что исходные векторы положения лежат в одной плоскости. Среди существующих методов решения этой задачи, не связанных с требованием компланарности векторов положения, наилучшим является метод, основанный на формуле Херрика—Гиббса (Эскобал, 1970; Херрик, 1976). Эта формула получается из разложения решения в ряд Тейлора в окрестности среднего момента времени. Она дает высокоточные результаты только при сравнительно коротких временных интервалах, разделяющих заданные положения. Ниже описывается метод построения промежуточной возмущенной орбиты по трем произвольным векторам положения без использования рядов. Как и в предыдущей работе (Шефер, 2003) решение сводится к случаю, когда гравитационный параметр, определяющий промежуточное движение, изменяется в соответствии с первым законом Мещерского вариации массы. Допускается, что этот параметр может принимать не только положительные, но и отрицательные значения. Фиктивный центр в общем случае может двигаться по параболической траектории. Параметры промежуточного движения определяются из граничных условий возмущенного движения и ряда дополнительных условий, позволяющих найти наиболее подходящее решение.
ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ПРОМЕЖУТОЧНОГО ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим движение тела пренебрежимо малой массы (малого тела) под действием ньютоновского притяжения системы точечных масс и других сил произвольной природы. Для изучения движения малого тела построим трехосную прямоугольную невращающуюся систему координат с
началом, совмещенным с одной из притягивающих масс (основным телом). Дифференциальные уравнения движения в этой системе координат запишем в форме
x
K
—т x + F = G,
где x — вектор положения малого тела, r
->2 Л/Т — i Z->2
(1)
x
K = k2M = const (k2 — гравитационная постоянная, M — масса основного тела), F — вектор возмущающего ускорения, точка означает дифференцирование по времени t. Пусть в начальный момент времени t = t0 известны векторы положения и скорости малого тела
x(to) = xo, x(t о) = x о.
Здесь и в последующих разделах статьи нижний индекс i (i = 0,1,...), если это не оговаривается отдельно, означает, что данная величина определена при t = ti.
Движение, описываемое уравнениями (1), назовем реальным.
Введем фиктивный притягивающий центр с гравитационным параметром v = k2m (m — масса фиктивного центра). Расположим его в точке, задаваемой вектором Z. В эту точку поместим начало новой системы координат, оси которой параллельны осям исходной системы. Тогда положение малого тела в системе координат, связанной с фиктивным центром, определится вектором
q
x-Z.
(2)
Пусть фиктивный центр с течением времени описывает относительно исходной системы координат кривую в соответствии с формулой
1 •• 2
z = Zo + z о (г - + 2 z о (г - к), (3)
где Z0, Zо, Zо — начальные векторы положения, скорости и ускорения фиктивного центра соответственно.
Дифференцируя выражение (2) дважды по времени г, получим с учетом (1) и (3) уравнения движения малого тела относительно фиктивного центра
G — Z о
(4)
с начальными условиями
q(íо) = qо = хо - Zо, <1(го) = = Хо - Zо.
Допустим, что масса т, а следовательно, и гравитационный параметр V фиктивного центра являются в общем случае величинами переменными и представляют собой некоторые непрерывные
r
функции времени. Перепишем уравнения движения (4) в форме
" К 4 + Р
где
Р = ^зя + G - Xо, К = |я|.
Определим вид функции V из условия минимума величины
Ф = Р
2
(5)
Минимум (5) по переменной V достигается, если
V = -[^ - Xо) • я]К. (6)
Здесь и ниже [а • Ь] или (а • Ь) обозначает скалярное произведение векторов а и Ь.
В той же системе координат, в которой рассматривается реальное движение (4), зададим промежуточное движение уравнениями
! * —я
<1 - 2 ¡¡° (Ь - <о)+(э ¡¡| -
¡10 \ ¡0 ¡¡о
¡¡о = 0.
(Ь - tо)2
Изменение параметра ц по этой формуле соответствует объединенному закону Мещерского (Мещерский, 1952).
Таким образом, начальными параметрами введенного промежуточного движения являются векторы 20, Х0, Х0, я0, Я0 и скаляры ¡0, ¡¡0 и ¡0. Удачный выбор значений этих постоянных позволяет с высокой точностью представить реальное движение промежуточным на начальном участке траектории. Например, одним из условий, обеспечивающих наилучшую аппроксимацию в окрестности момента времени t = Ьо, является, принимая во внимание (6), выбор параметра ¡ 0 согласно формуле
¡0 = vо = -[^0 - г0) • Я0]К0.
(9)
(7)
Задание ¡(Ь) в виде (8) позволяет, используя преобразования координат и времени вида
К
и начальными условиями
я*(Ьо) = я0, я*(Ьо) = Я0.
Здесь гравитационный параметр ц = k2m* (т* — масса притягивающего центра), введенный по аналогии с параметром V, также предполагается функцией, непрерывно изменяющейся со временем; К* = |я*|. Уравнения (7) представляют собой уравнения задачи Гюльдена—Мещерского (Гюльден, 1884; Мещерский, 1893) и описывают движение малого тела в поле тяготения эффективной переменной массы. Согласно нашей постановке задачи масса малого тела считается ничтожно малой, поэтому не ставится вопрос о ее зависимости или независимости от времени.
Допустим, что поведение гравитационного параметра ¡л подчиняется закону (Шефер, 1998а, б)
¡0
Л = , —
и
Л *
—я ,
¡0
dв =
Л0
(Ь,
(10)
свести решение уравнений (7) к решению системы уравнений, описывающих промежуточное движение в пространстве параметрических переменных
и,
и
Л0
--т и - аи,
Р3
(11)
Ь = 1 - 2(Ь - Ьо) + ¡2 + а (t - tо)2,
Л0
где
¡0
а = 2 ¡¡2 - ¡¡0, ¡0 ¡0
(12)
(8)
р = |и|, штрих означает дифференцирование по новой независимой переменной в (фиктивное время).
Обратимся сначала ко второму уравнению системы (11). Его интегрирование дает
*
2
в=
д(ь) в
аг^ —=■ + arctg —= аа
1п
(
-а \ Ь - Ьо
д(Ь) -у/=а
[1 - в(Ь - Ьо)'
д(Ь) + у/=а а = 0,
а> 0 в - л/-а
в + V-а
а < 0,
(13)
где
g(t) = (e2 + a)(t - to) - в, в = Ho/Ho. (14)
Постоянная интегрирования выбрана таким образом, чтобы при t = t0 формулы (13) давали значение в = 0.
Первое уравнение системы (11) есть векторное уравнение, описывающее возмущенное кепле-ровское движение относительно притягивающего центра с постоянным параметром Ho. Возмущение вызвано наличием дополнительной центральной силы, пропорциональной расстоянию р. В этом случае имеют место интегралы площадей
u х u' = c = const и интеграл живых сил
u'2 Ho 1 2 —----+ - ар = h = const.
2 р 2
Здесь и ниже косой крест означает векторное умножение. Для параметра орбитальной кривой p и ее эксцентриситета e справедливы выражения
с2
p = — = const, с = |c|, Ho
е2 = 1 + (2Л, - ар2) —2.
Но
Таким образом промежуточная орбита в параметрическом пространстве является плоской кривой с постоянным параметром и переменным эксцентриситетом. Решение рассматриваемых уравнений движения сводится к квадратурам (Дубошин, 1975) и в общем случае может быть найдено в эллиптических функциях. В частном случае, когда а = 0, уравнения движения (11) принимают форму уравнений невозмущенного кеплеровского движения, а закон изменения гравитационного параметра (8) сводится к первому закону Мещерского (Мещерский, 1952). В нашем случае он запишется в виде
Н =1 - го). (15)
Порядок нахождения решения для промежуточного движения следующий.
На заданный момент физического времени г определяется значение фиктивного времени в по формулам (13), (14). Затем на найденный момент в вычисляются вектор положения и и вектор скорости и' малого тела на промежуточной орбите в параметрическом пространстве согласно первому уравнению из (11). При этом используются следующие начальные условия, отнесенные к моменту в = 0:
И, наконец, с помощью преобразований
uo = qo, uo
Ho Ho
q
Ho, H
u,
* = Н [д(г)и + и'] (16) Но
находятся соответственно векторы положения и скорости малого тела на промежуточной орбите в физическом пространстве в момент времени г.
Положение и скорость малого тела на промежуточной орбите в исходной системе координат определяются по формулам
х* (г) = Zо + Zо (г - го) + 2 Zо(г - го)2 + q*(г), х *(г) = Z о + Z о(г - го) + с1 *(г).
Из формулы (9) видно, что гравитационный параметр Но может принимать не только положительные, но и отрицательные значения. В случае отрицательного Но движение малого тела можно рассматривать как движение под действием сил отталкивания от фиктивного центра. Последний в этом случае, строго говоря, уже нельзя называть притягивающим. Формула (8) показывает, что знак функции Н(г) всегда совпадает со знаком Но и следовательно не должен меняться в рассматриваемом интервале времени. Случай Но = 0 является согласно нашим построениям особым и подлежит исключению из рассмотрения.
ПОСТРОЕНИЕ промежуточной ОРБИТЫ ПО ТРЕМ ВЕКТОРАМ ПОЛОЖЕНИЯ
Допустим, что известны векторы
х(г1) = хь х(г2) = Х2, х(гз) = хз (17)
для трех различных положений малого тела на возмущенной траектории в моменты эфемеридного времени г1, г2 и г3 (г1 <г2 < г3). Построим промежуточную орбиту, на которой положения в моменты г1, г2 и г3 совпадают с положениями, задаваемыми векторами (17) соответственно.
Для сокращения записей некоторых формул введем обозначения
г12 = г2 - гl, г23 = г3 - г2,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.