ИЗВЕСТИЯ РАИ. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2009, том 45, № 5, с. 664-672
УДК 551.465
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЗЕРКАЛЬНЫХ ТОЧЕК ТРЕХМЕРНОЙ ГАУССОВОЙ МОРСКОЙ
ПОВЕРХНОСТИ
© 2009 г. Р. Г. Гардашов*, Т. Г. Гардашова**
*Институт географии НАН Азербайджана 1143 Азербайджан, Баку, ул. Г. Джавида, 31
E-mail: rauf_gardashov@yahoo.co.uk **Азербайджанское Высшее военное училище 1018 Азербайджан, Баку, пос. Зых, ул. Нахимова, 18 Поступила в редакцию 12.05.2008 г., после доработки 11.01.2009 г.
Сформулирована и решена обратная задача в виде интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода для определения плотности распределения числа зеркальных точек трехмерной гауссовой морской поверхности. Ядро этого уравнения выражается через плотность распределения гауссовой кривизны в точках зеркального отражения. На основе численных экспериментов, а также изображений солнечных бликов показано, что по известной плотности распределения интенсивности отраженного излучения можно определить плотности распределения как числа зеркальных точек, так и радиусов кривизн в этих точках.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящей работе формулируется обратная задача для определения плотности распределения WN(N) числа зеркальных точек (ЗТ) N по известной плотности распределения интенсивности излучения Wr(r), отраженного от трехмерной гауссовой поверхности. Аналогичная задача для двухмерной гауссовой поверхности была рассмотрена в работе [1].
Пусть случайная однородная гауссовая морская поверхность г = £(х, У) облучается параллельным пучком света, падающим в направлении единичного вектора я0, и участок поверхности с горизонтальной площадью 5± наблюдается в направлении единичного вектора 8 (рис. 1). Тогда, согласно методу зеркальных точек, случайная реализация яркости отраженного света (коэффициент яркости поверхности) г, определяется как сумма вкладов всех ЗТ [2, 3]:
г=г<-8> = ^[¿К-гЬЪх- (1)
п V (х>
где К = , | зависит от в0, 8 и коэффициента отражения Френеля V(y) при локальном угле падения х;
X =
Тэя
Ш
личина, обратная к полной кривизне:
Ш =
= ? (® = ZxxZyy - ZXy, q = (1 + y2 +
Z Z — Z2
bxxbyy Ъху
2 272 = q (Ш = Zxx^yy (1+ Yx + Y2) q
+ у;)2) в ЗТ = (хг, у, £(*,, у)), (I = 1, 2, 3 ..., N5) с наклоном ух, уу. Параметр Н определяется как 3Н = (ю2), где осреднение производится по всем точкам поверхности г = С(х, у).
При этом ЗТ определяются как корни системы уравнений:
Zх(X, y) = Yх' Zy(х, y) = Yу.
(2)
Sx — So
s0x Sy S0 y
где Yx =--и Yy = —-yy-y.
>0 г
50г
- "безразмерный радиус кривизны" - ве-
В сумме (1) случайными величинами, меняющимися от реализации к реализации поверхности г = С(х, у), являются радиусы кривизны Х1, Х2, Х3, ..., XN и числа ЗТ N5, приходящиеся на наблюдаемый участок поверхности (5).
Отметим, что формула (1) складывает интенсивности световых волн, идущих из различных ЗТ, что имеет место либо для некогерентного света, либо при условии, что длина волны света X намного меньше, чем среднеквадратичная высота неровностей
поверхности а = л/(£2(х>), т.е. при X < а.
ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛНОЙ КРИВИЗНЫ В ЗТ
Для гауссовой однородной поверхности г = С(х, у) плотность распределения полной кривизны О =
СXX Суу С
ъху
(1 + сх + Й)2
| ЗТ с градиентами ух = Сх(х, у) = 0,
у, = £у(х, у) = 0 получена Лонге-Хиггинсом [4]. В этой работе плотность распределения Щю) кривизны
ю = О к = о = Схх Суу - С2у в ЗТ выражена контурным
интегралом. Сравнительно простое выражение для плотности W(ю) в виде интегрального представления, включающее функции ощибок и удобное для практических расчетов, получено Гардашовым [5]. Выражение W(ю) из [5], написанное для безразмерной кривизны ю = ю/Тэя, имеет вид:
W- (ю) =
5
1 (г2-г +1)4, у -(-ю)х
ф(г) тг^т^-о
п
2 _
, - Г2 " 7чгехр(ют(а)) , хехр(-юл/г - г +1 )1 у — йа
J -Ут(а)
(3)
для ю < 0, и W + (ю) =
5
1 (г2-г +1 )4 (_
ф(г) ЛГ-Г)
(ю)ехр(-юл/г2 - г + 1 )х
(4)
С ехр(ота)) [ 1- ^^тютсО)] йа
J 7т(а)
для ю > 0.
Здесь П(х) = С ехр( -т2)йт есть функция оши-
бок; т(а)
_ (г + 1 ) Тг" - г + 1
(1 - к вт2 а).
Функция Ф(г) выражается через эллиптические
интегралы
К(к) = С
йа и Е(к) =
=У
1 - к28т2а йа, как
Ф(г) = л-? Е(к) -
х К(к) при к =
1-2 г
1- г
2
г = С(х, у)
Рис. 1. Геометрия отражения на поверхности г = с(х, у).
Фактически Ф(г) есть очень медленно монотонно
1
убывающая функция в промежутке
0,
с макси-
мальным и минимальным значениями Ф(0) =1 и П п
Ф
2Тз
: 0.907 соответственно [4]. Параметр г
определяется через моменты энергетического спектра поверхности (волнения) и может меняться в
промежутке 0, ¿) . Значение г = 0 соответствует
случаю, когда волнение образуется двумя системами волн, пересекающимися под малым углом. Зна-1
чение £ = 2 может реализоваться при различных обстоятельствах: например, когда волнение изотропно или когда угловое распределение энергии в спектре волнения имеет резкий пик.
Поскольку распределение W(ю) уже найдено, то распределение безразмерной кривизны О = =
Тзя
ю 1
= — и величины X = г—- в ЗТ с градиентами
д |о|
£х(х, у) = ух, £у(х, у) = у, могут определяться просто по соотношениям:
W о(О) = gW( дО),
W- -
д
+ w+l I
ъ(х) = хуX
При этом для среднего значения X имеем:
+~ р2
пд*]г - г + 1
(5)
(6)
<х> = С XWX(X)йх =
2Ф( г)
2
у
у
у
0
х
0
х
0
0
х
0
0
ГАРДАШОВ, ГАРДАШОВА 1.0
N = 1
— t = 0
1_ 4 1_ 2
-4 0 4 _ 8
Безразмерная кривизна со
Рис. 2. Плотность распределения W( 00) полной
безразмерной кривизны ю в зеркальных точках гауссовой однородной поверхности, рассчитанные по формулам (3) и (4).
При q = 1 для t = 0, t = 4- и t = 1 соответственно на-
ходим:
< X) =
2Ф0ГП - '-57' <X =
П
Лз
2 ф| 4
1.5277 и < X) =
П
2 П 2
= 3 = 15.
П 2 2
Переменная Z
Рис. 3. Функция G(Z, N для значений N = 1, 2, 3 при t = 4-.
Для характеристической функции (3(и) имеем:
+^
в(и) = | (X)йх. (9)
о
Тогда, при условии, что радиусы кривизны в ЗТ Х1, Х2, Х3, ..., ХЫз и N независимы между собой, плотность распределения суммы
z = 2 x
(10)
i = 1
При этом, как следует из результатов работы [4], может быть выражена через модуль |ß(u)| = среднее число ЗТ на единице площади определяется /п2, ч п2, ч , ч П/ ч
по формуле: = 1(u) + ß2(u) и ар„умент Ф(и) = argß(u) =
< N1) =
2J33H
nJT-
arctg
ß 2 (u)
характеристической функции ß(u) =
^(t)W2(Yx, Yy),
(8)
t -1 + 1
'ß 1 (u)
= ß1(u) + iß2(u) по формуле:
где W(YX, уу) есть плотность распределения градиентов поверхности.
График плотности распределения W(ю) пред- где ставлен на рис. 2.
Wz (Z) = J G (Z, Ns ) WN ( NS ) dN , (11)
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЯРКОСТИ ОТРАЖЕННОГО СВЕТА
G(Z, N) = 1 f|ß(u)|Ncos[N9(u) - uZ]du. (12) П
В частном случае, когда число ЗТ не меняется по Плотность распределения Wr(r) интенсивности г реализациям и равно числу N т.е. WN(NS) = - ДО), отраженного от поверхности света может быть из (11) получаем:
определена через характеристическую функцию в(и) случайной величины X и плотность распределения WN(NS) числа ЗТ NS, приходящихся на наблюдаемый участок поверхности.
Wz(Z) = G(Z, N),
(13)
что проясняет смысл функции N как распределение величины X при фиксированном N5 = N.
N
S
0
0
Кривые функции 0(2, Ы) для значений перемен- Следовательно, получаем следующее соотноше-
ной N = 1, 2, 3 при t = 4 приведены на рис. 3.
Соотношение (11) может быть рассмотрено как интегральное уравнение для определения неизвестной плотности распределения Зт WЛ(NS) по заданной плотности Wz(Z). Как было отмечено в [1], если 1
среднее (
О
) (или среднее число ЗТ (Ы5)) определе-
ны каким-либо образом, т.е. априори известно, то
51ТзН
распределение WZ(Z) величины 2 =
К
■ г может
быть получено просто по формуле:
Wz( Z> =
К
К
5±л/3 Н ) 5 ^ 3 Н
(14)
поскольку при этом К есть величина известная.
Таким образом, уравнение (11) формулирует обратную задачу в виде интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода для определения плотности распределения числа ЗТ WЛ(NS) по известной плотности распределения Wr(r) яркости отраженного света г.
На самом деле, уравнение (11) имеет алгебраическую структуру. Выбор интегральной формы (11) связан со следующим обстоятельством: хотя число зеркальных точек N есть величина целая, однако формально ядро уравнения (11), как видно из (12), определено для всех вещественных N. Это позволяет при обращении уравнения (11) взять число дискретизации по N отличным от числа зеркальных точек и равным числу дискретизации по Z (соответственно и по г).
Как известно, уравнение (11) представляет собой некорректную задачу и оно решается специальными методами регуляризации [6].
Отметим, что при практическом применении вышеизложенного метода для определения плотности распределения WN(NS) из измеряемой плотности Wr(r) возникает трудность, если априори неизвест-1
ны обе средние: (
О
) и Однако эту трудность
можно преодолеть, используя тот факт, что для разных N кривые О^, N заметно отличаются по форме, т.е. по асимметрии и эксцессу. Для определения (NS) можно применить, например, следующий критерий: ^^ можно определить как значение N = (N5), при котором измеряемая и теоретически расчитан-ная плотность Wr(r) отличаются минимально.
Как следует из (1) и (10),
г =-К= Z, ( г) = -К— ( ^.
5±73Н 5±73я (15)
( Т) = ( X) ( N5).
ние между безразмерной яркостью г = --—- и вели-
( г)
чиной ^
г =
1
( х)( N5)
Z,
(16)
где для определенности в первом приближении можно брать промежуточное значение величины (X) = 1.5277.
Плотность распределения Wf ( г > получается из измеряемой плотности Wr(r) непосредственно по соотношению:
wr ( г > = wr ( г ( г)>( г) ,
(17)
где
(г) = | г Wг(г)dг
С другой стороны, плотность распределения величины Z может быть теоретически рассчитана через априори взятое пуассоновское распределение wN (Ы5, (N5)) при (N5) = 1, 2, 3, ..., согласно (11), по формуле:
Wp(Z,(N5» = | О(^ N5> WPN(N5, (N5»¿N5. (18)
0
Используя соотношение (16), можем определить соответствующее теоретическое распределение безразмерной яркости г:
wp(г, (^)> = Wp((X)(N5)г>(X)(N5). (19)
Далее, среднее значение (Ы5) может быть определено из критерия близости экпе
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.