КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2008, том 46, № 2, с. 148-167
УДК 629.198
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА ФОТОН М-2 ПО ДАННЫМ БОРТОВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ
© 2008 г. В. И. Абрашкин1, А. Е. Казакова1, В. В. Сазонов2, С. Ю. Чебуков2
Центральное специализированное конструкторское бюро, г. Самара 2Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва Поступила в редакцию 28.08.2006 г.
Приведены результаты оперативного определения неуправляемого вращательного движения спутника Фотон М-2, находившегося на орбите 31.V.-16.VI.2005 г. Определение выполнялось по данным бортовых измерений вектора угловой скорости. Сеансы измерений проводились один раз в сутки, каждый длился 83 мин. По окончании сеанса полученные данные передавались на Землю и обрабатывались совместно методом наименьших квадратов с помощью интегрирования уравнений движения спутника относительно центра масс. В результате обработки оценивались начальные условия движения во время сеанса и параметры используемой математической модели. Фактическое движение спутника определено для 12 таких сеансов. Полученные результаты уже во время полета дали полное представление о движении спутника. Это движение, начавшись с малой угловой скоростью, постепенно становилось быстрее и через двое суток стало близко к регулярной прецессии Эйлера осесимметричного твердого тела. 14.VI.2005 г. угловая скорость спутника относительно его продольной оси составляла примерно 1.3 град/с, проекция угловой скорости на плоскость, перпендикулярную этой оси, имела модуль около 0.11 град/с. Полученные результаты согласуются с полученными позже более точными результатами обработки данных измерений магнитного поля Земли на том же спутнике и дополняют их в части определения движения на заключительном отрезке полета, когда магнитные измерения не проводились.
PACS: 45.40.Cc
1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА
Спутник считается твердым телом, геоцентрическое движение центра масс которого - кепле-рово эллиптическое. Элементы этого движения находились по данным траекторных измерений [1]. Для записи уравнений движения спутника относительно центра масс и соотношений, используемых при обработке данных измерений, вводятся три правые декартовы системы координат.
Приборная система Оу1у2у3 жестко связана со спутником. Точка О - центр масс спутника, ось Оу1 параллельна продольной оси спутника и направлена от спускаемого аппарата к приборному отсеку. В этой системе интерпретируются данные измерений угловой скорости.
Система Ох1х2х3 образована главными центральными осями инерции спутника. Оси Ох1 составляют малые углы с осями Оу, (г = 1, 2, 3).
В орбитальной системе ОХ1Х2Х3 оси ОХ3 и ОХ2 направлены соответственно вдоль геоцентрического радиуса-вектора точки О и вектора кинетического момента орбитального движения спутника.
Положение главных центральных осей инерции спутника относительно орбитальной систе-
мы задается двумя наборами углов. Первый набор образован углами у, 5 и в, которые вводятся так [2, 3], чтобы систему ОХ1Х2Х3 можно было перевести в систему Ох1х2х3 тремя последовательными поворотами: 1) на угол 5 + п/2 вокруг оси ОХ2, 2) на угол в вокруг новой оси ОХ3, 3) на угол у вокруг новой оси ОХ1, совпадающей с осью Ох1.
Второй набор образован углами у, б и ф, которые определяются следующим образом [4]. Система ОХ1Х2Х3 может быть переведена в систему Ох1х2х3 тремя последовательными поворотами: 1) на угол у вокруг оси ОХ3, 2) на угол б вокруг новой оси ОХ2, 3) на угол ф вокруг новой оси ОХ1, совпадающей с осью Ох1.
Первый набор углов используется в программах обработки данных измерений и для представления вращательных движений спутника, в которых ось Ох1 близка к плоскости ОХ1Х3 - плоскости орбиты. Второй набор служит для представления движений, в которых эта ось близка к оси ОХ2 -нормали к плоскости орбиты.
Матрицу перехода от системы Ох1х2х3 к систе-
1,3
ме OX1X2X3 обозначим \\a
>j\\i, j = 1 -
где а. - косинус
угла между осями OXi и Ox. Выражения для эле-
ментов этой матрицы через углы у, 5 и в приведены в [2, 3], через углы у, б и ф - в [4].
Матрицу перехода от системы Ох1х2х3 к приборной системе координат обозначим || Ъ у||3 ■ = 1, где Ъ . -косинус угла между осями Оу1 и Ох.. Элементы этой матрицы выражаются в функции углов ус, ас и Рс, на которые надо повернуть приборную систему последовательно вокруг осей Оу2, Оу3 и Оух, чтобы перевести ее в систему Ох1х2х3 [3].
Уравнения движения спутника относительно центра масс образованы динамическими уравнениями Эйлера и кинематическими уравнениями Пуассона для элементов первой и третьей строк матрицы ||а.||. Из внешних механических моментов в этих уравнениях учитываются гравитационный момент, восстанавливающий аэродинамический момент и постоянный момент, направленный вдоль оси Охх. Причины возникновения последнего момента обсуждаются ниже. Гравитационный момент задается простыми выражениями [5]. При вычислении аэродинамического момента внешняя оболочка спутника считалась сферой центр, которой смещен относительно точки О. Принималось, что молекулы воздуха при столкновении с оболочкой испытывают абсолютно неупругий удар и что атмосфера вращается вместе с Землей. Уравнения движения имеют вид [4]
о>1 = |1(Ш2®з-Vа32а33) + к(^р3- v3р2) + 1-X
СС>2 =
1 + Хк
(ю1ю3 - V а31а33) + ( ^3Р1 - ^ 1Р3^
ю3
1 +
= -(1- X + Х|)(ю1 ю2-V а31а32) + + Хк( V!Р2- V2Р1),
ап = а12Ю3- аХ3 Ю2- Юа а31, аи = а13Ю1- апЮ3- Юаа32, ап = апЮ2- а12Ю1- Юаа33,
(1)
а-= а32Ю3 - а33 Ю2 + Юаап,
= 32 а33Ю1 - а31 Ю3 + Юаа12,
а. = а31 Ю2 - а32 Ю1 + Юаа13,
X = £. 13 |= ь-ь 11 , V = 31е V я3
222 К = Е Рал/ ^ 1 + ^ 2+ ^3-
Здесь ю; и V - компоненты в системе Ох1х2х3 абсолютной угловой скорости спутника и скорости точки О относительно поверхности Земли, 1; - моменты инерции спутника относительно осей Ох ,
параметры р; характеризуют действующий на спутник аэродинамический момент, т1 - отнесенный к 11 постоянный момент вдоль оси Ох1, Ю0 -модуль абсолютной угловой скорости орбитальной системы координат, Е - масштабирующий множитель. При численном интегрировании уравнений (1) единицами измерения времени и длины служат 1000 с и 1000 км, единицы измерения других величин: [V;] = км/с, [ю;] = 103 с-1, [р;] = см/кг, [т1] = 106 с2, [ра] = кг/м3, Е = 1010. Плотность атмосферы рассчитывается согласно модели [6]. Недостающие элементы матрицы перехода ||а.|| вычисляются по формулам а21 = а32а13 - а33а12 и т.п.
Переменные а1; и а3 ; зависимы - они связаны условиями ортогональности матрицы ||а у||. По этой причине начальные условия для а1; и а3 ; выражаются через углы у, 5 и р.
Параметры X и | в уравнениях (1), а также углы ус, ас и Рс, можно считать известными, поскольку известен проектный тензор инерции спутника в приборной системе координат. Проектные значения этих параметров X = Х° = 0.27, | = = 0.10, ус = ас = Рс = 0. Параметры р; и т1 определяются из обработки данных измерений наряду с неизвестными начальными условиями движения спутника, т.е. служат параметрами согласования. Реализован также вариант обработки данных измерений, в котором в число параметров согласования входят X, ус, ас и Рс, и модификации указанных вариантов с т1 = 0. Для краткости будем называть эти варианты обработки (и лежащие в их основе математические модели) вариантами (моделями) М9, М10, М14 и М15. В варианте М9 определяются начальные условия движения спутника и параметры р; - всего 9 скалярных величин, фиксированные параметры: т1 = 0, X = X°, | = ус = ас = Рс = 0. В варианте М10 определяются начальные условия движения и параметры т1 и р; - всего 10 скалярных величин, фиксированные параметры: X = X°, | = ус = ас = Рс = 0. В варианте М14 фиксирован только параметр т1 = 0, уточняются 14 скалярных величин. В варианте М15 уточняются 15 скалярных величин. Ниже, в основном, приводятся результаты, полученные с помощью варианта М15.
2. МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Система управления движением Фотона М-2 имела трехкомпонентный датчик угловой скорости с осями чувствительности, параллельными осям приборной системы координат. Сеансы измерений проводились ежедневно и охватывали отрезки времени длиной 83 мин. Практически сразу после сеанса данные измерений по телеметрическому каналу передавались на Землю. Это позволило оперативно следить за вращательным движением спутника.
Данные измерений, полученные во время одного сеанса, представляют собой совокупность чисел
г гл(п) гл(п) гл(п) ' п ,1 ,"2 >1г3
п)
(п = 0,1, ,
(2)
где О; (г = 1, 2, 3) приближенные значения компонент угловой скорости спутника в приборной системе координат в момент времени гп, г0 < г1 < ... < N. Если сеанс проходил без сбоев, то N = 419, -- г0 = 4970.06 с ~ 82.83 мин, моменты гп разбиваются на группы по 30 точек, внутри группы гп+1 - гп = 10 с, на стыках групп гп + 1 - гп ~ 70 с. Из-за сбоев в некоторых сеансах несколько групп из 30 точек полностью или частично утеряны. Два сеанса - от 12 и 14.У1 - утеряны полностью.
Поскольку данных в каждом сеансе было немного, они обрабатывались непосредственно. Обработка состояла в аппроксимации всех измерений сеанса одним решением уравнений (1). Аппроксимация строилась методом наименьших квадратов. Опишем процедуру обработки более детально. Для определенности будем рассматривать вариант М15.
Пусть ошибки в измерениях (2) независимы и имеют нормальные распределения с одинаковым стандартным отклонением а, ошибки в измерениях г-ой компоненты имеют одинаковые средние значения А; - смещения. Параметры А; и а неизвестны. Для произвольных решений системы (1), заданных на отрезке г0 < г < г^ и произвольных смещений определим функционал
N 3
Ф1 = П) - А; - О; ( гп )]2,
= о; = 1
(3)
О;( г) = £ ъ,7ш} (г). ) = 1
3 Г N
Ф = ЕШО(п)-О;(гп)]2-(N +1 )А2 [,
; = 1 п = о
N
А; = дТП £[о(п) - О;(гп)],
(4)
зависящий от меньшего числа переменных. Теперь задача определения движения спутника состоит в минимизации функционала (4) на решениях системы (1) по начальным условиям этих решений у0 = У(г<)), §0 = 8(г0), р0 = Р(гв), Ш0 = ш(г<)) и параметрам спутника р;, т1, X, ц, ус, ас и Рс.
Минимиз
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.