ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 2, 2004
УДК 62-50; 531.36: 534.1
© 2004 г. Д. В. Баландин, М. М. Коган, А. А. Федюков
ОПТИМАЛЬНОЕ ГАШЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ МАЯТНИКА ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ВНЕШНИХ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ
Методами теории Ям-управления получен закон управления параметрически возмущенным маятником, при котором уровень гашения колебаний принимает значение, близкое к минимально возможному. Приведены результаты численного моделирования.
Активно разрабатываемая в последнее время теории ^-управления [1, 2] позволяет синтезировать робастные регуляторы для систем с неопределенностью [3, 4]. Уравнения таких систем содержат неизвестные параметры или функции, которыми, в частности, являются параметрические возмущения.
Одна из нерешенных задач теории ^-управления состоит в нахождении минимально возможного (по всем допустимым управлениям) уровня гашения колебания (УГК), понимаемого как максимум (по всем допустимым внешним возмущениям) отношения нормы выхода системы к норме внешнего возмущения. Математически эта задача связана с существованием специального решения матричного параметрического уравнения Риккати, содержащего ряд параметров, один из которых соответствует УГК в системе. До настоящего времени отсутствуют конструктивные условия существования такого решения; имеется только возможность с использованием пакета программ МАТЬАБ проверить, существует ли требуемое решение при данном УГК [5].
Ниже приводятся оценки границ минимально возможного УГК параметрически возмущенного маятника, полученных на основе решения задачи о предельных возможностях управления [6]. Построено робастное ^-управление маятником, которое обеспечивает УГК, близкий к минимально возможному.
1. Постановка задачи. Рассмотрим управляемый маятник с параметрическим и внешним возмущениями
2
х + х + ю0[ 1 + /&(х, х)]х = и + и, х(0) = х(0) = 0 (1.1)
где ю0, /(ю0 Ф 0, 0 < /< 1) - заданные параметры, и - управление, и = ь^) - внешнее возмущение. Коэффициент диссипации выбран равным единице, что обеспечивается соответствующей заменой независимой переменной t. Функция 0(?, х, х) определяет параметрическое возмущение и удовлетворяет условию
|0( и х, х)|< 1, х, х (1.2)
Обозначим класс таких функций через 2. Относительно внешнего возмущения т(^) будем предполагать, что и е Ь2(0, т.е.
]х(и) = |и2(t)Л < ™
0
Класс допустимых управлений определяется линейными обратными связями вида
и = - ах - вх (1.3)
Обозначим класс таких законов управления через 2.
Для описания цели управления введем функционал, характеризующий качество переходного процесса,
J2(u, u) = J(œ0x2 + X2 + р2ы2)dt
где р - заданный параметр. Подынтегральное выражение этого функционала соответствует механической энергии невозмущенного маятника с учетом затрат на управление.
Задача гашения колебаний маятника состоит в определении управления из класса S, обеспечивающего выполнение неравенства
J2 ( u, и) / J ! (и) < у, Vue L2, u Ф 0, VQ( t, x, X) e X (1.4)
с возможно меньшим значением параметра у > 0.
При данном допустимом законе управления определим уровень гашения колебаний (УГК) в системе следующим образом:
Г(u) = sup sup [J2(u, u)/J1(u)]
De X u Ф 0
Минимально возможный на множестве допустимых управлений УГК в системе при внешних и параметрических возмущениях определим как
Yo = inf Г( u ) (1.5)
u e S
так что при всех у > у0 задача (1.4) разрешима, а при всех у < у0 не имеет решения. В теории управления эта задача известна как задача ^-управления. Для ее решения приведем уравнение (1.1) к виду
x = Af(t, x)x + B!u + B2u (1.6)
котором
Af ( t, x ) =
0
!
-Ю0[ 1+ fD(t, x)] -1
B! = B2 =
2. Синтез управления маятником в отсутствие параметрических возмущений. Рассмотрим сначала маятник без параметрического возмущения, т.е. при / = 0. В этом случае система (1.6) принимает вид
х = А0х + В1и + В2и (2.1)
где
A
0 1
2
- «о -1
В соответствии с соотношением (1.3) допустимые законы управления имеют вид и = -0 х, 0 = (ав) (2.2)
Введем в качестве управляемого выхода вектор
(2.3)
и рассмотрим задачу Ям-управления системой (2.1), которая состоит в построении закона управления, обеспечивающего для заданного значения у > 0 при нулевых на-
«0 0 0
z = C x + Du, C = 0 1 , D = 0
0 0 р
0
x=
2
чальных условиях х(0) = 0 для любого возмущения из класса Ь2(0, выполнение следующего неравенства:
■ < у, Vu е L2, и Ф 0
(2.4)
а в отсутствие возмущении - асимптотическую устойчивость замкнутой системы. Здесь для любой вектор-функции Ь(?) 6 Ь2
h||2 = J| h (t)|2dt
и |Ь| - евклидова норма. Таким образом, поставленная выше задача гашения колебаний маятника эквивалентна задаче Ям-управления системой (2.1). Приведем также иную трактовку этой задачи. Введем обозначения
и - suP й
и Ф oll
I,
inf ■
Поставим в соответствие системе (2.1), (2.3) при любом допустимом управлении оператор H, отображающий возмущение u(t) из L2 в выход z(t) из L2. Тогда задачу (2.4) можно сформулировать в виде
IIHI < Y, IIHI = Su
где ||H|| - норма этого оператора.
В предположении, что замкнутая система (2.1), (2.2) асимптотически устойчива, введем преобразования Лапласа V(p) и Z(p) для u(t) и z(t) соответственно. Тогда
Z(p) = H(p )V(p)
где передаточная матрица
H (p)
1
Р2 + (1 + ß) Р + (®2 + a)
fflo
-p(a+ßp)
Используя равенство Парсеваля, можно показать, что || H|| = HU ^ = supj HT (-гю) H (i ю)
где величина ||Я||М является Я^-нормой рассматриваемой системы. Таким образом, в терминах Ям-теории УГК Г(и) совпадает с Я^-нормой замкнутой системы при этом законе управления, а минимально возможный УГК у0 совпадает с минимальной Ям-нор-мой по всем допустимым законам управления.
Решение задачи (2.4) следует из общей теории Ям-управления [1]: один из возможных (так называемый центральный) Ям-закон управления имеет вид
-2 T
u = -р B2 Px
где P > 0 - стабилизирующее решение матричного уравнения Риккати
0, B
AT0P + PA0 + PBP + CTC
-2 T -2 T
Y 2BiВ1, - р 2B2BT2
(2.5)
(2.6)
т.е. такое решение, для которого матрица А0 + ВР гурвицева. Уравнение Риккати решается численно с применением пакета прикладных программ МЛТЬЛБ. При этом
о
u ее,
может оказаться, что при выбранном значении параметра у требуемое решение не существует, и возникает проблема определения возможных значений у.
3. Оценка минимального уровня гашения колебаний, порождаемых внешними возмущениями. Рассмотрим вопрос о нахождении минимально возможного УГК у0 маятника, определенного выражением (1.5), в отсутствие параметрических возмущений. В данном случае у0 определяется следующим образом:
Ус = inf Sv (3.1)
u е S
Непосредственное вычисление этой величины не представляется возможным. Поэтому попытаемся получить для нее нижнюю оценку.
Для построения этой оценки предлагается подход, основанный на анализе предельных возможностей управления линейной системой [6]. Суть подхода состоит в рассмотрении вспомогательной максиминной задачи. Воспользуемся известным из теории игр соотношением, связывающим максимин и минимакс:
inf Sv > sup Iu
u е S и ф С
Если бы теперь удалось найти величину
Y* = sup Iu (3.2)
и ф С
то она являлась бы оценкой снизу для искомой величины у0. В этом смысле задачу (3.2) можно рассматривать как задачу о предельных возможностях управления системой (2.1) при действующих внешних возмущениях из класса L2.
Следует отметить, что задача (3.2) в определенной степени проще исходной задачи (3.1). Во всяком случае, для каждого заданного возмущения v(t) задача минимизации квадратичного функционала может быть эффективно решена [7]. С другой стороны, результат минимизации на множестве всех допустимых управлений отношения нормы выхода системы к норме внешнего возмущения невозможно записать в виде простого и доступного для дальнейшего анализа выражения, содержащего u(t). Поэтому попытаемся дать оценку вида
Y * = sup Iu >Y+
и ф с
Рассмотрим сначала вопрос о построении для каждого заданного u(t) оценки снизу минимального по u е S значения ||z||. Для этого зафиксируем некоторое возмущение v(t) из класса L2, выберем произвольное управление u(x) = - 0x, обеспечивающее асимптотическую устойчивость системы (2.1), и оценим снизу ||z||. Пусть x(t) -решение задачи Коши для системы (2.1) с нулевыми начальными условиями, заданным возмущением и выбранным управлением u(x). Обозначим u (t) = u(x(t)). Имеем
Х( t) = Ас x( t) + B1v( t) + B2u (t) (3.3)
Перейдем в последнем равенстве к изображениям по Фурье, умножив (3.3) на множитель e~mt и проинтегрировав полученное уравнение по t в пределах от до <». В изображениях по Фурье получим
i ю X = АСХ + B1V + B2 U
(3 4)
X = J x (t) e~mtdt, V = Ju( t) e~mtdt, U = J u (t )e"mdt Интегрирование по t (и далее по ю) ведется от до
Выразим вектор X из уравнения (3.4)
X = RBl V + RB2 U, R = (Ш-А^1 (3.5)
и, воспользовавшись равенством Парсеваля, запишем выражение для квадрата нормы выхода системы
\\42 = ¿.("(Х*CTCX + р2 и* U)dю (3.6)
где звездочка означает эрмитово сопряжение. Подставляя первое выражение (3.5)
под знак интеграла в равенстве (3.6), получим 2=
=
llzir = J[K(|U2- U*U0- U0*U) + B[lB1|V|2]da
(3.7)
K = BTLB2 + p2, L = R* CTCR, U0 = -K 1B^B1 У
Рассмотрим далее следующую вспомогательную задачу: для любой заданной функции V (а следовательно, и для любой заданной функции Щ)) найти такую функцию и, которая доставляет минимум подынтегральному выражению в (3.7).
Ее решение формулируется следующим образом: минимум подынтегрального выражения по и в соотношении (3.7) достигается при -1 т
и = и0 = -К 1В2ЬВ1 V (3.8)
Доказательство этого утверждения содержится в [6].
При и0 из соотношения (3.8) подынтегральное выражение в (3.7) приводится к виду G(ю)\У2, где
т -1 т
G(ю) = в\ (Ь-ЬВ2 К 1 В2Ь) В1 (3.9)
Отметим также, что поскольку подынтегральное выражение в (3.6) неотрицательно, то G(ю) > 0.
Итак, для любого заданного возмущения и(0 и любого фиксированного управления из класса 2 имеем оценку
ы ^ 1
> 2П J G (a)| У2 da
2 П
Значит,
Iu > JG(a)|У2da/J|У2da Вычисляя далее sup по v е L2, получим
sup Iu > sup [J G(a)| у2 da/J | У 2da] = max G(a)
и Ф 0 V Ф 0J J
Здесь и в д
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.