ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2012, № 1, с. 40-49
ОПТИМАЛЬНОЕ ^^^^^^^^^^^^^^ УПРАВЛЕНИЕ
УДК 62-50
ОПТИМАЛЬНОЕ ТОРМОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ НЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА С ПОЛОСТЬЮ, ЗАПОЛНЕННОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ, В СОПРОТИВЛЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЕ
© 2012 г. Л. Д. Акуленко, Д. Д. Лещенко, А. Л. Рачинская
Москва, ИПМех РАН, Одесса, Одесская государственная академия строительства и архитектуры, Одесский национальный ун-т Поступила в редакцию 13.07.11 г.
Исследована задача об оптимальном по быстродействию торможении вращений свободного твердого тела. Предполагается, что тело содержит сферическую полость, заполненную жидкостью большой вязкости. Кроме того, на твердое тело действует малый тормозящий момент сил вязкого трения. Считается, что тело динамически несимметрично. Определены оптимальный закон управления для торможения вращений твердого тела в форме синтеза, время быстродействия и фазовые траектории.
Введение. Анализ движения гибридных систем, т.е. объектов, содержащих элементы с распределенными и сосредоточенными параметрами, представляет интерес в теоретическом и прикладном аспектах. Он может быть проведен в рамках теории сингулярно-возмущенных задач. Получены важные результаты для систем, содержащих "квазитвердые" тела. Предполагается, что поступательно-вращательные движения таких систем близки (при некоторых условиях) движению абсолютно твердых тел. Влияние неидеальностей сводится к эффектам типа "временных погранслоев" и к наличию дополнительных возмущающих моментов в уравнениях Эйлера углового движения некоторого фиктивного твердого тела после завершения переходных процессов. Анализу пассивных движений твердого тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью и в сопротивляющейся среде, уделялось большое внимание [1—6]. Проблема управления вращениями "квазитвердых" тел при помощи сосредоточенных (приложенных к корпусу) моментов сил менее исследована. Удалось выделить класс систем, приводящих к гладким управляющим воздействиям и дающих возможность применения методов сингулярных возмущений без накопления погрешностей типа "погранслоев", возникающих в случае разрывных, в частности, релейных управлений [7—9].
Ниже исследуется задача оптимального по быстродействию торможения вращений динамически несимметричного тела со сферической полостью, заполненной жидкостью большой вязкости (при малых числах Рейнольдса). Кроме того, на твердое тело действует малый тормозящий момент сил линейного сопротивления среды. Управление вращениями производится с помощью момента сил, ограниченного по модулю; он может быть реализован посредством верньерных реактивных двигателей [7]. Рассматриваемая модель обобщает результаты, полученные ранее в [7—11]. В статье [8] изучена задача оптимального торможения вращений динамически симметричного тела, содержащего вязкоупругий элемент и полость, заполненную жидкостью. В [9] исследована задача об оптимальном по быстродействию торможении вращений динамически симметричного твердого тела со сферической полостью, заполненной жидкостью большой вязкости, и подвижной массой, соединенной с телом посредством упругой связи с квадратичной диссипацией. В [10] рассмотрена задача оптимального по быстродействию торможения вращений динамически симметричного тела с полостью, заполненной жидкостью большой вязкости. При этом на твердое тело действует малый тормозящий момент сил вязкого трения внешней среды. В [11] исследована задача оптимального по быстродействию торможения вращений динамически несимметричного тела в среде с сопротивлением. В монографии [7] получены приближенные решения возмущенных задач оптимального по быстродействию торможения вращений твердых тел относительно центра масс, в том числе объектов с внутренними степенями свободы, имеющих приложения в динамике космических и летательных аппаратов. Изучено торможение тел, имеющих полость с вязкой жидкостью. Рассмотрены случаи осесимметричного и несимметричного в невозмущенном состоянии тел со сферической полостью, заполненной жидкостью
большой вязкости. Проведен анализ торможения возмущенных вращений твердого тела, близкого к сферически-симметричному, под действием момента сил линейного сопротивления среды.
1. Постановка задачи. Рассматривается динамически несимметричное твердое тело, моменты инерции которого для определенности удовлетворяют неравенству A1 > A2 > A3. На основе подхода [7] уравнения управляемых вращений в проекциях на оси, связанной с твердым телом системы координат (уравнения Эйлера), могут быть представлены в виде [1, 4, 5, 7]
/ю + [ю х /ю] = M" + Mr + Mc. (1.1)
Здесь w = (p, q, r), — вектор абсолютной угловой скорости; / = diag(Ab A2, A3) — тензор инерции тела, M" — вектор управляющего момента сил; Mr — момент сил диссипации; Mc — момент сил вязкой жидкости в полости тела. Кинетический момент тела определяется стандартным образом
G = / w, G = (Gl, G2, G3), G1 = Al p, G 2 = A2q, G3 = A3r,
где G = Gl = (Gi2 + g2 + G32)1/2 — его величина.
Для упрощения задачи в систему (1.1) далее вносятся структурные ограничения, в частности, предполагается, что допустимые значения момента управляющих сил M" принадлежит шару [7]. Это допущение не противоречит распределению масс и форме твердого тела и часто применяется в исследованиях задач управления ориентацией. Считается также, что диагональный тензор момента сил внешнего сопротивления пропорционален тензору момента сил инерции, т.е. момент сил диссипации пропорционален кинетическому моменту
Mr = -x/а. (1.2)
Здесь X — некоторый постоянный коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств среды. Сопротивление, действующее на тело, представлено парой приложенных сил. При этом проекции момента этой пары на главные оси инерции тела являются величинами xA1 p, XA2q, xA3r [4, 5]. Такое предположение не является противоречивым.
Далее допустим, что в полости находится жидкость большой вязкости, т.е. $ > 1 (9 ~ в ^ 1).
Форма полости считается близкой к сферической, тогда, следуя [1], для тензора вязких сил P имеем выражение
P = P diag(1,1,1), P = ^^^, (1.3)
5253
где р, 9 — плотность и кинематический коэффициент вязкости жидкости в полости соответственно, a — радиус полости. Тензор P, зависящий только от формы полости, характеризует внутренний диссипативный момент сил в квазистатическом приближении, обусловленный вязкой жидкостью в полости. Для простоты в уравнениях (1.1) рассмотрен так называемый скалярный тензор, определенный одной скалярной величиной P > 0. Компоненты этого тензора имеют вид Pj = Pdjj, где 8 j — символы Кронекера (такой вид тензор P5 имеет, например, в случае сферической полости). Если форма полости существенно отличается от сферической, то определение компонент тензора представляет значительные вычислительные трудности.
Предполагается, что допустимые значения момента управляющих сил M" ограничены сферой
Mи = bu, |u| < 1; b = b(t,G), 0 < b* < b < b* < да, (1.4)
где b — скалярная функция, ограниченная в области изменения аргументов t, G согласно условиям (1.4). Эта область задается априори или может быть оценена через начальные данные для G,
G(t0) = G0, интегрированием уравнения (1.1) для ю. Далее полагаем, что b = b(t, G) (либо b = b(t) или b = const).
Ставится задача оптимального по быстродействию торможения вращений w(t0) = w°, ю(Г) = 0, T ^ minu, lul < 1. (1.5)
Требуется найти оптимальный закон управления в виде синтеза и = и( ю), соответствующую ему траекторию ш((,°,ш°) и время быстродействия Т = Т(г°, ш°), а также функцию Беллмана Ж = Т (г, ю). На основе динамического программирования и неравенства Шварца при упрощающем условии на коэффициент Ь (Ь((, в) = Ь°((, О), нуль в индексе далее опускается) строится синтез оптимального по быстродействию управления, которое имеет вид [7]
Mp = -b
A p
G '
Mq = -b
^, Mr =-b^, b = b(t, G). G G
(1.6)
Момент сил вязкой жидкости в полости Mc с учетом внешних силовых факторов, согласно [1], определяется следующим образом:
Mc = рР
С m ^
m2
(1.7)
где
m1
^ г.2
2 . b
X2 +-
G'
1 (x + (3qr (A3 - A2) + i(a32! + a3\) - Gra^ A1 \ G) ^ 1 - a33
+ 2Xb p + [q2Аз(А1 - Аз)^Аз - A3 + Ai) + r2АЪ(А, - A3XA3 - A3 + Ai)].
G
A1A2 A3
Выражения для m2, m3 получаются из m1 в (1.7) циклической перестановкой величин А1, А2, А3
иp, q, r. При этом коэффициенты X2 + b-j, ^ + —, ^^ в mi,i = 1,2,3, остаются неизменными, а сла-
G G G
гаемые, содержащие a31, a32, a^ + a^, имеют похожий вид. Направляющие косинусы aiJ выражаются через углы Эйлера ф, у, 9 по известным формулам [12]. Без учета влияния M" и Mr на Mc с точностью до величины первого порядка малости б момент сил вязкой жидкости в полости имеет вид
ГpiАг(Ах - А2ХА2 - A3 + А1) + r2А3(А - А3ХА3 - А2 + А)]4 q[r2А3(А2 - А3ХА3 - А1 + А2) + p2А1(А2 - А1)(А1 - A3 + А2)] v r[p2 А^ - А1)(А1 - А2 + A3) + q2 А2(А3 - А2ХА2 - А + А3)]у
Mc - P
А1А2 A3
(1.8)
Ограничимся указанным выражением в первом приближении. Упрощенные на основе выражения (1.8) уравнения управляемого движения (1.1) в проекциях на главные центральные оси инерции имеют вид
А1 p + (A3 - А2 )qr = -ьАг - Мp +
+-
P pq А(А1 - А2ХА2 - A3 + А1) + r2АЪ(АХ - A3XA3 - A2 + A1)],
(1.9)
A1A2 A3
A2^ + (A1 - A3 )pr = -bAq - XA2q +
G
+ -
P q[r2A3A - A3XA3 - A1 + A2) + p2A1A - 4)(4 - A3 + A2)],
A1A2 A3
Аъг + (А2 - А1 )рд = -ЬА^ - Ызг +
+ Р г[р2А1(А3 - А1)(А1 - А2 + А3) + д2А2^А3 - А2)^А2 - А! + А3)].
А1А2 А3
Кинематические соотношения не выписываем, так как уравнения (1.9) образуют замкнутую систему. Эти уравнения подвергаются дальнейшему анализу.
v
2. Решение задачи оптимального торможения. Отметим, что момент сил, обусловленный вязкой жидкостью в полости, является внутренним, а момент сил линейного сопротивления среды — внешним. Домножим первое уравнение (1.8) на G1, второе — на G2, третье — на G3 и сложим (скалярное умножение G • G). Получим скалярное уравнение, подлежащее интегрированию,
G = -b (t, G) - XG, G(t0) = G0. (2.1)
После интегрирования задачи Коши (2.1) из условия остановки вращений (1.5) имеем искомые выражения для времени быстродействия T = T(t0,G0) и функции Беллмана T(t,G). Напомним, что G = /ш.
В общем случа
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.