ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 68. Вып. 5, 2004
УДК 531.36:534.1; 62-50
© 2004 г. Л. Д. Акуленко
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯМИ БИФИЛЯРНОГО МАЯТНИКА
Исследуются управляемые колебательные и вращательные движения твердого тела на плоскопараллельном бифилярном подвесе. С телом связан управляемый объект, относительное положение которого может изменяться регулируемым образом. В качестве управляющего воздействия принимаются векторы ускорения или скорости перемещения объекта относительно тела. Величины управляющих воздействий считаются малыми по сравнению с силами тяготения, что позволяет в безразмерных переменных ввести малый параметр. Рассмотрены конкретные области ограничений (прямоугольник, эллипс, наклонный отрезок). С помощью асимптотических методов построено решение первого приближения для задачи оптимального управления энергией колебаний и вращений системы. Отдельно изучены случаи малых колебаний и быстрых вращений. Установлены и прокомментированы качественные особенности управляемых движений бифилярного маятника.
Построение, исследование и оптимизация управляемых движений для вращательно-колеба-тельных систем типа маятника представляют значительный прикладной интерес применительно к задачам функционирования приборов, аэрокосмических тросовых систем, подъемно-транспортных механизмов, аттракционов и др., см. [1, 2] и библиографию. На практике могут быть реализованы разные способы управляющего воздействия: внешнее - посредством силы или (и) момента сил относительно фиксированной оси [1], инерционное - посредством управляемого перемещения точки подвеса [1, 2], параметрическое - при помощи регулируемого изменения длины подвеса [2] или относительного перемещения внутренних масс [2-4] и др.
Ниже исследуется задача оптимального по быстродействию управления плоскими колебаниями и вращениями системы типа маятника - твердого тела на плоскопараллельном бифилярном подвесе (фигура). В качестве управляющих воздействий принимаются регулируемые по ускорению или скорости относительные перемещения внутренней массы (модель "вращающихся качелей" или "чешских качелей"). Отметим, что движения тела на бифилярном подвесе обладают специфическими свойствами.
1. Постановка задачи. Для определенности и простоты рассматривается симметричная реализация подвеса с помощью абсолютно жестких штанг одинаковой длины I (фигура). При этом твердое тело М может иметь произвольное распределение масс. Неподвижные шарниры подвесов связаны с горизонтальной осью X инерци-альной системы ХУ; расстояние между ними равно й. Расстояние между подвижными шарнирами на теле М также равно й, так что движения тела оказываются поступательными. Отрезки, соединяющие последовательно шарниры, образуют параллелограмм. Центр масс М тела и все его точки движутся по окружностям радиуса I с неподвижными центрами в системе ХУ. Эти движения и ориентация осей штанг относительно вертикали У определяются углом ф.
Далее считается, что тело М является несущим, и к нему присоединен несомый объект массы т посредством голономных нестационарных связей. Этот объект (в частности, материальная точка) может совершать относительные поступательные
движения. Для описания перемещений вводится связанная с телом система координат xy, ось x которой проходит через точки подвижных шарниров, а левый шарнир -начало. В этой системе точка M (центр масс несущего тела) неподвижна и имеет постоянные координаты xM, yM, а центр масс m подвижного объекта описывается координатами xm, ym, т.е. вектором rm, которые могут изменяться во времени t регулируемым образом [2, 4].
Координаты XM, YM и Xm, Ym точек M и m в инерциальной системе XY представимы выражениями
Xm = l sin ф + Xm , Ym = - l cos ф + yM, l, Xm, yM = const
Xm = lSin ф + X, Ym = - lCOS ф + y, Xm = X, ym = y
не зависящими от параметра d. Для сокращения записи нижний индекс m, характеризующий подвижную точку, далее опускается. Дифференцированием выражений (1.1) получаются компоненты скоростей, на основе которых вычисляется кинетическая энергия K системы с учетом суммарной кинетической энергии K^ вращательных движений штанг подвеса
K = Km + Km + K ц, Km = ¡ Ml2ф2, K ц = 11 ф2
(1.2)
Km = 1 m (l2tp +21 ф un + v2), un = xcos ф + yysin ф, v2 = X2 + y2
Здесь I - суммарный момент инерции штанг (и противовесов, см. ниже) относительно фиксированных шарниров, ип - нормальная к осям подвеса составляющая векто-
ра относительной скорости V точки т. Для построения уравнения движения нужно найти потенциальную энергию W и функцию Лагранжа Ь системы
V = ^М + ^т + ^, Шм = М%Ум, Vт = т%Ут, ^ = -Цgl(lС08 ф
(1.3)
Ь = К - V = ф2 + т1фип + 1 ти2 - V, I* = (М + т)I2 + I '
В выражениях (1.3) используются представления (1.1) для УМ, Ут и (1.2) для К.
Отметим, что кинетическая энергия К - однородная квадратичная форма переменных ф, х, у. Потенциальная энергия Шц (1.3) элементов подвеса определяется суммарной массой ц и приведенным плечом сил тяготения 1^, которое может принимать как положительные, так и отрицательные (или нулевые) значения из-за наличия противовесов. Для простоты предполагается распределения масс штанг и противовесов таковыми, что центры масс лежат на осях, соединяющих точки подвижных и неподвижных шарниров. Потенциальная энергия (1.3) точки т определяется обобщенной координатой ф и переменной величиной у согласно (1.1).
Далее считается заданным относительное движение т(Г) точки т, т.е. функции х(0, у(0. Пренебрегая возможными возмущающими факторами, на основе функции Лагранжа Ь (1.3) получим уравнение движения
ф + v2sin ф = -у , = х'С08 ф + у^т ф, = - х^т ф + у'со8 ф
(1.4)
у = тИI*, V2 = g(М1 + т1 + ц1Ц)/1*, V2 > 0
Здесь ^п и wl - нормальная и параллельная осям штанг составляющая вектора относительного ускорения ^ точки т соответственно, V - частота малых колебаний бифи-лярного маятника при wn = 0. По форме уравнение (1.4) совпадает с полученным для физического маятника, точка подвеса которого перемещается [1, 2]. Естественно рассматривать функции х (Г), у (Г) в качестве управляющих воздействий. Тогда для системы, описываемой уравнением (1.4), могут быть поставлены и исследованы содержательные задачи оптимального управления колебательными и вращательными движениями. В рамках стандартных методов теории оптимального управления требуемому изменению могут быть подвергнуты переменные ф, ф, х, х, у, у посредством управляющих воздействий х, у, т.е. вектора w относительного ускорения точки т.
В прикладных задачах часто имеет место ситуация, когда относительная скорость V перемещения внутренней массы т (или скорость точки подвеса [1, 2]) может изменяться практически мгновенно в некоторой ограниченной области. Это приводит к управлениям импульсного типа и требует разработки специальных приемов решения соответствующей нелинейной задачи управления и оптимизации. Импульсные воздействия приводят к разрывной (кусочно гладкой) функции ф (Г), однако функция ф(Г) будет непрерывной и кусочно гладкой с угловыми точками (абсолютно непрерывной). Для рассматриваемой системы это затруднение преодолевается введением гамильтоновых переменных (ф, в)
в = ^ = I * ф + т1ип дф
2 2 2 (1.5)
и а- т в2 т1а (т1ип) ти т„, ,
н = в(Р-Ь = 2т* -1*- вип + -27*---2"" + Ш(ф' У )
Здесь в - обобщенный импульс (момент импульса), Н - функция Гамильтона системы. Уравнения движения не содержат обобщенных (импульсных) функций и имеют вид
Ф = нв = 75-7*Ч' un = xcos Ф + ysin Ф. ui = -xsin ф + yco& ф
1 1 (1.6)
в = -Нф = - v2I * sin ф + (ml/I * )ви - (m2l2/I *)vnvl
Для системы (1.6) естественно взять в качестве управляющих воздействий функции x (t), y (t), которые могут быть кусочно непрерывными, в частности релейными. Величина vl имеет смысл тангенциальной составляющей вектора относительной скорости, т.е. проекции v на оси штанг.
Отметим основные свойства движения бифилярного маятника, описываемого уравнениями в форме Лагранжа (1.4) и Гамильтона (1.6). При wn = 0, т.е. w = 0, уравнение (1.4) имеет первый интеграл стандартного вида
1 2
E = 21*Ф - g(Ml + ml + ц 1ц)cosф = const (1.7)
который характеризует полную энергию колебаний или вращений маятника без учета в Wm (1.3) величины mgy, где y = y0 + y01. С помощью интеграла (1.7) уравнение полностью интегрируется в эллиптических функциях [1, 2]. Если положить y = 0, то (первым) интегралом будет также функция E + mgy, y = const.
Система (1.6) при v = 0 имеет первый интеграл вида (см. (1.5))
Н = I в2/1* + W^, y) = const (1.8)
так как y = y0 = const. На основе соотношения (1.8) она полностью интегрируется в эллиптических функциях.
Величина Н характеризует полную энергию колебаний или вращения маятника с учетом слагаемого mgy.
Решение и исследование задач управления движениями нелинейной колебательной системы представляют известные аналитические и вычислительный трудности [1, 2]. Они значительно возрастают при наложении сложных ограничений на управление w или v при учете фазовых ограничений, например на допустимые положения r(t) точки m, т.е. координаты x(t), y(t), а также при задании дополнительных требований на конечные значения r и v. Для приложений, однако, существенный интерес представляет построение упрощенных локально оптимальных [1] или квазиоптимальных [1, 2] режимов управления, которые имеют наглядный явно выраженный резонансный характер. Соответствующие воздействия должны быть в определенном смысле слабыми, так что на интервале времени, равном периоду колебаний или вращений, происходит относительно малое изменение основных параметров движения, например энергии, амплитуды колебаний, скорости вращений и т.п. На больших интервалах, содержащих много (практически несколько) периодов, должно происходить значительное квазиоптимальное по заданному критерию качества изменение указанных характеристик движения маятника (и подвижного объекта).
Такой подход связан с применением асимптотических методов оптимального управления [2], основанных на принципе максимума [5] и методах разделения движений (усреднения) [6, 7]. Его предполагается использовать ниже для решения задач типа оптимального быстродействия при управле
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.