ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2012, № 4, с. 26-37
ОПТИМАЛЬНОЕ ^^^^^^^^^^^^ УПРАВЛЕНИЕ
УДК 519.8
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМАМИ АВТОРЕПРОДУКЦИИ* © 2012 г. О. А. Кузенков, Г. В. Кузенкова
Нижний Новгород, Нижегородский государственный ун-т Поступила в редакцию 06.09.11 г., после доработки 20.10.11 г.
Рассматривается задача оптимизации для системы самовоспроизводящихся объектов. Цель управления заключается в неограниченно долгой поддержке существования системы. Особенность задачи состоит в том, что критерий качества формулируется в виде предела некоторой величины при стремлении времени к бесконечности.
Введение. В задачах управления важнейшую роль имеет определение целей, которые достигаются посредством управления. Цели управления могут быть заданы извне каким угодно образом, а могут определяться самой управляемой системой из своих собственных интересов и предпочтений. В этом последнем случае одной из основных целей является сохранение самой управляемой системы. Ситуация, когда существование управляемой системы зависит от управления, достаточно сложна для математической формализации в общем виде [1]. Здесь трудно корректно определить критерий качества управления. Эти сложности можно обойти в частном случае — в системе самовоспроизводящихся (авторепродуцирующихся) объектов [2, 3]. Самовоспроизводящимися считаются объекты, которые могут создавать свои копии, передавая им свои качественные признаки, определяющие их существование в системе. Одним из примеров самовоспроизводящихся объектов являются живые существа.
Цель настоящей работы состоит в постановке и решении задачи выбора управления в системе самовоспроизводящихся объектов для неограниченно долгого сохранения ее существования. Показано, что данная задача может формулироваться как задача оптимального управления. Ее отличительная особенность состоит в том, что критерий качества управления задается как предел некоторой величины при стремлении времени к бесконечности. Тем самым в отличие от классической теории [4] приходится рассматривать случай неограниченного времени управления. В работе приводятся решения соответствующих оптимизационных задач для ряда широко известных моделей биофизики: Ферхюльста, Вольтерра—Лотки [5] и т. п.
1. Определение систем авторепродукции. Под системой авторепродукции понимается множество элементов, способных создавать подобных себе. Подробное описание процесса авторепродукции и его математической модели дано в [3]. Обобщая различные виды таких процессов (наследование, мутагенез, скрещивание и т.п.), можно утверждать, что математической моделью системы авторепродукции является система дифференциальных уравнений
¿, = г), I = й (1.1)
где каждая величина ^ имеет смысл количества 1-го вида объектов авторепродукции, и = (¿1,..., и„)- При этом система (1.1) должна удовлетворять следующим условиям:
а) величины 11 должны быть неотрицательными;
б) если в какой-то момент времени ^ имеет место равенство
п
2(1о) - X о) = 0'
1 = 1
то во все последующие моменты времени г > t0 справедливо тождество 2(г) = 0.
Последнее условие означает, что самозарождения объектов авторепродукции не происходит, одни объекты могут появиться только от других; если ни одного объекта нет, то ни один больше никогда не появится спонтанно.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 10-01-00514).
Для выполнения требования а) необходимо и достаточно, чтобы при любых начальных условиях с неотрицательными компонентами решение системы (1.1) имело неотрицательные компоненты в любой момент времени. В [1] показано, что для обеспечения этого необходимо и достаточно, чтобы правые части системы (1.1) удовлетворяли неравенствам
F(t,Zi,Z2, Zi-i,0,Zi+i, • • •, zn) > 0, i = 1,n, (1.2)
которые называются условиями квазиположительности.
Очевидно, для удовлетворения требования б) необходимо и достаточно, чтобы при выполнении
n
Z(t) = X Zi(t) = 0, (1.3)
i = i
где Zi > 0, i = i, n, имели место равенства
F(t, Z) = 0, i = й (1.4)
Покажем, что правые части системы (1.1), удовлетворяющей этому требованию, допускают специальное представление.
Те о р е м а 1. Пусть функции F(t, z) в системе (1.1) являются непрерывными по t и липшице-выми по г, удовлетворяют по г условиям квазиположительности (1.2), имеют частные производ-
8F- — —
ные —'-, непрерывные в точках, где Zj = 0, i = i, n, j = i, n. Для того чтобы при выполнении ра-
dzj
венств (1.3) имели место равенства (1.4), необходимо и достаточно, чтобы функции Fi(t,z) можно было представить в виде
n
F(t, z) = X bj(t, Z)Zj, (1.5)
j=i
где функции biJ(t, z) являются непрерывными по переменным t, г.
Доказательство. Достаточность представления (1.5) для выполнения равенства (1.4) при условии (1.3) очевидна. Докажем необходимость представления (1.5). Введем в рассмотрение следующие функции:
^^ Г \ — Vit (\ nrw
, если Zj Ф 0,
[F (t, 0,... ' 0' Zj, Zj+i' . -, Zn) — Fi (t, 0,..., 0,0, Zj+i, ..., Zn)
j II ÔF-dF (t, 0,- », 0,0,Zj+i,. zj .., Zn), если Zj = 0.
Поскольку функции Fí непрерывны, то и функции Ь у непрерывны всюду, кроме, может быть,
точек, где Zj = 0. Исследуем на непрерывность функцию Ьу в произвольной точке Ы{)° с нулевой у-й координатой. Так как функции F¡ дифференцируемы, то по теореме Лагранжа имеет место представление
др.
Ц(г,0,..., 0,Zj,Zj+1,..., zn) - 0,..., 0,0,Zj+1, ..., zn)—L(г,0,..., 0,$,Zj+1, ..., zn)zj,
д^
где 0 < 2, < Zj. Отсюда
Ц(г,0,..., 0,Zj,Zj+1,..., гп) -1)(г,0,0,0,х.}+ъ..., х.п) _ дЦ
- - — Ч, Ц .5 Ч^, Zj+ъ .■; ^
^ д^
где правая часть равна z) при Zj Ф 0. Если устремить точку z к точке Му° с нулевойу-й координатой, то соответствующая компонента z¡ будет стремиться к нулю, величина 2, также будет стре-
дЦ
миться к нулю. В силу того, что производные —- непрерывны в точках, где z¡ = 0, следует, что
lim b^t, z) = b^t, M0).
z ^ M0
Тем самым непрерывность функций Ьу в точках, где Zj = 0, доказана.
Поскольку Fj(t, 0) = 0, то функция F допускает следующее представление:
F(t, z) = F(t, z) - F(t, 0) = Ft(t, zb Z2, . • •, zB) - F(t, 0, z2, ..., zB) + ••• + + F(t, 0,..., 0, zj, zj+!, ..., zB) - F(t, 0, ..., 0,0, zj+!, ..., zB) + F(t, 0, ..., 0, zB) - F(t, 0, ..., 0,0) =
_ ^ Fi(t,0,..., 0, zj, zj+1, .••, zB) - F(t, 0,..., 0,0,zj+1, .••, zB) _
= Z ^
j = i J j = i что и требовалось доказать.
Простейшей моделью авторепродукции, содержащей элементы разных типов, является система
¿i = a(t, z)zh i = i, n, (1.6)
где функции a(t, z) непрерывны по своим аргументам. Функции aj называются коэффициентами воспроизводства каждого i-го вида объектов авторепродукции. Частным случаем системы (1.6) является модель Вольтерра—Лотки сосуществования биологических видов
n
Zi = rtzt - ZiX s jZj,i = i,n.
j=i
Здесь rt — коэффициент размножения i-го вида в благоприятных условиях при отсутствии лимитирования, sij — вклад, который вносит у-й вид в повышение смертности i-го вида, коэффициент лимитирования, обусловленный конкуренцией i-го иу-го видов.
Простейшим случаем такой модели является уравнение Ферхюльста роста биомассы
Z = R(t)Z(i - W, (1.7)
где W — некоторая положительная константа, характеризующая максимальное количество биомассы, которая может неограниченно долго существовать в данной среде, R(t) — неотрицательная непрерывная функция. В этой модели коэффициент воспроизводства имеет вид a(Z, t) =
= R(t) (i -W )•
Более сложным примером системы авторепродукции, не сводящимся к уравнениям вида (1.6), является процесс размножения в популяции насекомых с неполным метаморфозом: взрослые особи производят личинки, личинки со временем превращаются во взрослые особи. Обозначим через х количество личинок, y — количество взрослых особей. Пусть r — количество личинок, появляющихся от одной взрослой особи, s — коэффициент смертности личинок, p — доля личинок, доживающих до превращения во взрослые особи, q — коэффициент смертности взрослых особей, p, r, s,q > 0. Кроме того, предполагается, что есть дополнительная смертность, вызванная взаимной конкуренцией особей друг с другом, коэффициент дополнительной смертности равен как для личинок, так и для взрослых особей и пропорционален общему количеству особей в популяции. Тогда уравнения динамики будут иметь вид
X = ry - sx - px - x(x + y), (18)
= px - qy - y(x + y).
Данная модель уже не относится к типу (1.6), но имеет представление (1.5).
Модели подобного типа рассматривались, в частности, в [5, 6]. Отметим, что классические уравнения химической кинетики также можно рассматривать как частные случаи системы авторепродукции, представляемые в виде (1.5) [3].
2. Простейшие задачи управления. У объектов авторепродукции в пределах одной системы могут быть различия в значениях некоторых характеристик или вариантов поведения, которые влияют на процесс воспроизводства и от которых зависит его скорость или коэффициент воспроиз-
водства. При одних характеристиках возможно неограниченно долгое существование системы, поддержка процесса воспроизводства, при других реализуется случай, когда
lim Z(t) = 0, (2.1)
t ^ ю
т.е. вырождение системы.
Управляемая система авторепродукции задается системой уравнений
n
ii = X bj(t, z, u)Zj, i = 1 n, (2.2)
J = i
где коэффициенты bj непрерывно зависят от своих аргументов, управление u является кусочно-непрерывной (или измеримой) функцией от t, определяющей поведение системы. На значения управляющей функции накладывают ограничение — требование принадлежности фиксированной области допустимых значений — области управления U. Обозначим через D[U] множество кусочно-непрерывных функций времени, принимающих значения во множестве U; любой элемент из Ди] будем называть допустимым управлением.
Задача управления состоит в том, чтобы при данных начальных условиях найти допустимое управление u(t), при котором выполняется соотношение
lim Z(t) Ф 0 (2.3)
t
(в частности, неравенство (2.3) имеет место, если lim Z(t) не существует). Цель управления, зада-
t
ваемая в виде некоторого предельного неравенства, является особенностью данного класса задач по сравнению с классическими задачами управления [4]. Существ
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.