ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2015, № 5, с. 3-9
УПРАВЛЕНИЕ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ
УДК 531.36:62-50
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМОЙ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК НА ПРЯМОЙ С СУХИМ ТРЕНИЕМ*
© 2015 г. Т. Ю. Фигурина
Москва, ИПМех РАН e-mail: t_figurina@mail.ru Поступила в редакцию 24.11.14 г., после доработки 06.02.15 г.
Рассматривается движение системы трех или более одинаковых точечных масс вдоль прямой с сухим трением, возникающее при изменении конфигурации системы. Решена задача оптимального управления системой с целью максимизации ее сдвига за фиксированное время при нулевых скоростях и совпадении положений всех точек в начале и конце движения в случае отсутствия ограничений на силы взаимодействия масс. Показана неединственность оптимального решения и построено такое оптимальное решение, при котором расстояние между любыми двумя точками не превосходит заданного значения на всем интервале движения.
DOI: 10.7868/S0002338815050054
Введение. Данное исследование продолжает ряд работ [1—5], посвященных движению систем нескольких тел с изменяемой конфигурацией вдоль прямой по горизонтальной плоскости с сухим трением. Между телами действуют силы взаимодействия, приводящие к изменению расстояний между телами, скоростей тел и, как следствие, к изменению внешних по отношению к системе сил трения. Каждое из тел моделируется материальной точкой, сила трения между телами и плоскостью является кулоновой, сила нормальной реакции, действующая на каждое тело, считается неизменной (вес системы не перераспределяется между телами). В [1—5] рассматривается, наряду с анизотропным, изотропное трение, не дающее системе преимущества при движении в ту или иную сторону; движение в заданном направлении осуществляется за счет выбора закона управления системой и ее параметров.
Возможность движения системы двух тел вдоль прямой рассматривалась в [1—3]. В [1, 2] решены задачи оптимизации движения двух тел различных масс вдоль прямой с сухим, в том числе изотропным, трением с целью максимизации средней скорости движения системы. Предполагалось, что расстояние между телами меняется периодически и что тело большей массы никогда не движется назад. В [1] рассмотрено движение системы при кусочно-постоянных силах взаимодействия тел, в [2] кусочно-постоянной предполагалась скорость относительного движения тел. Были найдены оптимальные параметры системы и законов управления. В обоих случаях тело меньшей массы имеет интервалы движения назад. Движение системы двух одинаковых тел вдоль прямой с изотропным трением невозможно. В [3] также изучалось движение двух тел с периодически изменяющимся расстоянием между ними вдоль прямой с сухим изотропным трением. Рассматривался закон изменения расстояния между телами, при котором на периоде имеется один интервал удаления тел друг от друга и один интервал сближения тел. Показано, что для поступательного передвижения системы необходимо и достаточно, чтобы силы трения скольжения тел были различными и чтобы закон изменения расстояния между телами на интервале между двумя соседними моментами наибольшего сближения тел не обладал симметрией относительно момента времени их наибольшего удаления.
В [4, 5] рассматривается движение системы п > 3 одинаковых тел вдоль прямой с малым трением, в том числе в случае сухого изотропного трения. Расстояние между каждой парой соседних тел меняется по одинаковому временному закону, с точностью до постоянного между соседними парами соседних тел времени запаздывания. В [4] этот закон считается кусочно-линейным, а в [5] — кусочно-квадратичным. Найдены условия на параметры системы, при которых система может начать движение из состояния покоя, вычислена скорость установившегося движения в зависимости от параметров. В случае малого трения все три тела имеют интервалы движения назад.
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (грант № 14-11-00298).
В данной работе рассматривается движение системы трех или более идентичных тел вдоль прямой с сухим изотропным трением, малость трения не предполагается. В этом случае возможно безреверсное движение системы, при котором ни одно из тел не движется назад. Решается задача оптимального управления системой с целью максимизации ее сдвига за фиксированное время в предположении, что силы взаимодействия между телами не ограничены и позволяют изменять скорости тел системы скачком.
1. Постановка задачи оптимального управления. Рассмотрим систему, состоящую из п > 3 материальных точек, лежащих на горизонтальной прямой. Массы точек предполагаются равными,
= т, I = 1, п, между прямой и точками действует сила сухого (кулонова) трения. Соседние точки взаимодействуют между собой силами, которые будем считать управляющими переменными, причем их величина может быть сколь угодно большой, и допустимы 5 -функции, приводящие к мгновенному изменению скоростей точек. Пусть х1 — координата , -й точки вдоль прямой, V1 и /\ — алгебраические проекции на прямую скорости , -й точки и управляющей силы, действующей на (/ + 1)-ю точку со стороны точки ¡, — алгебраическая проекция силы трения, действующей на ¡-ю точку.
Уравнения движения системы точек имеют вид
*= ^ , Р / = (1.1)
ты, = /м - / +
Здесь и далее доопределены
/о = /п = 0.
Силы трения подчиняются соотношениям
-kmgsign V, если V Ф 0, *\ = \-/-1 + /, если V = 0 и | /-1 -/ < (1.2)
„-kmgsign/ -1 -/), если vi = 0 и |/-1 -Д > kmg,
где к — коэффициент трения между точками системы и плоскостью, g — ускорение свободного падения.
Пусть в начальный момент времени все точки системы покоятся и находятся в одной точке прямой (без ограничения общности будем считать эту точку началом оси координат)
*(0) = 0, V,. (0) = 0, ,= (1.3)
Зафиксируем время движения системы, I е [0, Т]. Будем рассматривать такие движения системы, которые приводят все ее точки в конечный момент времени Т в одно и то же положение на прямой с нулевой скоростью
*(Т) = хТ , = 2П, V (Т) = 0, 1 = й (1.4)
Обозначим через х и V координату центра масс системы и его скорость:
х
п п
= 1X*" V = 1 XV' (1.5)
п 1 п.
1 = 1 1 = 1
Поставим следующую задачу о максимальном смещении системы точек.
Задача 1. Найти движение системы точек, подчиняющееся соотношениям (1.1), (1.2), при неограниченных управляющих силах /, переводящее систему из состояния (1.3) в состояние (1.4) и максимизирующее смещение системы:
х(Т) ^ тах. (1.6)
2. Вспомогательная задача о движении центра масс. Из соотношений (1.1) следует уравнение движения центра масс системы
п
V = ± X (2.1)
пт
i = 1
Если на некотором временном интервале задано движение системы точек х(), I = 1, п, вместе с силами трения Fi(t), удовлетворяющими соотношениям (1.2), и выполнено равенство (2.1), то управляющие функции /¡((), порождающие в силу (1.1) данное движение, имеют вид
fi = X Fj - vy i = 1, n -1- (2-2)
i = 1 j = 1
Решим вспомогательную задачу о максимальном смещении центра масс системы.
Задача 2. Найти движение системы точек, подчиняющейся соотношениям (1.1), (1.2), при неограниченных управляющих силах f, такое, что скорость центра масс системы в начальный и конечный моменты времени равна нулю, а его смещение максимально:
v(0) = vT) = 0, x(0) = 0, (2.3)
x(T) ^ max. (2.4)
Заметим, что в задаче 2 не требуется ни равенства нулю начальных и конечных скоростей точек, ни равенство смещений точек за время движения. Множество допустимых движений задачи 1 есть подмножество множества допустимых движений задачи 2, следовательно, максимальное значение функционала задачи 2 не меньше максимального значения функционала задачи 1.
Покажем, что при заданном значении скорости центра масс v можно мгновенно придать скоростям точек любые значения vt, удовлетворяющие второму равенству (1.5). Пусть в некоторый момент времени t скорости точек vt меняются скачком, так что vt(t + 0) = vt(t - 0) + Av;-. В силу (2.1) и ограниченности сил трения, скорость центра масс при этом должна оставаться неизменной, v(t + 0) = v(t - 0), а изменения скоростей с учетом (1.5) должны удовлетворять равенству
n
X Avt = 0. (2.5)
i = 1
Силы взаимодействия, порождающие такие изменения скоростей точек, вычисляются как
i
f(t) = -mS(t)X Avj, i = în-I (2.6)
i = 1
где S(t) — дельта-функция Дирака. Таким образом, действительно, можно с помощью управляющих сил взаимодействия (2.6) мгновенно изменить скорости точек системы любым образом, при котором выполнено соотношение (2.5), обеспечивающее неизменность скорости центра масс системы.
Найдем оптимальное в смысле задачи 2 движение центра масс системы x(t ), предполагая, что соответствующее движение точек системы существует, а после предъявим это движение. Пусть скорость центра масс положительна, v > 0. Тогда скорость хотя бы одной j -й точки должна быть положительной, vj > 0, при этом Fj = -kmg. Максимальное значение суммарной силы трения достигается при отрицательных или нулевых скоростях всех остальных n - 1 точек и при максимально возможных силах трения покоя, Fj = kmg, i ф j, и равно
max X Fi = (n - 2)kmg.
v>0
i = 1
n
Минимальное значение суммарной силы трения достигается при положительных или нулевых скоростях всех точек, так что = -kmg, г = 1, п, и равно
min ^ F = -nkmg.
v>0
i=i
Таким образом, в силу уравнения (2.1) выполнено включение
v > 0. (2.7)
v e
, n - 2 , -kg,-kg
n
Аналогично при отрицательных значениях скорости центра масс V выполнено включение
V е [-kg(n - 2)/п, kg]. Пусть [?а, ta¡] — интервал времени, внутри которого скорость V положительна, а на концах равна нулю. Тогда смещение центра масс на этом интервале максимально, если сначала он разгоняется с максимальным ускорением V = kg(n - 2)/п, а затем тормозится с минимальным ускорением V = -kg, причем максимальное смещение на отрезке есть возрастающая функция длины этого отрезка. Поскольку смещение центра масс при V < 0 отрицательно, то при оптимальном движении, решающем задачу 2, существует единственный отрезок, внутри которого
V > 0, и этот отрезок совпадает с отрезком [0, Т]. Таким образом, при оптимальном движении центра масс выполнены соотношения
. \п—2t е [
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.