АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2013, том 47, № 4, с. 361-372
УДК 521.1; 629.78
ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ДЛЯ ЭКСПЕДИЦИИ КА К АСТЕРОИДУ АПОФИС С ВОЗВРАЩЕНИЕМ К ЗЕМЛЕ
© 2013 г. В. В. Ивашкин1, И. В. Крылов2, А. Лан2
Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН 2Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана Поступила в редакцию 03.04.2013 г.
Одной из актуальных задач космонавтики является сейчас организация экспедиции к сближающемуся с Землей астероиду Апофис. В работе рассматривается задача определения энергетически оптимальных траекторий перелета КА к Апофису с последующим возвращением к Земле. Рассмотрены два варианта двигательных установок для этой экспедиции. В одном предполагается использование двигателей малой электрореактивной тяги. В другом варианте рассмотрен случай полета только с двигателями большой тяги. Показано, что в обоих случаях можно организовать экспедицию к Апофису, однако применение двигателей малой тяги позволяет заметно улучшить характеристики проекта.
Б01: 10.7868/80320930Х1304018Х
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время одной из актуальных задач космонавтики является организация экспедиции к сближающемуся с Землей астероиду Апофис. До недавнего времени считалось, что существует высокая вероятность столкновения Апофиса и нашей планеты в 2036 г. При этом энергия возможного столкновения Ест оценивается примерно в 500 Мт ТНТ (для Тунгусского метеорита Ест ~ ~ 12 Мт ТНТ) (Ивашкин, Стихно, 2009). Поэтому первоочередная цель экспедиции подразумевала сбор информации, необходимой для уточнения орбиты астероида и проведения ее последующей коррекции. И хотя последние исследования, проведенные в начале 2013 г., позволили существенно снизить указанную вероятность, Апофис продолжает оставаться небесным телом, несущим потенциальную угрозу Земле. Другой важной целью экспедиции может стать доставка на Землю вещества астероида (Ахметшин и др., 2004).
В данной работе рассматривается задача формирования энергетически оптимальных траекторий КА по маршруту Земля—Апофис—Земля. Рассмотрено два варианта двигательных систем. В одном варианте исследуется комбинированная схема перелета, включающая в себя разгон КА до второй космической или гиперболической скорости двигателями большой тяги, ДБТ, и последующее управление КА при помощи электрореактивных двигателей малой тяги, ДМТ (Гродзов-ский и др., 1975). ДМТ обеспечивают высокие скорости истечения реактивной струи (более десяти километров в секунду), и их применение
особенно выгодно в условиях продолжительного гелиоцентрического перелета. В другом варианте исследован случай полета только с двигателями большой тяги.
В работе приводятся численные результаты, позволяющие выбрать оптимальные параметры экспедиции (время старта КА, продолжительности гелиоцентрических этапов перелета, величину и направление разгонного импульса и т.д.) и оценить массу спускаемого аппарата (СА) перед его входом в атмосферу Земли. В первом варианте рассмотрены случаи как идеальной тяги (ИТ), так и кусочно-постоянной тяги (КПТ). При этом предполагается, что в качестве носителя используется ракета среднего класса Союз-ФГ с разгонным блоком "Фрегат" (Автоматические КА, 2010), а в качестве ДМТ — электрореактивные двигатели СПД с энергетикой от современных солнечных батарей (Ахметшин и др., 2004).
В пп. 2—6 рассмотрен первый случай полета — с ДБТ и ДМТ В п. 7 рассмотрен второй случай полета — с ДБТ.
2. СХЕМА ЭКСПЕДИЦИИ.
ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ
Комбинированная схема экспедиции КА к астероиду Апофис состоит из нескольких основных этапов. На геоцентрическом этапе КА, находящийся на низкой (с высотой Н ~ 200 км) промежуточной околоземной орбите, в момент ^ разгоняется при помощи ДБТ блока "Фрегат" (Автоматические КА, 2010) до второй космиче-
ской или гиперболической скорости. На первом гелиоцентрическом этапе КА при помощи ДМТ осуществляет перелет к астероиду таким образом, чтобы в момент t1 стали равными гелиоцентрические координаты и скорости КА и Апофиса. На приастероидном этапе КА при помощи ДМТ гасит свою скорость с параболической до круговой и становится искусственным спутником Апофиса. Затем, после некоторого пребывания у астероида, его исследования и, может быть, взятия грунта, в момент t2 КА снова разгоняется при помощи ДМТ до параболической скорости и выходит из сферы действия Апофиса. Наконец на втором гелиоцентрическом этапе КА при помощи ДМТ возвращается к Землею. При этом перелет осуществляется таким образом, чтобы в конечный момент экспедиции tf = t3 гелиоцентрические координаты КА и Земли были равны друг другу. Затем спускаемый аппарат входит в атмосферу и осуществляет посадку на поверхность Земли.
Таким образом, основная задача формулируется следующим образом.
Основная задача
Пусть задана общая продолжительность экспедиции At = ^ — Задана также и продолжительность пребывания КА на орбите искусственного спутника (или на поверхности) Апофиса Ata = ^ — Необходимо определить величину и направление разгонного импульса ДБТ, моменты а также программы управления ДМТ на первом и втором гелиоцентрическом этапе, чтобы масса КА в момент ^ (конечная масса) оказалась максимальной. В работе принято: At = 2 года, Ata = 30 сут.
Решение указанной задачи находится при помощи данных, полученных в результате решения более простых вспомогательных подзадач, которые соответствуют основным этапам перелета. Математические формулировки этих вспомогательных подзадач приводятся ниже.
3. СЛУЧАЙ ИДЕАЛЬНОЙ ТЯГИ И НУЛЕВОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ИЗБЫТКА СКОРОСТИ
3.1. Этап геоцентрического движения КА
Первая вспомогательная подзадача формулируется следующим образом.
Подзадача 1. Оценить массу КА т(^) на геоцентрическом этапе после его разгона до заданной параболической или гиперболической скорости при условии, что этот разгон осуществляют ДБТ. Начальная масса КА, начальная околоземная орбита, а также характеристики ДБТ заданы.
Будем полагать, что вывод КА на низкую околоземную орбиту обеспечивает ракета-носитель Союз-ФГ, которая позволяет доставить массу тх ~ ~ 7130 кг на высоту 200 км, а для набора КА второй космической или гиперболической скорости используется блок "Фрегат". Удельная тяга ДБТ этого блока составляет ~326 с, а скорость истечения Ж, ~ 3.198 км/с. Будем также полагать, что гравитационные потери при разгоне малы. Тогда масса аппарата т(^) приближенно определится следующим образом:
т ) = т1 ехр
Ж Ж,
- т,
(1)
ф у
где АУ = , V: +
з
11*1
— величина разгонного
импульса, т, = 970 кг — "сухая" масса "Фрегата", Vю — гиперболическая скорость КА на "бесконечности", цЗ — гравитационный параметр Земли, — радиус промежуточной орбиты. Если Vx = 0, то масса КА в момент начала гелиоцентрического участка т(^) равна 1630 кг.
3.2. Первый этап гелиоцентрического движения КА
На этом этапе движение КА рассматривается в гелиоцентрической эклиптической прямоугольной системе координат, ось ОХкоторой направлена в точку весеннего равноденствия, ось OZ — на северный полюс эклиптики, ось ОУдополняет систему до правой. Будем учитывать только силу тяготения Солнца и реактивную тягу ДМТ. Тогда уравнения движения КА имеют вид:
Г = V,
V = g (г) + и.
(2)
Здесь гт = [гх,гу, ^] и Vх = \ух, ^] — гелиоцентрические радиус-вектор и вектор скорости КА (знак "Т" здесь и далее означает транспонирование);
г
g(г) = -ц — — ускорение силы тяжести; ц — грави-г
тационный параметр Солнца; г = |г| — расстояние от КА до центра Солнца; ит = [их, иу, и^] — управляющее ускорение, создаваемое ДМТ. Текущая масса КА определяется уравнением:
6т _ _п
(3)
где в — секундный массовый расход. В работе полагается, что мощность ^дв ДМТ постоянна на протяжении всего перелета. Имеем:
дв 2
2
Здесь Же — скорость истечения частиц в реактивной струе. В соответствии с (Гродзовский и др., 1975) интегрируем дифференциальное уравнение (3) с учетом (4). Тогда масса КА:
2N д
2NOT + m(t 0)/1
m(t0),
где
J1 = Jи
dt.
(5)
(6)
(7)
лительных ресурсов, обладая при этом худшей устойчивостью к локальным экстремумам (Чер-ноусько, Баничук, 1973). Затем система (2) линеаризуется относительно полученной векторной
функции г(0) (?) (Белецкий, Егоров, 1964; Ивашкин, Чернов, 2000):
г = v;
v = g (r(0)(t)) + G (r(0)(t))(r - r(0)(t)) + u,
(8)
Из (5) следует, что масса КА в момент t1 тем больше, чем меньше величина интеграла (6). При этом граничные условия для данного этапа задаются в виде:
r(tо) = Го, v(tо) = v0 + VJ, r(ti) = Г1, v(ti) = vi, где l — единичный вектор, параметры r0, v0 соответствуют радиусу-вектору и вектору скорости Земли в момент t0, а параметры rx, v1 — радиусу-вектору и вектору скорости астероида в момент t1. Полагая, что никаких ограничений на управляющее ускорение не накладывается, сформулируем следующую вспомогательную подзадачу.
Подзадача 2. Найти такое управление u = u(opt), что траектория (2) удовлетворяет условиям (7) при V„ = 0, а функционал (6) минимален. Временной интервал t1—10 фиксирован.
Решение подзадачи 2 осуществляется в работе на основе предложенного авторами комплексного метода оптимизации (Ивашкин, Крылов, 2011; 2012). Известно, что эффективность решения не-
(opt)
линейных задач оптимального управления u во многом зависит от удачного выбора начального приближения u(0). В рамках комплексного метода такой выбор осуществляется при помощи следующей процедуры. Первоначально траектория КА строится методом динамического программирования в априорно заданной области изменения параметров (Беллман, 1960), что позволяет находить экстремум функции, не делая никаких предположений о ее выпуклости. Поскольку решение задачи в точной постановке, ввиду "проклятия размерности", потребовало бы проведения чересчур большого объема вычислений, здесь принимается допущение о близости орбиты перелета к эклиптике, что позволяет независимо рассматривать движения КА в плоскостях OXYи OXZ. Последующее уточнение полученных результатов осуществляется методом "блуждающей" трубки (Моисеев, 1971). Окончательно искомая траектория строится в рамках полной пространственной модели (2) методом локального варьирования, кото
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.