ИЗВЕСТИЯ РАН. ТЕОРИЯ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, 2012, № 6, с. 95-111
СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖУЩИМИСЯ ОБЪЕКТАМИ
УДК 517.977
ОПТИМАЛЬНЫЙ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ МАНЕВР "ПЕТЛЯ" БЕЗ ПОТЕРИ СКОРОСТИ*
© 2012 г. Ю. Н. Желнин, А. Е. Утёмов, А. М. Шматков
Жуковский, ФГУП "ЦАГИ"; Москва, ИПМех РАН Поступила в редакцию 19.03.12 г.
Рассмотрена задача о наискорейшем переводе центра масс маневренного самолета из одной заданной точки трехмерного пространства в другую при фиксированных векторах соответствующих скоростей. Найдены численные решения при совпадающих начальных и конечных условиях для траекторий, целиком лежащих в вертикальной плоскости. Показано, что в общем случае решение неединственно, причем наилучшая траектория может менять знак кривизны. Найдены локально оптимальные решения. Также рассмотрена задача с учетом ограничения на знак кривизны траектории и получены соответствующие оптимальные управления как при фиксированной, так и при свободной конечной точке. Приведены примеры для случаев, когда вектор скорости в конце движения равен начальному.
Введение. Исследованию управления полетом самолетов посвящено большое количество отечественных и зарубежных работ. Наиболее подробно изучены вопросы, связанные со стабилизацией заданных летчиком параметров движения методами автоматического регулирования (см., например, [1, 2]). Исследованные задачи выбора оптимальной траектории полета с помощью классических методов вариационного исчисления, принципа максимума и прямых численных методов оптимизации в большинстве случаев [3, 4] связаны с поиском наилучших параметров крейсерских режимов полета, увеличением дальности полета, уменьшением расхода топлива, определением оптимальных профилей полета, четырехмерной (4-Э) навигации и др. Все эти вопросы важны, в первую очередь, для оптимизации летно-технических характеристик неманевренных самолетов [5].
Гораздо меньше публикаций посвящено оптимизации характеристик маневренного самолета. В этих работах в основном была исследована достаточно узкая проблема оптимизации угловой скорости виража в горизонтальной плоскости без ограничений на координаты самолета в конце маневра (задача со свободным правым концом). Достаточно полное решение этой задачи получено в [6—8]. Траектории, лежащие в вертикальной плоскости и не сводящиеся к обычным для гражданской авиации (смена высоты полета, заход на посадку и т.п.), изучались в основном для нужд космической отрасли (см., например, [9]).
Современные потребности развития и совершенствования самолетов приводят к необходимости решения задач с целью улучшения характеристик летательных аппаратов для более широкого класса траекторий как плоских, так и пространственных. Последнее относится к классу маневренных самолетов, которые в соответствии с их специализацией должны выполнять разнообразные маневры [10], оптимальность последних имеет существенное значение, например в условиях воздушного боя [11—14]. Это в свою очередь значительно усложняет постановку задачи оптимального управления. Она становится пространственной, причем положения координат самолета и направление полета в конце маневра должны удовлетворять определенным заданным условиям (задача с фиксированным правым концом). Результаты соответствующих исследований представляют несомненный интерес, поскольку позволят определить эффективность оптимального решения для типовых маневров, таких как "петля", "косая петля", "переворот", "полупереворот", "горка" и др., по сравнению с традиционными способами их выполнения и оценить возможность реализации оптимального управления на практике.
Одной из основных целей исследований в этом направлении является формирование алгоритмов управления самолетом при маневрировании на основе решений задачи оптимизации, которые могут быть использованы в бортовой системе интеллектуальной поддержки летчика.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 11-01-00378 и 11-08-00435), Программы поддержки ведущих научных школ России (НШ-64817.2010.1) и программы совместных фундаментальных исследований по авиационно-космическим технологиям ФГУП "ЦАГИ" и институтов РАН на 2010—2011 гг.
Последняя должна обеспечивать ему возможность оптимального управления самолетом при выполнении им того или иного маневра. Такие системы в настоящее время все более широко применяются в авиации, поскольку бортовые вычислительные средства и информационное обеспечение современного самолета позволяют реализовать достаточно сложные алгоритмы управления. Опыт последних конфликтов показывает [15], что во время воздушных поединков "противники сходились почти с двойной скоростью звука. При возросшем темпе боя оставалось требование, без выполнения которого закрывался путь к успеху: упреждение противника в атаке. Летчику и думать, и действовать следовало намного быстрее. Скоротечность боя вошла в противоречие с резко возросшим объемом работы, выполнявшейся летчиком в боевом полете." Приходилось совмещать пилотирование самолета, оценку воздушной обстановки, а также слежение за противником с операциями в кабине. В результате летчик вышел на пределы своих психофизиологических возможностей. Конфликт мышления с черновой работой [15] определил необходимость "разработки экспертных бортовых систем, которые должны оказывать помощь летчику в планировании боя и принятии решений в сложной воздушной обстановке". В частности [15], внезапное нападение противника "заставляет инстинктивно, не задумываясь", предпринимать освоенные на тренировках оборонительные маневры. Согласно [15], здесь наиболее выгодны "мертвая петля" или наклонный вираж ("косая петля"), "и только после энергичного уклонения от атаки противника" можно предпринять следующие шаги в завязавшейся борьбе.
Настоящая работа посвящена расчету оптимального по времени маневра "петля" на основе принципа максимума Л.С. Понтрягина [16]. Эта задача была исследована в [17] (см. также [18] и список литературы в [19]). Главным отличием настоящей статьи от [17] следует считать то, что все расчеты в [17] были проведены на основе предположения, что скорость в момент окончания маневра может быть любой. В результате почти всегда эта величина оказывалась значительно меньше начальной, поскольку запас кинетической энергии использовался для скорейшего завершения движения. Однако как при уклонении от противника, так и при преследовании цели очень важно не терять скорость [20]. Поэтому в настоящей работе во всех рассмотренных случаях это требование было удовлетворено, что привело к траекториям, существенно отличающимся от полученных в [17].
1. Уравнения движения. Поскольку в настоящей работе использованы уравнения движения самолета в мало распространенной форме, то изложим кратко их вывод, следуя [21, 22]. Попутно введем значения констант, необходимые для вычислений.
Пренебрежем влиянием ветра, вращением Земли, а также кривизной ее поверхности и рассмотрим движение центра масс самолета в трехмерном пространстве относительно некоторой наземной неподвижной правой декартовой прямоугольной инерциальной системы координат OXYZ, оси OX и OZ которой лежат в горизонтальной плоскости. Имеем
mr = G + R + P, m = const, r = v(t) e | v| = V > const > 0. (1.1)
Здесь m — масса летательного аппарата, которую будем считать постоянной, r — радиус-вектор центра масс самолета в системе OXYZ с компонентами x, y и z, v — вектор скорости, G — сила тяжести, R — главный вектор аэродинамических сил, P — сила тяги двигателей. В силу сказанного выше будем считать, что значение V всегда достаточно велико и ограничение на него можно не учитывать.
Гравитационное поле будем полагать однородным, так что
G = col(0, -mg, 0), |G| = mg, g = 9.81 м/с2, (1.2)
где g — величина ускорения свободного падения, а через col обозначен вектор-столбец. Будем считать атмосферу изотермической со следующей аппроксимационной зависимостью массовой плотности воздуха р от высоты y:
Р = Р о ехР(-У/h), (13)
р0 = 9.81 х 0.125 кг/м3 = 1.22625 кг/м3, h = 104 м. .
Вектор R в (1.1) принято рассматривать в виде суммы трех векторов
R = Rx + Ry + Rz, (1.4)
где Rx — сила лобового сопротивления, Ry — подъемная сила, Rz — боковая сила. Вектор Rx направлен против вектора скорости v, вектор Ry лежит в вертикальной плоскости симметрии самолета
и ортогонален Rx, вектор Rz ортогонален Rx и Ry. Будем считать, что самолет движется без скольжения, т.е. что v всегда лежит в той же плоскости, что и Ry. Тогда можно положить Rz = 0.
Будем полагать, что подъемную силу Ry можно мгновенно менять как по величине, так и по направлению, причем |Ry| может быть выражен через безразмерный скалярный коэффициент подъемной силы Cy:
|Ry| = CyqS, 0 < Cy < Cymax = 1.5, q = pv2/2, (1.5)
где q — скоростной напор, S — площадь крыла самолета. Поясним физический смысл величины
С max -г, г»
y . Во время полета летчик может менять величину Ry посредством изменения угла атаки а, т.е. угла между продольной осью самолета и проекцией вектора скорости на вертикальную плоскость его симметрии. Известно, что при дозвуковых скоростях и |а| ^ 15° коэффициент Cy линеен по а. При |а| a 15° данная зависимость становится существенно нелинейной, что происходит из-за возникновения на крыле явления срыва потока, развитие которого приводит к ухудшению устойчивости и управляемости самолета с последующим переходом к сваливанию. Поэтому при эксплуа-
max
___„„___________y не должно превышать некоторой максимальной величины Cy .
Модуль силы аэродинамического сопротивления может быть записан с помощью безразмерного скалярного коэффициента лобового сопротивления Cx в форме
I Rx I = CxqS, Cx = Cxo + Cxi ■ (1.6)
Скаляр Cx0 — коэффициент лобового аэродинамического сопротивления при нулевой подъемной силе. Его величина обусловлена свойствами вязкости и сжимаемости воздуха и соответствует пассивному сопротивлению, т.е. сопротивлению, которое не зависит от подъемной силы. Соответственно ту часть силы аэродинамического сопротивления, которая зависит от подъемной силы, описывают с помощью Cxi — коэффициента индуктивного сопротивления. В случае дозвуковых скоростей при симметричной конфигура
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.