научная статья по теме ОПТИМАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ СИСТЕМЫ РЕКТИФИКАЦИОННЫХ КОЛОНН Математика

Текст научной статьи на тему «ОПТИМАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ СИСТЕМЫ РЕКТИФИКАЦИОННЫХ КОЛОНН»

ХИМИЧЕСКАЯ ^^^^^^^^^^ ТЕХНОЛОГИЯ

ОПТИМАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ СИСТЕМЫ РЕКТИФИКАЦИОННЫХ КОЛОНН © 2013 г. Г. М. Островский, Н. Н. Зиятдинов, Ф. У. Мустафина

Представлено академиком И.И. Моисеевым 20.12.2012 г. Поступило 13.11.2012 г.

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2013, том 450, № 1, с. 58-61

УДК 66.048.3.001.63

Б01: 10.7868/80869565213130124

Одними из наиболее металлоэнергоемких процессов химической и нефтеперерабатывающей промышленности являются процессы ректификации, поэтому для достижения высоких экономических показателей важное значение приобретает задача построения оптимальной схемы ректификации. Задача формулируется следующим образом: требуется определить структуру (топологию) схемы, число тарелок, место ввода питания и режимы работы в каждой ректификационной колонне (РК), при которых критерий оптимальности (суммарные капитальные и эксплуатационные затраты) принимает минимальное значение. Это задача дискретно-непрерывного нелинейного программирования (ДННП), в которой параметры, характеризующие структуру схемы, число тарелок и место ввода питания в колонне, являются дискретными переменными, а режимные параметры — непрерывными переменными.

Основная проблема оптимального синтеза систем ректификационных колонн (СРК) заключается в том, что количество возможных вариантов разделения исходной смеси увеличивается экспоненциально с ростом числа получаемых продуктов. Эта задача носит типично комбинаторный характер, и при большом числе продуктов фракционирования поиск оптимальной технологической схемы перебором различных вариантов становится весьма трудоемким.

В статье предлагается подход к синтезу СРК на основе гиперструктуры (глобальной схемы) [1, 2], в которой РК используют также как делители потоков. Гиперструктура включает в себя как частные случаи все альтернативные варианты разделения, поэтому нахождение оптимальной схемы дает решение задачи синтеза СРК. Принцип по-

Научно-исследовательский

физико-химический институт им. Л.Я. Карпова, Москва

Казанский национальный исследовательский технологический университет

строения гиперструктуры следующий. В каждой колонне легколетучий компонент уходит с дистиллятом, а тяжелолетучий компонент — с кубовым продуктом. Остальные компоненты (распределяемые) могут присутствовать как в дистилляте, так и в кубовом продукте. Потоки, содержащие одинаковые компоненты, подают в смеситель, а после смешения — на разделение в очередную колонну. Отметим, что использование гиперструктуры данного типа существенно сокращает число непрерывных поисковых переменных, а также исключает дискретные переменные, характеризующие структуру схемы, по сравнению со стандартным подходом к построению гиперструктуры, основанному на использовании делителей потоков.

Приведем гиперструктуру для разделения че-тырехкомпонентной зеотропной смеси: A, B, C, D (компоненты расположены в порядке убывания летучести, рис. 1). Запишем задачу синтеза СРК в следующем виде:

f = min I/V,uJ,mi); (1)

xJ ,uJ ,mi j=i

фк (xJ, uJ, mi) = 0, s = 1,2, J = 1,2,..., N,

1 ^ j ^ J,max

1 < mi < mJ , (2)

k = 1,2,..., mjmax;

W,uJ) < 0, j = 1,2,...,N; (3)

FJ - Dg = 0, Fr - Wg = 0, g = 1,2, ...,N; (4) Здесь j — номер РК; k — номер тарелки в s-й секции j-й РК; xj, uj — переменные состояния и управляющие переменные в j-й РК; s — номер укрепляющей

(s = 1) и исчерпывающей (s = 2) секций колонн; mi — число тарелок в укрепляющей (исчерпывающей) секции j-й РК, которое в общем случае может принимать любые целые значения в пределах от 1 до

J, max

ms — заданное максимальное число тарелок в s-й

секции РК; f1 (xJ, uJ, mi) — суммарные капитальные и эксплуатационные затраты j-й РК; уравнения (2) — математические модели укрепляющей и

ОПТИМАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ

59

исчерпывающей секций у-й РК; неравенства (3) — проектные ограничения у-й РК; соотношения (4) характеризуют структуру системы РК, при этом

соотношение Б3/8 - В8 = 0 означает, что потоком питания у^-й РК является дистиллят g-й колонны,

а соотношение Б' - Ж8 = 0 означает, что поток питания г^-й колонны — кубовый продукт g-й РК; N — число РК в гиперструктуре.

Эффективным способом решения задач ДННП (1) является метод ветвей и границ (ВГ). Важнейшую задачу при применении метода ВГ представляет собой разработка способа вычислений нижней оценки. Стандартный прием получения нижней оценки в задачах ДННП — переход от дискретных переменных к непрерывным, что превращает задачу получения нижней оценки в обычную задачу нелинейного программирования, имеющую хорошо разработанные методы решения. Этот общий подход здесь не может быть применен, поскольку число тарелок не может быть дробным.

В связи с этим в [3] был предложен новый подход к получению нижних оценок. В этом подходе мы заменяем дискретные переменные, которые не могут быть непрерывными (число тарелок), на новые переменные, которые могут принимать как дискретные, так и непрерывные значения. Для этого мы в каждом уравнении, связывающем рабочие и равновесные концентрации разделяемых компонентов,

А

Jk J,k+1 Д/ */к у,к+1Ч

вводим искусственную переменную а /к щим образом:

(5)

следую-

jk

уу = у и

(6)

где индекс I — номер компонента смеси, у/{ — состав паровой фазы, покидающей к-ю тарелку у-й

РК, у *ук — состав равновесной паровой фазы, покидающей к-ю тарелку у-й РК, — локальный эффективный коэффициент полезного действия

тарелки. Легко проверить, что если а {к = 1, то к-я тарелка присутствует в я-й секции у-й РК; если же

а {к = 0, то эта тарелка отсутствует. В то же время

параметры а {к могут принимать и непрерывные

значения в интервале 0 < а{

Обычный метод ВГ состоит в построении дерева вариантов СРК в пространстве всех дискретных

переменных а {к. Каждому варианту соответствует

некоторый набор переменных а {к. В этом случае на каждом шаге метода ВГ из числа варьируемых

удаляется некоторый параметр а {к, и множество варьируемых дискретных переменных разбивается на два подмножества, в одном из которых пара-

4 < 1.

АВС К1

АВ Кз

АВСБ

Рис. 1. Гиперструктура СРК для разделения четырех-компонентной смеси: К0—К5 — ректификационные колонны, 6—8 — смесители потоков. А—Д — компоненты смеси.

метр а {к принимает значение 1, а в другом 0. При этом первому множеству соответствует множество схем, в которых присутствует тарелка, соответствующая параметру а {к, а в другом множестве она отсутствует. Будем условно говорить, что при стандартном применении метода ВГ ветвление проводится "по тарелкам". Число всех дискретных

N

переменных равно У(т/ + т{). Нижняя оценка

у=1

оптимального значения критерия задачи (1) получается решением следующей задачи:

N

/ = шт У /3(ху, и, а {к)

./ /.. / ^^

X ,а {к

У=1

ф к (X , и, а {к) = 0, { = 1,2, у = 1,2,..., N, к = 1 т{ ;

У(X,и) < 0, У = 1,2,..., N ■

(7)

(8)

(9)

7у8

Б8 = 0, Б'8 - Ж8 = 0, 8 = 1,2,..,N; (10) 0 <а{к < 1. (11)

60

ОСТРОВСКИЙ и др.

лф л(22) л(32) л(42)

Рис. 2. Дерево-граф решения задачи оптимального синтеза СРК для разделения четырехкомпонентной смеси.

Отметим, что число простых колонн в гиперструктуре для разделения многокомпонентной

п-1

смеси на п фракций N = ^ I, а в оптимальной

I=1

схеме оно должно быть равно п - 1.

Проблема, с которой мы здесь сталкиваемся, — это размерность задачи; она может быть очень большой. Так, например, при разделении четырех-компонентной смеси гиперструктура содержит шесть колонн. Если каждая колонна имеет 40 тарелок, то число дискретных переменных будет равно 240.

Отсюда возникают следующие трудности решения задачи синтеза.

1. Большая размерность пространства дискретных переменных, что в свою очередь может привести к большому количеству ветвлений в процедуре метода ВГ.

2. Большая размерность задачи вычисления нижней оценки (7).

Для преодоления первой трудности в работе предлагается новый принцип ветвления, в котором при построении дерева решений из числа варьируемых переменных будет удаляться вся совокупность параметров, соответствующих какой-либо из колонн. Фактически это означает, что из гиперструктуры удаляется у-я колонна, если удаляется совокупность параметров, соответствующих этой колонне. Условно этому принципу дадим название "ветвление по колоннам". Для преодоления второй трудности предложена двухуровневая процедура решения задачи (7).

Рассмотрим подробнее процедуру ветвления по колоннам на примере схемы, приведенной на рис. 1. Иллюстрировать процедуру будем с помощью дерева-графа. Вершины Л^, Л^, •••, Л^, ... первого уровня соответствуют схемам, полученным из гиперструктуры (рис. 1) удалением одной

из колонн К!, К2, ..., К^, ... (за исключением колонны Ко), где q — номер колонны.

На первой итерации среди вершин первого уровня находится вершина Д^ с наименьшей нижней оценкой . В этой вершине проводится ветв-

(2)

ление. Вершинами второго уровня являются

потомки вершины Д^. При этом каждому потомку соответствует схема, полученная удалением из схемы, соответствующей вершине Д^, одной из РК.

На второй итерации находится вершина Д^2), имеющая наименьшую нижнюю оценку ц ^2) среди множества вершин второго уровня и

(2)

множества ¿2 висячих вершин первого уровня (г2 = 1 или 2) и т.д.

На 1-й итерации проводится ветвление в вершине Л^), имеющей наименьшую нижнюю оцен-

ку ц ^) среди множества ) вершин Лд) I -го уровня и множества висячих вершин графа, полученных на всех предыдущих итерациях. Пусть

вершине Д^ соответствует схема с ^ РК. Для гиперструктуры, приведенной на рис. 1, первый уровень будет содержать пять вершин.

Рассмотрим подробнее двухуровневую процедуру решения задачи (7) для получения нижней оценки каждой вершины графа (рис. 2).

Решение задачи (7), соответствующей вершине Л^), сводится к итерационной процедуре. На первой итерации в каждой секции каждой колонны параметры а 1к принимают одно и то же значение. Таким образом, число поисковых переменных а {к на первой итерации будет равно 2N\q). На каждой из последующих итераций число групп параметров, принимающих одно и то же значение в каждой секции колонн, будет увеличиваться вдвое. В качестве начального приближения для каждой последующей итерации используем знач

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком