ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2015, том 51, № 3, с. 109-116
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
ОПТИМИЗАЦИОННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВУХУРОВНЕВОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОГРАНИЧЕННОГО РЕСУРСА МЕЖДУ ГРУППАМИ ЛЮДЕЙ
© 2015 г. Е.А. Галькова, Л.С. Маергойз1
(Красноярск)
Разработана оптимизационная математическая модель двухуровневого распределения межДУ группами людей ограниченного ресурса социально-экономического содержания. Ее конструкция базируется на предложенных принципах справедливого распределения. Дано полное описание допустимых линейных ограничений на параметры модели, выполняющих роль управляющих факторов процесса распределения ресурса. Приводится формализация модели как задачи квадратичного программирования с ограничениями в виде линейных равенств и неравенств. Показано применение модели в случае распределения ресурса в несколько этапов, разделенных промежутками времени и связанных между собой наличием одинакового рейтинга потребителей ресурса и общего для этих этапов "принципа управления".
Ключевые слова: математическая модель, алгоритм оптимального распределения ресурса, экстремальная задача.
Классификация JEL: А13.
ВВЕДЕНИЕ
В данной работе метод математического моделирования используется для исследования проблем распределения между группами людей ограниченного ресурса социально-экономического содержания. При рассмотрении этих проблем существенную роль могут играть аспекты нравственности и справедливости. Например, в вопросах распределения квот выбросов парниковых газов между различными странами. Попытки решить эту проблему на международном уровне до сих пор не привели к положительному результату (Маергойз, Сидорова, Хлебопрос, 2011). В строительной индустрии есть подобные проблемы, связанные с распределением жилья для различных категорий инвесторов. Это могут быть группы инвесторов с различными льготами или категории инвесторов, претендующие на разные по престижности части недвижимости. В этих условиях актуальной является задача нахождения оптимальных инвестиционных стратегий. Задача справедливого управления коллективным инвестированием возникает и при неравномерном потреблении какого-либо ресурса, если данные об объемах его потребления каждым инвестором не регистрируются (например, затраты на электроэнергию при использовании лифта жильцами многоэтажного дома) (Галькова, Маергойз, 2006; Галькова, Маергойз, Хлебопрос, 2008).
Особенно остро эта проблема возникает в чрезвычайной ситуации, когда обстановка требует автоматизации процесса распределения гуманитарной помощи между районами, в разной степени пострадавшими во время стихийного бедствия (Галькова, Маергойз, Хлебопрос, 2012). Процесс распределения гуманитарного ресурса можно рассматривать как процесс повышения общественного благосостояния. Существует ряд подходов, направленных на удовлетворение нравственных проблем. Среди этих подходов выделяются подходы английского социолога И. Бентама и американского философа Дж. Роулса. В.Л. Макаров так прокомментировал иссле-
1 Авторы искренне признательны рецензенту за весьма полезные замечания, которые позволили сделать изложение статьи более комфортным для читателя. Авторы благодарны Р.Г. Хлебопросу за ценные обсуждения основных результатов работы, а также Ю.В. Коротковой за предоставленную библиографическую информацию.
дования этих ученых (Макаров, 2011): «Люди не пришли к единому мнению: что же такое счастье? И особенно, когда речь заходит о человечестве в целом. Одна из теорий предполагает, что счастье всех надо сложить, и, мол, это и есть счастье всего человечества. Это крайняя точка зрения, и она, на мой взгляд, антигуманна. Почему? А дело в том, что максимальную цифру можно получить очень просто. Создается общество, в котором все несчастные уничтожаются. Другая крайняя точка зрения звучит так: "максимальное счастье человечества - это счастье самого несчастного". Нам надо найти нечто промежуточное».
Ю.В. Короткова исследовала математические модели принадлежащих И. Бентаму и Дж. Ро-улсу критериев справедливого распределения субсидий между различными группами людей с фиксированным начальным доходом. Их конструкции опирались на целевые функции, представляющие собой некоторые эмпирические функции полезности от труда и его оплаты (Короткова, 2010). Способы достижения компромисса интересов и справедливости в оплате труда исследовал Ю.Н. Гаврилец, рассмотревший вариант подхода к справедливости "когда нет обид": когда удовлетворение каждого не меньше, по крайней мере, чем удовлетворенность любого другого. Он предложил конструкции математических моделей распределения оплаты в трудовом коллективе, использующих функции полезности его участников и учитывающих их квалификацию, трудолюбие, результаты труда (Гаврилец, 1992; Староверов, Котельникова, 2001, гл. 1).
В отмеченных выше работах авторов был предложен математический способ справедливого решения проблем распределения упомянутых видов ресурса. Цель статьи - расширить диапазон применения этих результатов и предложить математический критерий распределения ограниченного социальнозначимого ресурса между группами людей при наличии строгого рейтинга потребителей ресурса. Этот математический подход базируется на предложенных (на основе ряда объективных и субъективных оценок) принципах справедливого распределения ресурса. Точнее, статья посвящена разработке математического подхода к решению проблемы распределения ограниченного ресурса социально-экономического содержания между потребителями (группами людей), находящимися в дифференцированных условиях (Галькова, Маергойз, Хле-бопрос, 2012, с. 74). При данном подходе пропорциональное распределение ресурса (например, по числу участников дележа ресурса) не является справедливым. Система потребителей ресурса характеризуется двухуровневой шкалой: определенным рейтингом их "престижности" и числовой шкалой, отражающей объем потребностей этих групп людей. В связи с этим рассматриваемое в работе распределение ресурса условно называется двухуровневым.
Основной результат работы - построение оптимизационной математической модели одно-этапного распределения ограниченного ресурса между группами людей. Дано полное описание допустимых линейных ограничений на параметры модели, выполняющих роль управляющих факторов процесса распределения ресурса. В отличие от упомянутых результатов Ю.Н. Гавриль-ца, Ю.В. Коротковой, конструкции моделей которых опирались на понятие функции полезности, в качестве целевой функции рассматривается квадратичный функционал. В заключение работы найдено приложение основного результата в случае, когда распределение ресурса происходит в несколько этапов, разделенных промежутками времени. Точнее, рассматривается вариант распределения, при котором этапы связаны между собой наличием одинакового рейтинга потребителей ресурса и общего для этих этапов "принципа управления".
1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Пусть N (Ы > 2) - число потребителей рассматриваемого ресурса, система которых характеризуется числовой шкалой в условных единицах (называемых в дальнейшем баллами), содержащей значения количественного признака, характерного для всех групп, их веса (например, численность групп, число квадратных метров недвижимости, на которое они претендуют и пр.). Пусть C - количество ресурса (в соответствующих единицах). С математической точки зрения распределение ресурса означает разбиение на сумму величины
N
C = /сь (1)
i =1
где С{ - количество ресурса, предназначенное для группы i. Пусть S{ - число баллов у группы i,
N
i = 1,..., N, S = /Si - общее количество баллов у всех групп, si = Si/S - доля баллов для группы
i = 1
i.
Математическую модель распределения ресурса удобно описать, используя безразмерные величины. Полагаем, с = C/S - средняя плотность ресурса (на 1 балл); ct = C/Si - плотность ресурса для группы i, \ = ci/с - безразмерный коэффициент пропорциональности для группы i, где i = 1,..., N.. Эти коэффициенты нельзя выбирать произвольно. Множество их допустимых значений при распределении ресурса между потребителями дает следующее предложение.
Утверждение. В указанных обозначениях количество ресурса С,, предназначенное для группы i, определяется равенством
Ci = cA¡Si = AiSiC, i = 1, ..., N, (2)
где значения коэффициентов Ai удовлетворяют соотношению
NN
/misi = 1, / = 1, Si >o. (3)
i=1 i=1
Доказательство. Используя введенные обозначения и формулу (1), получаем (2) и равен-
N
ство C = /CjSi = cS. Отсюда после элементарных преобразований выводим соотношение (3).^
i =1
Если в выделенную группу входит несколько человек, считаем ее однородной по своему составу. Поэтому естественным является следующий принцип распределения.
Принцип пропорциональности внутри группы. Внутри любой группы каждый участник получает количество ресурса, пропорциональное соответствующему числу его баллов.
Пусть St - число баллов у группы i, где i ! {1,..., N}, а Ct - количество ресурса, предназна-
n n
ченное для этой группы. Если группа состоит из n > 1 человек, то St = / Sim, Ct = / C(m), где
m=1 m=1
Sim - число баллов участника с номером m группы i, C(m) - количество распределяемого ему ресурса, m = 1,..., n. Из принципа пропорциональности и формулы (2) вытекает следующее предложение.
В принятых обозначениях справедливо равенство
Cim) = CiSim = AicSim, Ci = CiSi, m = 1, ..., n, i = 1, ..., N, (4)
где ct - плотность ресурса для группы i.
2. ОПТИМИЗАЦИОННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Учитывая наличие рейтинга потребителей (групп людей) при распределении ресурса, их нумерацию произведем в направлении возрастания плотностей ресурса (см. (4)) этих групп, т.е. 0 < c1 < ... < cN. Например, рейтинг пострадавших районов в чрезвычайной ситуации определялся возрастанием степени нуждаемости в гуманитарном ресурсе (Галькова, Маергойз, Хлебопрос, 2012).
При формализации модели рассмотрим безразмерные коэффициенты пропорциональности А; = ct /c, i = 1,..., N (безразмерные плотности ресурса потребителей), удовлетворяющие неравенству
0 < А1 < ... < An, (5)
причем, как следует из (3), А1 < 1, AN ! (1, 1/sN).
2.1. Дополнительные принципы распределения р
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.