научная статья по теме ОПТИМИЗАЦИЯ ДИФФУЗИОННЫХ СИСТЕМ Химическая технология. Химическая промышленность

Текст научной статьи на тему «ОПТИМИЗАЦИЯ ДИФФУЗИОННЫХ СИСТЕМ»

то

|(T, P, хг) = | (T) + up + RTlnx.

(2)

Далее принято, что процессы изотермические и температуры всех подсистем равны Т. Перечисленные выше задачи рассмотрены для газовых смесей, а затем для растворов.

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ

ДИФФУЗИОННЫХ СИСТЕМ ДЛЯ ГАЗООБРАЗНЫХ СМЕСЕЙ

Оценка максимальной работы в мембранном процессе. Рассмотрим систему, состоящую из термодинамического резервуара, его интенсивные переменные фиксированы и не зависят от потоков обмена, и рабочего тела, интенсивные переменные которого можно изменять во времени тем или иным способом. Система может потреблять извне или генерировать работу. В первом случае работу будем считать отрицательной, во втором - положительной.

Резервуар и рабочее тело взаимодействуют друг с другом через мембрану, проводящую один (активный) компонент смеси. Поток обмена g зависит от химических потенциалов активного компонента в резервуаре |0 и в рабочем |(0 теле. При равенстве этих химических потенциалов поток равен нулю. В частном случае

g(|o,l) = a(lo- I),

(3)

Go =

Jg[|o, |(t)]dt

(4)

изменения энтропии резервуара и рабочего тела за время т полностью определены и минимуму прироста энтропии системы соответствует минимум

а =

с

1 г

tJ[|o- l(t)]g[|o, |(t)]dt

min.

(5)

При этом выбору подлежит функция |(0.

Найдем количественную связь работы А, которую можно извлечь (затратить) в таком процессе с величиной а. Для простоты предположим, что смесь в резервуаре и рабочем теле состоит из двух компонентов (более общий случай может быть рассмотрен аналогично с введением эквивалентного компонента). Если концентрации активного компонента в резервуаре и рабочем теле х0 и х(0, то для второго компонента они равны 1 - х0 и 1 -- х^). Изменение количества вещества О и концентрации х(() активного компонента в рабочем теле определены дифференциальными уравнениями

d(Gx) = d-G = g(|о, |), G(0) ^ fix,

(6)

х(0) — fix.

Количество второго компонента неизменно, поэтому

G (0)[ 1-х (0)] = [ G (0) + Go ][ 1-х (т)]. (7) Из условий (6), (7) следует, что

dx

1

-(1- х) g(|o,|),

где а - коэффициент массопереноса. Температура рабочего тела Т неизменна и равна температуре резервуара.

Когда общее количество вещества О0, переданного от резервуара к рабочему телу или обратно, и продолжительность процесса т фиксированы, то при конечном коэффициенте массопереноса химические потенциалы |0 и |(0 должны отличаться друг от друга в каждый момент времени, а процесс массопереноса необратим. Для определенности предположим, что |0 > |(0) и вещество передается от резервуара к рабочему телу.

Энтропия системы изменяется за счет уменьшения энтропии резервуара, прироста энтропии рабочего тела и производства энтропии, связанного с необратимым массопереносом а. При фиксированном начальном состоянии системы, т.е. составах смесей в начальный момент времени, общем количестве вещества рабочего тела и при фиксированной величине

(8)

Ж О (0)[ 1- х (0)]

х (0) — Ах.

Уравнения термодинамических балансов системы по веществу, энергии и энтропии имеют форму

Оохо = О(т)х(т) - О(0)х(0), (9)

ОоК - [О(т)И(т) - О(0)И(0)] = А, (10) О0^0 = [О(т)s(т) - О(0)^(0)] + а = 0, (11)

где И0 и И, 50 и 5 - молярные энтальпии и энтропии смеси в рабочем теле и резервуаре, связанные друг с другом соотношениями [5]

1

s = T

So =

T

i = 1

2

■Xii' i = 1

(12)

(13)

Давление рабочего тела может изменяться во времени, но так, что Р(0) = Р(т). Для химических потенциалов, в виде (1), уравнение энтропийного

o

т

o

М+£+

р

М-Й- ц-

Ашах Т(В °шт) •

(15)

Множитель X, равный производной минимального значения а по 00, по физическому смыслу задачи положителен. Вторая производная Ь по ц, для кинетики массообмена в форме (3) равна 2Ха и заведомо положительна. Во всех случаях, когда неравенство (16) выполнено, оптимальное значение химического потенциала активного компонента для рабочего тела постоянно и определено условием

Рис. 1. Схема диффузионной машины с постоянным контактом рабочего тела и источников.

баланса (11) с учетом (10), (12), (13) можно переписать в форме

А / Т = -а + Я { G0[ х01п х0 + (1- х0) 1п (1- х0)] + + О (0)[ х (0) 1п х(0) + (1 - х (0)) 1п (1 - х(0))] -- О (т)[ х (т) 1п х (т) + (1 - х (т)) 1п (1 - х (т))]} •

(14)

Второе слагаемое в правой части этого равенства можно рассчитать, с помощью О0, х0, О(О), х(0). Последние связанны через условия (7) и (9) с величинами О(т) и х(т). Обозначим второе слагаемое через В[О0, х0, О(О), х(0)]. Оно может быть как положительным так и отрицательным. Из равенства (14)следует, что

£(Ц0,Ц* ) = 00 •

(17)

Максимуму полученной (минимуму затраченной) работы соответствует минимум производства энтропии в процессе массопереноса.

Задача о минимуме а при условии (4) (или эквивалентная ей задача о максимуме 00 при фиксированном значении а) является усредненной задачей нелинейного программирования [6]. В отличие от задач условного максимума функции, ее оптимальное решение может изменяться во времени. Причем является кусочно-постоянной функцией, принимающей не более двух значений. Не будем останавливаться на вычислении этих значений и доли от общей продолжительности процесса, в течение которой ц*(*) принимает каждое из них, так как в том наиболее распостраненном случае, когда функция Лагранжа неусредненной задачи

Ь = £[Ц0,Ц(*Ж^0- ц(*) - X]

выпукла вниз по ц (вторая производная Ь по ц положительна), решение сформулированной задачи постоянно. Так что условием постоянства является выполнение неравенства

Э

Эц

(Ц0- ц(*) - X) -2д| > 0.

(16)

Таким образом, управлять химическим потенциалом активного компонента рабочего тела для любой кинетики, удовлетворяющей (16), следует так, чтобы поток массопереноса был постоянен.

Соответствующий этому решению закон изменения управляющей переменной, например давления рабочего тела, уже не постоянен во времени, так как в ходе процесса состав смеси изменяется в соответствии с уравнением (8), в котором поток определен условием (17).

Для закона массопереноса (3) минимальное производство энтропии аш1п = 00 /(ат). Из равенства (15) следует, что положительную работу можно извлечь из рассмотренной системы только

при т > тш1п = 00 /(аВ). Нетрудно убедиться, что продолжительность процесса т*, для которой средняя интенсивность извлечения работы А*(т)/т максимальна, вдвое больше, чем тш1п.

В том случае, когда вместо резервуара система содержит источник конечной вместимости с постоянными температурой и давлением, доля активного компонента изменяется в соответствии с уравнением, аналогичным (8), а как следствие изменяется и химический потенциал ц0. Однако и в этом случае минимуму производства энтропии для закона массопереноса (3) соответствует такое изменение ц(*), при котором поток массопереноса постоянен.

Вместо календарного времени, в задаче может фигурировать время контакта, когда рабочее тело движется, а параметры его в каждой точке контура постоянны. Таким образом можно получить оптимальные законы изменения давления по зонам контакта рабочего тела с источником.

Диффузионно-механический цикл максимальной мощности. Рассмотрим прямой цикл извлечения работы в системе, состоящей из рабочего тела и двух резервуаров с разными химическими потенциалами, в одном из которых химический потенциал ключевого компонента равен ц+, а в другом ц_ (для определенности ц+ > ц_) (рис. 1). Процесс циклический, так что прирост энтропии, внутренней энергии и массы ключевого компо-

нента рабочего тела за цикл равен нулю. Температуры всех подсистем одинаковы.

Поочередный контакт с источниками. Рассмотрим случай, когда рабочее тело поочередно контактирует с первым и вторым резервуарами, циклически изменяя свои параметры во времени. Через т обозначим продолжительность цикла, через ц0(*) - химический потенциал источника, принимающий значения ц+ и ц-. Постановка задачи, связанная с получением максимальной работы А за заданное время т, примет вид

А=

|ц£(ц0, ц)Ж

шах

ц0, ц

(18)

при ограничениях на прирост количества вещества рабочего тела (условиях цикличности)

А О =

(ц0, ц)л

= 0.

(19)

Ь = {£(ц0, ц)(ц - X)}

шахшт.

ц0,ц X

Число базовых значений ц0 равно двум, одно из них соответствует ц0 = ц+, другое ц0 = ц-. Для строго выпуклой по ц функции Лагранжа Ь базовые значения ц удовлетворяют условиям

! = | (ц - « + £ (ц0,ц) = 0

или

£(ц0,ц) _ Э&(ц0,ц)

ц - X

Эц

ц:

ц2

(21)

Подставляя ц и ц2 в функцию Ь, найдем ее зависимость от X для каждого из базовых решений

Ь+ = Ь(ц+, ц) = а(ц+ - X)2,

Рис. 2. Характер зависимости от X максимума функции Лагранжа по ц для ц0 = ц+ и ц0 = ц-.

Ь- = Ь(ц_, ц) = а(ц-- X)2.

Минимум по X из максимума Ь по ц0, ц достигается (рис. 2), когда

Ь+^) = Ь^)

X* =

Та+ ц+ + Та-ц_

Для расчета базовых значений ц и ц0 в задаче (18), (19) запишем функцию Лагранжа и найдем ее максимум по ц0, ц и минимум по X:

(22)

Доли от времени т контакта с резервуарами определяются требованием (19) и равны

У + = — а-

а- а

а+ а+

а+ а

Корень этого уравнения для ц0 = ц- обозначим через ц2, для ц0 = ц+ - через цх. Так как в базовых точках Ь максимальна, то

Ь(ц+, ц1, X) = Ь(ц_, ц2, X), (20)

что и определяет величину X.

Конкретизируем полученные зависимости для

£ (ц0,ц) = а(ц )(ц0- ц).

Из условия (20) имеем

ц+ + X ц_ + X

У + = -

а- а+ + а+ а-

Максимальная работа за время т составляет:

А*(т) = т[у+^а+ (ц+ - ц1) + у_ц а_ (ц2- ц_)],

где ц и ц2 находят из (21) после подстановки в это выражение значения X из (22). Максимальная мощность равна

А *(т)

—Г-- = [у+ц а+ (ц+ - ц) + у _ (ц2- ц_)].

Непрерывный контакт с источниками. В тепловых машинах возможен как поочередный так и постоянный контакт рабочего тела с источниками. В последнем случае параметры рабочего тела распределены, процесс в нем можно считать близким к обратимому, если распределенность параметров осуществляется за счет кондуктивно-го потока. Аналогично в системах неоднородных по концентрации, таких как система разделения и диффузионная машина, возможен непрерывный контакт с источниками.

Максимальная мощность в этом случае примет форму задачи нелинейного программирования

Р = [£1 (ц+>ц1 )ц

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком