ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2010, том 44, № 5, с. 507-515
УДК 66.011
ОПТИМИЗАЦИЯ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ С ВЕРОЯТНОСТНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ © 2010 г. Т. В. Лаптева*, Н. Н. Зиятдинов*, Г. М. Островский, Д. Д. Первухин*
Научно-исследовательский физико-химический институт им. Л.Я. Карпова, Москва *Казанский государственный технологический университет ostralex@yandex.ru Поступила в редакцию 13.08.2009 г.
При проектировании технических систем в условиях частичной неопределенности исходной физической, химической и экономической информации важной задачей является определение такой конструкции, при которой ее система управления будет гарантировать выполнение всех ограничений (точно или с некоторой вероятностью) несмотря на изменение внутренних и внешних факторов во время стадии функционирования. В статье рассматривается одна из задач, которую приходиться при этом решать, а именно - одностадийная задача с вероятностными ограничениями. Предложен подход к решению таких задач, основанный на преобразовании вероятностных ограничений в детерминированные.
ВВЕДЕНИЕ
Задача оптимизации химико-технологических систем (ХТС) решается, как правило, в условиях некоторой неточности исходной физико-химической, технологической и экономической информации. В результате приходится решать задачу создания гибкой ХТС, система управления которой гарантирует: 1) оптимальное значение некоторого показателя, оценивающего работу ХТС за весь этап функционирования; 2) сохранение работоспособности ХТС (выполнение всех проектных ограничений — точно или с некоторой вероятностью) на этапе функционирования, несмотря на использование неточных математических моделей и изменение внутренних и внешних факторов. Методы решения задач с жесткими ограничениями получили большое развитие [1—3]. Мы рассмотрим метод решения одностадийной задачи оптимизации с мягкими ограничениями. Задача одноэтапной оптимизации, когда в качестве целевой функции используется математическое ожидание исходного критерия оптимизации f( x, 0), а ограничения должны выполняться с некоторой вероятностью, имеет вид [4]
f* = min E[f(x, 0)], (1)
xeX
Pr {gj(x,6) < 0} > aj j = 1,..., m, (2)
где x — вектор поисковых переменных, область X имеет вид X = {x : ф,(х) < 0, i=1,..., m} (она не зависит от 0), 9 — вектор неопределенных параметров, а j — заданная вероятность выполнения j -го ограничения, E0{f(x, 0)} — математическое ожидание функции f(x, 0), Pr {gj(x,0) < 0} — вероятностная
мера области О] (вероятность попадания точки 9 в область О у-):
О} = {0 : 0) < 0},
Главная трудность решения задач типа (1) состоит в необходимости вычисления многомерных интегралов Е[/(х, 0)] и Рг^у(х,0) < 0}. Использование для этого стандартных квадратурных формул [5] приводит к крайне трудоемким процедурам. Используют три пути для преодоления этой трудности. Первый путь состоит в улучшении квадратурных формул. В [6] получены три альтернативные квадратурные формулы. В [7] была получена специальная квадратурная формула, которая существенно уменьшает вычислительные затраты для случая, когда параметры 9 являются нормально распределенными случайными величинами. Второй путь состоит в использовании методов типа Монте-Карло [8]. Однако и они требуют достаточно трудоемких вычислений. Третий путь состоит в преобразовании вероятностных ограничений в детерминированные. В книге [9] описан подход, сводящий задачу стохастического программирования к детерминированной в случае, когда функции gj(x, 0) являются линейными по переменным х, 0 и параметры 0 имеют нормальное распределение. В работах [10, 11] предложен подход, использующий свойство монотонности функций gj(x, 0) по какому-нибудь параметру 0 (если, конечно, эти функции обладают этим свойством). В [12] предложен обобщенно минимаксный подход сведения задач стохастического программирования к детерминированным.
Мы рассмотрим здесь новый подход к решению одноэтапной задачи оптимизации, который основывается на преобразовании вероятностных огра-
ничений в детерминированные. Мы предполагаем, что все неопределенные параметры 0,- являются независимыми случайными величинами, имеющими нормальное распределение N1(a¡,E[0;-]), где E[0;-], а, - у]V[0,] — математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение, V[ 0,] — дисперсия случайной величины 0,.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРХНЕЙ ОЦЕНКИ
Рассмотрим отдельное ограничение (2) для некоторого фиксированного j.
Пусть мы построили каким-либо образом область Ta, вероятность попадания в которую больше или равна а j
Pr{0 e Ta) > аj. (3)
Следует отметить, что условие (3) определяет не единственную область, а целое семейство областей. Обозначим это семейство через Ta. Рассмотрим ограничение
max g,(x,0) < 0,
(4)
0eT„
С другой стороны, существует область Т* , принадлежащая множеству Та , соответствующая решению задачи (1):
Т* = {0 : еМ*, 0) < 0},
где х* есть решение задачи (1). Таким образом, решению задачи (1) соответствует пара х*, Т*. Поэтому задачу (1) можно переформулировать следующим образом: требуется найти такие значения поисковых переменных х и области Та , (у = 1,..., ш), при которых выполняются ограничения (3), (4) и критерий (1) принимает минимальное значение. Поэтому задача (1) может быть переписана в виде
f * = min Ef(x,0)],
x,Ta j a j
maxgj(x,0) < 0 j = 1,..., m,
0eT„..
Pr{0e Ta} > a j j = 1,.
, m.
(5)
(6)
(7)
где Ta — одна из областей множества Та.. Ясно, что условие (4) эквивалентно условию
gj(x,0) < 0, V0 е Taj,
и наоборот. Таким образом, если выполняется ограничение (4), то ограничение gj(x,0) < 0 удовлетворяется в каждой точке области Ta . Следовательно,
если вероятность попадания точки 9 в Ta больше или равна а- и условие (4) выполняется, то вероятность удовлетворения неравенства gj(x, 0) < 0 больше или равна а-. Следовательно, для любой фиксированной области Ta ограничения (4) и (3) эквивалентны ограничению (2). Выберем некоторую область Ta , принадлежащую множеству Та и заменим в задаче (1) каждое ограничение (2) на ограничения (3) и (4). Тогда получим
f = min Ef(x,0)],
xeX
Pr{0 G Taj} > aj, maxgj(x,0) < 0.
Поскольку мы выбрали произвольную область Ta , то, естественно, эта задача даст худший результат по сравнению с задачей (1). Поэтому мы имеем f > f *
Таким образом, в данной формулировке мы ищем не только оптимальные значения переменных х, но и оптимальную форму и положение области Та.. Пусть решению задачи (5) соответствуют об-
ласти Та у = 1,..., ш. К сожалению, в виде (5) задачу трудно решать, поскольку трудно организовать поиск оптимальной формы и положения области Та . Поэтому далее мы сузим допустимую форму области Та и будем предполагать, что область Та имеет форму многомерного прямоугольника:
Ta j = {0, : 0L,j <0, <0-j i = 1,..., n}.
U, j
(8)
Причем верхние и нижние границы 0^10и'] интервалов изменения параметров должны быть определены в результате решения задачи оптимизации. Таким образом, поиск оптимальной формы областей Та сводится к поиску оптимальных значений
0^'у',0и'у', т.е. оптимальных размеров и положения многомерных прямоугольников. Поэтому в данном случае поисковыми переменными станут наряду с переменными х также и верхние и нижние границы
Qf''J,QU'J интервалов изменения параметров 8. Преобразуем теперь ограничение (6). Поскольку параметр является независимой нормально распределенной случайной величиной, то вероятность попадания параметра в интервал ^^ < < равна
J p(0i)i0i = ф0Uj -Ф(0j
в
где Ф(п) — функция стандартного нормального рас- Тогда задача (12) примет вид пределения и б^'', О22' имеют вид
maxg/x,0LJ' + (0.'j -0/W,
и, j
;Lj _ ef,j - E[Qt]
;Uj _ oUJ - E|0,.|
а1 а1
Поскольку все параметры 0 г независимых, то вероятность попадания точки 9 в Таравна произведению вероятностей попадания параметров 0 { в интервалы 0/'' < 0{ < 0Г'', I = 1, ..., п. Отсюда, условие (7) в данном случае примет вид
[Ф(0Г') -Ф(0^')][Ф(0Г') -
-Ф(02/;)]-[Ф(0;и'') - Ф(0/)] > а.
Подставляя это условие в задачу (5) вместо условия (7), получим
f = min Ef(x,0)],
maxgy(x,0) < 0, j = 1,..., m,
0eT„..
(10) (11)
max gy(x,0),
сделаем следующую замену переменных:
0. = 0Lj + (0;^ -0Lj)y,
где переменные yf меняются в пределах 0 < yf < 1, i = 1,...,p.
(12)
yeT
где область Ty имеет вид
(13)
Ту = {у : 0 < у < 1, г = 1, ..., р}. В задаче (13) допустимая область не зависит от
поисковых переменных в^' \ 0Г'' задачи (10). Заменим задачи максимизации в левых частях ограничений (11) на задачи (13). Тогда задача (10) примет вид
f = min Ef(x, 0) ],
maxg/x,0/J + OU'j - 9/L,j)y/) < 0 j = 1, ..., m, (15)
y^Ty
U j
(14)
(16)
[Ф( еГ'') - ф( е' [Ф^) - Ф( е2/у)]- • -[ф( еГ') -
-Ф(ё/)] > а} = 1, ..., т, Поскольку мы сузили класс возможных форм областей Та , то решение задачи (10) будет не лучше, чем решение задачи (5) (или (1)). Отсюда, выполняется неравенство
/* * /.
Таким образом, решение задачи (10) дает верхнюю оценку решения задачи (1).
Задача (10) является обобщением задачи полубесконечного программирования, в которой области допустимости Та в задачах максимизации в ограничениях (11) являются переменными (они
зависят от поисковых переменных ,0Г"''). Напомним, что для решения задач полубесконечного программирования используется метод внешней аппроксимации [13]. Однако этот метод непосредственно был бы применим только в случае, когда
области допустимости задач максимизации Та в ограничениях (11) были бы постоянными. В связи с этим в задачах максимизации
[Ф(еГ') - ф( е' [Ф(е2') - Ф(б2/^')]-[Ф(ер' -
-Ф(ё/)] > а, } = 1, ..., т,
Это уже стандартная задача полубесконечного программирования, поскольку допустимые области в задачах максимизации в левых частях ограничений (15) не зависят от поисковых переменных этой задачи.
УТОЧНЕНИЕ ВЕРХНЕЙ ОЦЕНКИ
Уточнение верхней оценки будет проводиться с помощью итерационной процедуры, на каждой итерации которой будет проводиться дробление областей Т' на подобласти. Теперь на каждой итерации каждому ограничению будет соответствовать свое
Г« „«„„тай ^(к) / Т(к) = { , I = 1, . ,
N к)}),
где I — номер области во множестве Т( ), к
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.