научная статья по теме ОПТИМИЗАЦИЯ МЕЖПЛАНЕТНЫХ ТРАЕКТОРИЙ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ С ИДЕАЛЬНО-РЕГУЛИРУЕМЫМ ДВИГАТЕЛЕМ МЕТОДОМ ПРОДОЛЖЕНИЯ Космические исследования

Текст научной статьи на тему «ОПТИМИЗАЦИЯ МЕЖПЛАНЕТНЫХ ТРАЕКТОРИЙ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ С ИДЕАЛЬНО-РЕГУЛИРУЕМЫМ ДВИГАТЕЛЕМ МЕТОДОМ ПРОДОЛЖЕНИЯ»

КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2008, том 46, № 3, с. 224-237

УДК 629.785:517.977.58

ОПТИМИЗАЦИЯ МЕЖПЛАНЕТНЫХ ТРАЕКТОРИЙ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ С ИДЕАЛЬНО-РЕГУЛИРУЕМЫМ ДВИГАТЕЛЕМ

МЕТОДОМ ПРОДОЛЖЕНИЯ

© 2008 г. В. Г. Петухов

Государственный космический научно-производственный центр им. М.В. Хруничева г. Москва

petukhov@mtu-net.ru Поступила в редакцию 15.08.2006 г.

Рассматривается задача оптимизации межпланетных траекторий КА с идеально-регулируемым двигателем малой тяги. При использовании принципа максимума определение оптимальной траектории сводится к решению двухточечной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для решения такой краевой задачи используется метод продолжения по параметру, с помощью которого проводится формальная редукция краевой задачи к задаче Коши. Рассматриваются различные варианты метода продолжения, в том числе метод продолжения по гравитационному параметру, позволяющий находить экстремальные траектории с заданной угловой дальностью. Обсуждаются вопросы численной реализации метода продолжения и приводятся численные примеры его использования для решения задач оптимизации межпланетных траекторий.

PACS: 45.10.Db

Идеально-регулируемый (ИР) двигатель является математической моделью электроракетного двигателя (ЭРД). В этой модели предполагается, что на удельный импульс и тягу ЭРД накладывается единственное ограничение - механическая мощность реактивной струи ЭРД считается заданной. В рамках указанного ограничения удельный импульс и тяга ИР-двигателя могут произвольно изменяться. Оптимизация траекторий КА с ИР-дви-гателем рассматривалась во многих работах, например [1-6]. С известной долей смелости можно утверждать, что задача оптимизации траекторий КА с ИР-двигателем играет в механике космического полета и в теории оптимального управления роль, аналогичную ограниченной задаче трех тел в небесной механике и аналитической динамике. Дифференциальные уравнения этой задачи, как и уравнения ограниченной задачи трех тел, имеют красивую симметричную форму и не интегрируются в квадратурах. Многообразие частных решений обеих задач, наряду с их относительной простотой, симметричностью и гладкостью, привело к тому, что задача оптимизации перелетов КА с ИР-двигателем стала своеобразным "пробным камнем" для новых приближенных методов решения задач оптимального управления, как задача трех тел - для методов аналитической динамики.

С практической точки зрения, модель ИР-двигателя, не будучи в большинстве случаев достаточно обоснованной, позволяет, тем не менее, определять нижнюю оценку требуемых энергетических затрат. Если в первые годы практической космонавтики возможность технической реализации ЭРД с регу-

лировочными характеристиками близкими к ИР-двигателю оценивались весьма оптимистически, то позже выяснилось, что эта задача достаточно трудна. Однако в последнее время вновь появляются проекты ЭРД с характеристиками, близкими к ИР-двигателю. Таким, в частности, является проект магнитно-плазменного двигателя УА81МИ [7, 8], использование которого в настоящее время рассматривается как для автоматических межпланетных КА, так и для пилотируемой экспедиции к Марсу.

Другой причиной интереса к задаче оптимизации траекторий КА с ИР-двигателем является возможность использования ее решений в качестве начального приближения для решения более сложных задач оптимизации траекторий КА, имеющих двигатели с более реальными регулировочными характеристиками [9, 10, 20-22].

Основной сложностью при решении задачи оптимизации траектории КА с ИР-двигателем непрямыми методами является проблема выбора начального приближения, обеспечивающего сходимость численного метода решения этой задачи. Проблема выбора начального приближения связана, в частности, с ветвлением оптимальных решений и высокой чувствительностью невязок соответствующей краевой задачи к вариациям ее параметров.

Поэтому главной задачей проведенных автором исследований была разработка численного метода решения задачи оптимизации траекторий КА с ИР-двигателем, не требующего от пользователя выбора начального приближения. Эта задача была решена с использованием различных модификаций метода продолжения. В частности,

построены численные алгоритмы определения оптимальной траектории межпланетного перелета при использовании пассивного движения КА по начальной орбите в качестве начального приближения и метод продолжения по гравитационному параметру центра притяжения, позволяющий практически регулярно получать оптимальные траектории с заданной угловой дальностью.

Следует отметить, что разработанные численные методы предъявляют достаточно высокие требования к производительности вычислительных систем. В частности, для их реализации требуется интегрирование вложенных систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому практическая реализация данных методов применительно к рассматриваемой задаче стала возможна относительно недавно. В то же время, на современных вычислительных системах процесс решения типичных задач оптимизации ИР-траекторий с использованием разработанных методов обладает хорошим быстродействием благодаря устойчивости этих численных методов.

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ КА С ИДЕАЛЬНО-РЕГУЛИРУЕМЫМ ДВИГАТЕЛЕМ

В рамках модели идеально-регулируемого двигателя задается мощность реактивной струи А, что является единственным ограничением на величину реактивной тяги и скорости истечения [1-3]:

N = пА = Р^/2, (1)

где п - к.п.д. ЭРДУ, Ne - электрическая мощность ЭРДУ, Р - тяга, м> - скорость истечения. Из (1) имеем:

= 2пАе/Р, (2)

следовательно выражение для массового расхода можно представить в виде

йт йг

Р

w

2 2 т а

(3)

2^е 2п Ne,

где т - масса КА, а - реактивное ускорение.

Интегрируя (3) по времени от нулевого начального момента времени до текущего времени г, получим зависимость массы КА от времени:

т (г) =

то

1 + т0 3 (г)'

где т0 = т(0) - начальная масса КА,

/( г) = 21

2

П N

йг.

(4)

(5)

Из (4) и (5) следует, что зависимость массы КА от времени можно определить если реактивное ускорение, к. п. д. и электрическая мощность ЭРДУ являются известными функциями времени. Отме-

тим, что к. п. д. и электрическая мощность ЭРДУ могут быть представлены в виде функций от фазовых координат КА и времени, поэтому в общем случае, для вычисления интеграла (5) необходимо знание траектории КА, то есть зависимости фазовых координат от времени.

Уравнения движение КА с идеально-регулируемым двигателем в гравитационном поле с силовой функцией О имеют следующий вид:

2

й X „ — = Ох + а,

йг йт

йг

22 т а

"2пЖ'

(6)

где х - вектор положения КА, а - вектор реактив-

ного ускорения, ата = а2.

Рассмотрим задачу оптимального управления динамической системой (6) на фиксированном отрезке времени г е [0, Т] с функционалом 3 = /(Г):

= 21

2

1 г а

ПА

йг.

(7)

Применяя к задаче (6), (7) формализм принципа максимума, получим выражение для гамильтониана:

1 а2

Н = -2 пА ( 2+ т2 Рт ) + Рт "х + РТа + РТ ¥' (8)

где V = йх/йг, а рт, рх и ру - переменные, сопряженные к т, х и V соответственно.

Из необходимого условия максимума гамильтониана (8) ЭН/Эа = 0 получим выражение для оптимального управления:

П Ае

а=

2 Рv.

1 + т Рт

(9)

После подстановки (9) в (8), получим выражение для оптимального гамильтониана:

н = 2 • п р1 + рт"х+ртV, (10)

21

+ т рт

2т где р^ = РvРv.

Уравнения движения динамической системы с гамильтонианом (10) имеют следующий вид:

2

йх

— = "х +

йг

йт йг

П Ае --— Рv,

1 + т Рт

2

1 п N е т 2

2 2Рv,

2 (1 + т Рт )

22

= Ихх^ +1 -А-4(П N.), (11)

йг

йРт йг

21 + т2 Рт д х

П АетРт 2

-Г"! Ру.

(1 + т Рт )

Г

3

о

2

о

Из последнего уравнения (11) следует, что рт(г) = = 0 если рт(г) = 0 для произвольного момента времени г е [0, Т]. В частности, такое тождество следует из условий трансверсальности, если нет ограничений на начальную или конечную массу КА. В этом случае дифференциальные уравнения для динамических переменных х и ру оказываются независимыми от т и рт, и, как было показано в [1, 3], задача оптимального управления разделяется на динамическую и параметрическую части.

Дифференциальные уравнения динамической задачи оптимального управления принимают вид:

то

»2

й х

йг2

= "х + — N еру,

Л Р^ ^ 12 Э, дгч

--7 = "ххРу + ~ Р^(— М).

йг2 2 д х

(12)

а параметрическая задача сводится к вычислению массы КА по соотношению (4) с использованием квадратуры (5) при определенных в результате решения задачи (12) зависимостях а, — и Ие от времени.

Следует отметить, что декомпозиция задачи оптимального управления на динамическую и параметрическую части невозможна в достаточно экзотическом случае, когда имеются ограничения на массу КА на обоих концах траектории.

Зависимость реактивной мощности от фазовых координат КА и времени обычно связана с типом бортовой энергоустановки и с эффектами деградации характеристик энергетической и двигательной установок. Наиболее распространенные типы бортовых энергоустановок КА основаны на солнечных и ядерных источниках энергии. Электрическая мощность солнечной энергоустановки зависит от гелиоцентрического удаления КА, а мощность ядерной энергоустановки обычно принимается постоянной. Предварительный баллистический анализ перелетов КА с ЭРД, как правило, проводится в предположении постоянства к.п.д. ЭРД, поэтому случаю переменной реактивной мощности соответствует использование солнечной электроракетной двигательной установки (СЭРДУ), а случаю постоянной реактивной мощности - использование ядерной электроракетной двигательной установки (ЯЭРДУ).

При постоянной реактивной мощности в качестве функционала, минимизирующего затраты рабочего тела, можно использовать выражение

1

= 1Т

а2 йг.

(13)

В этом случае гамильтониан, оптимальное управление, уравнения движения получаются из соответствующих выражений (8)-(12) после формальной подстановки в них —М = 1, а масса КА вы-

числяется по соотношению т(г) = т0/(1 + -—— /(г))

2П М е

с использованием выражения

г

1 (г) = 11

а2 йг

(14)

вместо (5).

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

Формулировка задачи оптимального управления, помимо уравнений движе

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком