КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, том 42, № 3, с. 260-279
УДК 629.78:517.977
ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ
© 2004 г. В. Г. Петухов
Государственный космический научно-производственный центр им. М.В. Хруничева, г. Москва
E-mail: petukhov@mtu-net.ru
Поступила в редакцию 09.10.2002 г.
Задача оптимизации траектории межорбитального перелета между некомпланарными эллиптическими орбитами сводится к решению краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью формализма принципа максимума. Для численного решения полученной краевой задачи используется численный гомотопический метод или модифицированный метод Ньютона. Правые части дифференциальных уравнений движения при решении краевой задачи численно осредняются. Разработано эффективное математическое обеспечение, с использованием которого проведен расчет большого числа оптимальных траекторий. В результате анализа этих численных данных получены новые качественные результаты. В частности, обнаружена бифуркация оптимальных решений, обнаружено существование критического наклонения, проведена частичная классификация структуры оптимального управления.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается задача оптимизации межорбитальных перелетов космического аппарата с двигательной установкой малой тяги между некомпланарными эллиптическими орбитами в центральном гравитационном поле. Эта задача имеет важное практическое значение в связи с имеющимися планами использования электроракетных двигательных установок (ЭРДУ) для выведения космических аппаратов на рабочие орбиты. К числу таких задач относится выведение КА на геостационарную орбиту, формирование и восполнение спутниковых систем, спиральная раскрутка межпланетных КА вокруг Земли с целью выведения КА на отлетную траекторию [1-12, 14].
Задача оптимизации траектории межорбитального перелета сводится к решению краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью формализма принципа максимума. Трудность решения задач такого типа связана, в частности, с проблемой выбора начального приближения, обусловленной сложной топологией оптимального решения в пространстве параметров краевой задачи. Ветвление оптимальных решений в параметрическом пространстве приводит к разрывам непрерывности производной от вектора краевых условий по начальным значениям неизвестных параметров краевой задачи в процессе ее решения при пересечении границ областей решений различных типов (гиперповерхностей с вырожденной матрицей чувствительности). Это в свою очередь приводит к отказам или к неустойчивости численных
методов решения краевой задачи. Особенности межорбитальных перелетов КА с ЭРДУ определяются, главным образом, малостью реактивного ускорения по сравнению с гравитационным. Малость реактивного ускорения обуславливает большую продолжительность перелета. Типичный перелет на геостационарную орбиту (ГСО) КА с ЭРДУ включает в себя сотни витков. В этих условиях система дифференциальных уравнений оптимального управления становится крайне чувствительной по отношению к вариациям начальных значений сопряженных переменных, что делает решение краевой задачи принципа максимума еще более труднореализуемым. Одним из практических препятствий для численного решения задачи оптимального управления на многовитковом перелете становится недостаточная точность в машинном представлении чисел с плавающей точкой для обеспечения сходимости численных методов решения неустойчивой краевой задачи и существенный рост требований к вычислительной производительности с увеличением числа витков траектории.
Для уменьшения неустойчивости системы дифференциальных уравнений и снижения вычислительных затрат используется метод осреднения [1-3, 7 , 8]. Если структура оптимального управления на витке фиксируется заранее, то принцип максимума применяется к уже осреднен-ным уравнениям для оптимизации медленно изменяющихся параметров управления. Наилучшие результаты, однако, получены при другом подходе, в рамках которого условия оптимальности управления выводятся из неосредненных
уравнении движения, а затем осредняется уже система оптимальных уравнении движения. Уравнения движения в этих работах записываются в оскулирующих элементах, используется численное осреднение оптимальных уравнении на витке, а для решения краевоИ задачи применяются модифицированные методы Ньютона либо модификации методов стрельбы [1, 3].
В настоящей работе рассматриваются задачи оптимального перелета между некомпланарными эллиптическими орбитами за фиксированное и минимальное время, приводится описание числен-ноИ реализации решения задачи оптимального перелета с использованием метода продолжения по параметру (см. Петухов В.Г. Оптимизация траектории с малоИ тягоИ // Презентация на семинаре по механике космического полета, управлению и информатике ИКИ РАН, Москва, июнь 2000 г. http://arc.iki.rssi.ru/seminar/2OOOO6/OLTTR2.ppt) и анализируются особенности оптимальных траектории, в частности траектории перелета с наклоненных круговых и эллиптических орбит на геостационарную орбиту.
2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим движение КА под деиствием двух сил: гравитационнои силы притягивающего центра и силы тяги ЭРДУ. Величины тяги и скорости истечения включеннои ЭРДУ считаются постоянными, на ориентацию вектора тяги не накладывается каких-либо ограничении. Гравитационное поле притягивающего центра будем считать центральным ньютоновским.
Проекции реактивного ускорения на орты ор-битальнои системы координат имеют вид:
aT = 5—cos $ cos w,
m
P P
ar = 5 —sin $ cos w, a„ = 5 --sin w,
mm
(1)
где aT, ar, an - соответственно трансверсальная, радиальная и бинормальная проекции реактивного ускорения, 5 - функция включения двигателя (5 = 1 при включенной ЭРДУ и 5 = 0 при неработающей ЭРДУ), P - величина реактивной тяги, m - масса КА, Ф - угол тангажа (угол между проекцией вектора тяги на плоскость оскулирующей орбиты К А и трансверсальным направлением), у - угол рысканья (угол между вектором тяги и плоскостью оскулирующей орбиты КА).
Для исключения особенностей в окрестности нулевых значений эксцентриситета и наклонения, будем рассматривать уравнения движения в равноденственных элементах [1]:
dh ^Ph, „ — = 5—F h cos Ф cos w, dt m q
-- = 5 Ph- {£ sin F sin $ cos w +
dt m £
+ [(£ + 1) cos F + ex ] cos $ cos w - ey n sin у },
—-- = 5 Ph- { -£ cos F sin $ cos w + dt m £ ^ T
+ [(£ + 1) sin F + ey ] cos $ cos w + ex n sin w}, (2)
dix Ph 1~ — = 5 -- • -(pcosFsinw, dt m£ 2Y T
diy Ph 1~ . „ . —г = 5—5- • -(psinFsinw,
dt m£ 2Y T
dF £2 ..Ph, . — = -2_ + 5-E £nsin w,
dt h m £ T
dm = 5 P
dt m
где h = I- , ex = ecos(Q + ю), ey = e sin(Q + ю), ix = i—
= tg2 cosQ, iy = tg2 sinQ и F = v + ю + Q - равноденственные элементы, p - фокальный параметр, e - эксцентриситет, ю - аргумент перицентра, i -наклонение, Q - долгота восходящего узла, v - истинная аномалия, £ = 1 + excosF + ey sin F, n = ix sin F -
- iycosF, (p = 1 + ¿2 + ¿2, w - скорость истечения ЭРДУ KA, - - гравитационный параметр центрального тела.
Требуется перевести KA начальной массы m0 с начальной орбиты
h = ^ ex = ex0, ey = ey0, ¿x = ix0, ¿у = ¿у0 (3)
на конечную
h = hk, ex = exk, ey = eyk, ¿x = ¿xk, ¿y = ¿yk (4)
за время T.
Рассматривается задача минимизации функционала
T
J = Í5P dt w
0
min,
(5)
соответствующая задаче о перелете с минимальными затратами топлива. Отметим, что при отсутствии ограничении на время перелета Т и при 5 = 1, функционал (5) соответствует задаче о перелете за минимальное время. Более традиционным, однако, для задачи оптимального быстро-деиствия является функционал
= 1
dt
min.
(5a)
T
В задаче межорбитального перелета за минимальное время разница между функционалами (5) и (5 а) через условие трансверсальности сводится к различной нормировке вектора сопряженных переменных.
3. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Для решения задачи (2-5) используем формализм принципа максимума. Гамильтониан задачи оптимального управления (2-5) имеет вид
H = - 5-( 1 + Pm) + ^PF +
w
.Ph,
+ ^ m C0S $ C0S У + sin $ cos У + An sin y),
где
AT = hph + [(£ + 1) cos F + ex] pex + + [(£ + 1) sin F + ] pey, Ar = £( sin F • pex -cos F • Pey) ,
An = П(- eypex + expey^ + + 2(p(cosF • p^ + sinF • p,y) + pf,
ph, pex, pey, p«x, p«y, pf, pm - переменные, сопряженные к фазовым координатам h, ex, ey, ix, iy, F и m соответственно.
Оптимальное управление 5(t), $(t), y(t) определяется из условия максимума гамильтониана (6):
cos $ =
A2 + A2
sin $ =
cos y =
A2 + A2
A2 + Ar + An
, sin y =
A2 + Ar
JA2 + A2 + An
5 =
ys>0 0, ys < 0,
w
m = m0 - (P/w)t.
Подстановка выражений для оптимального управления (7), (8) и (9) или (10) в (6) приводит к выражению для оптимального гамильтониана:
(6)
(7)
, (8)
(9)
H = 5 P
1 h ( А2 + a 2 + A2 )1/2-1zp!
Lm Ат + Ar + An) w
(12)
+ Ц pF = 5P [ kA + ft ] + HF,
h
7 1 h . , .2 .2 ,2ч1/2 , 1 +p»
где k = -F, A = (AT + Ar + An )1/2, ft =--
m £ r w
HF
=
h
pF.
Уравнения оптимального движения при этом примут вид:
dx dH 5. „
Т = ^Т" = 5 P dt д p
^ + Ar|P + An д^-1
d F dt
ди_
д pf
= 5 P
k| А ^ + Ar ^ + An дА1 A-1 тд pf д pf n д pf/
dm = дH = 5p д ft
dt дpm дPm'
д HF
д p F ,
dp
dt
ди
д x
= -5 P
д k. -г—A + д x
(13)
+ k A £ + Ar дА + A.£l A-
+ k I A
dpF dt
дАт
т д F
+ Ar
д H д F
д Ar
= -5 P
д k .
+
д F д H
+ An д/ 'A
д Hf дх
д HF д F
= -5P ^A. дm д m
1 + pm h 2 2 2 1/2
где ys = - + m^ (Ат + Ar + An )1/2 - функция
переключения. В задаче о перелете за минимальное время вместо соотношения (9) используется тождество
5 = 1, (10)
а дифференциальные уравнения для переменных т и рт можно исключить из рассмотрения, используя явную зависимость массы КА т от времени:
йртт
йг
где х = (Н, вх, ву, 4, г'у)т, р = (рй, рех, реу, р{х, ру)т.
Так как рассматривается межорбитальный перелет, значение истинной долготы Г на конечной орбите не фиксировано, поэтому рГ(Т) = 0. Оптимальный гамильтониан после осреднения по истинной долготе не зависит от г, поэтому =
дя
д F
= 0. Следовательно, на осредненном реше-
(11)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.