КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2007, том 45, № 5, с. 443-449
УДК 629
ОПТИМИЗАЦИЯ ПЕРЕЛЕТОВ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА НАПРАВЛЕНИЕ ТЯГИ. I
© 2007 г. А. А. Суханов1, А. Ф. Б. де А. Прадо2
1Институт космических исследований РАН, г. Москва sukhanov@iki.rssi.ru 2Националъный институт космических исследований (ИНПЕ), Сан Жозе дус Кампус, Бразилия
prado@dem.inpe.br Поступила в редакцию 13.03.2006 г.
Рассматривается перелет с малой тягой при ограничениях, наложенных на направление вектора тяги. Эти ограничения могут быть обусловлены особенностями системы ориентации и режима стабилизации космического аппарата и в общем случае являются функциями времени и вектора состояния. Исследуются ограничения, заданные равенствами или неравенствами. Показано, что оптимальная тяга направлена вдоль проекции базис-вектора Лоудена на ограничивающее множество.
PACS: 45.40.Gj
1. ВВЕДЕНИЕ
В общем случае оптимальное управление малой тягой требует довольно сложного управления ориентацией космического аппарата (КА) в режиме трехосной стабилизации в течение всего времени работы двигателя малой тяги. Требование постоянной ориентации солнечных батарей на Солнце во время работы двигателя малой тяги приводит к еще большему усложнению управления ориентацией либо к усложнению конструкции КА. Упрощение системы ориентации КА и режима стабилизации во время перелета позволяет снизить общие затраты на выполнение задачи полета, но в то же время накладывает ограничения на направление тяги. В литературе, посвященной оптимизации перелетов, детально изучены ограничения на величину тяги, однако ограничениям на направление тяги уделено недостаточно внимания.
В данной статье с применением принципа максимума Понтрягина [1] и базис-вектора Лоудена [2] исследуются ограничения на направление тяги, которые могут быть обусловлены упрощением конструкции, системы ориентации и режима стабилизации КА, и показано каким условиям должна удовлетворять оптимальная тяга при наличии ограничений. Статья является первой из двух статей, посвященных исследованию перелетов с ограничениями на направление тяги.
В работе используются следующие обозначения: t - текущее время; t0, t1 - моменты времени начала и конца полета, r = r(t), v = v(t) - радиус-вектор и вектор скорости КА, x = {r, v} - вектор состояния КА, r = |r|, m = m(t) - масса КА, m0 = = m(t0) - начальная масса КА, трт = m0 - m - масса
израсходованного рабочего тела, трт = -т - секундный расход рабочего тела, с - скорость истечения реактивной струи, а - вектор реактивного ускорения КА (тяга), а = |а| - величина тяги, а0 = = а/а - единичный вектор направления тяги, I -единичная матрица 3-го порядка. Нижним индексом "т" помечаются оптимальные значения вектора, величины и направления тяги, верхним индексом "0" - единичные векторы.
Векторы предполагаются столбцами, однако в некоторых случаях для экономии места записываются в строчку.
2. СЛУЧАИ ОТСУТСТВИЯ ОГРАНИЧЕНИИ НА НАПРАВЛЕНИЕ ТЯГИ
В данном разделе кратко приводятся общеизвестные результаты применения принципа максимума Понтрягина [1] и базис-вектора Лоудена [2] к задаче оптимизации перелетов при отсутствии ограничений на направление тяги. Уравнения движения КА и минимизируемый функционал задачи J имеют вид
r = v, v = f + a,
J =
Jt ^
(1)
(2)
где функция f = у) описывает внешние силы, функция /0 = /0(г, у, а) определяется свойствами реактивной тяги. Ограничение на величину тяги можно записать в виде
ата = а2,
(3)
где
а = m ртс/т.
(4)
Функция Гамильтона задается соотношением [1]
H = Pofo + Рт v + p v f + pTv a
^(aTa - a2), (5)
Po
(6)
трт1 =
J + V
m
m=
J + VVo
m
(10)
а функция /0 в (2) имеет вид
/0 = т Рт. (12)
Секундный расход рабочего тела т рт в (4), (11), (12) задается функцией переключения [2]
где р0, рг, ру, Ха - сопряженные переменные, пер вые три из которых удовлетворяют уравнениям
дН 'дJ
.т дН т д { .т дН т т д {
15 т = - эТ = эТ, ^ = - э; = -р- ^д; • (7)
Вектор является базис-вектором Лоудена, уравнения (7) представляют собой сопряженные уравнения в вариациях для уравнений движения (1). Оптимальное управление ат доставляет максимум функции (5); легко видеть, что этот максимум достигается при максимальном значении величины р^ а. Следовательно, оптимальная тяга направлена вдоль базис-вектора и р^ ат = р^ат,
где РV = ат = |«т|-
Рассмотрим два типа двигателей малой тяги, для которых задача оптимизации детально исследована в литературе.
1. Идеально регулируемая тяга ограниченной мощности (ИРТОМ): задано ограничение только на электрическую мощность тяги, а скорость истечения реактивной струи с и секундный расход рабочего тела т рт могут изменяться произвольно. В этом случае
Ро = -1, /о = а№ (8)
где N - максимальная эффективная (т.е. с учетом к.п.д.) электрическая мощность, в общем случае являющаяся функцией времени, расстояния от Солнца и т.д. (в зависимости от источника электроэнергии). Оптимальное управление, доставляющее максимум функции (5), для ИРТОМ имеет вид
ат = . (9)
Масса израсходованного рабочего тела трт1 = = трт(^) и конечная масса КА т1 = т(^) = т0 - трт1 определяются из соотношений
J N
к = к( t) = Po + — m
(13)
следующим образом: к> 0: трт = у (максимальная тяга), к = 0: 0 < трт <у (промежуточная тяга), (14) к < 0: трт = 0 (нулевая тяга). Функция переключения удовлетворяет уравне-
нию
к = pv c/m.
(15)
где No = NJm0 - начальная мощность на единицу начальной массы КА (удельная мощность). Заметим, что в случае ИРТОМ надобность в ограничениях (3), (4) отпадает.
2. Тяга с постоянной скоростью истечения и ограниченным расходом рабочего тела (ПСИОР):
заданы ограничения
c = const, 0 < т рт < у, (11)
Оптимальная тяга направлена вдоль базис-вектора, т.е.
ат = ат ^, (16)
Р V
где величина тяги ат дается соотношением (4) с учетом условий (14). Масса израсходованного рабочего тела и конечная масса КА в случае ПСИОР равны
тртх = J, т1 = т0 - Л (17)
Случай ПСИОР также включает в себя импульсную тягу при у = ^ в (11), (14).
Следует отметить, что реально существующие двигатели малой тяги имеют характеристики типа ПСИОР или близкие к ним. Однако решение задачи оптимизации для ИРТОМ существенно проще, чем для ПСИОР, и дает нижнюю грань реально необходимого расхода рабочего тела, а также начальное приближение для задачи ПСИОР.
3. ОБЩИИ СЛУЧАИ ОГРАНИЧЕНИИ НА НАПРАВЛЕНИЕ ТЯГИ
В самом общем виде ограничение на направление тяги может быть записано как
а0 е G, (18)
где а0 - единичный вектор направления тяги, G -некоторое множество. Ниже будут рассмотрены ограничения, в которых множество G задано в виде равенств или неравенств. Во всех случаях предполагается, что множество G не пусто. Также будем полагать, что ограничение (18) выполняется для ненулевой тяги, а в случае нулевой тяги а0 = 0. Строго говоря, единичный вектор не может быть нулевым. Чтобы выйти из этого затруднения, будем полагать, что а0 - некий вектор, величина которого может принимать значения 0 или 1, называя для простоты а0 единичным вектором.
3.1. Ограничение типа равенства. Пусть ограничивающее множество G задано уравнением
g = g(r, у, ^ а0) = 0. (19)
В случае явной зависимости функции (19) от времени система становится неавтономной и следует, как обычно, добавить уравнение
Г=1, (20)
делающее систему автономной. Функция Гамильтона приобретает вид
Н = Р о/о + Рг V + р ^ Г + р^а + "К % + Р I,
, ^а, т 2ч
+ у (а а - а )
(21)
где рг - новые сопряженные переменные, соответствующие ограничению (19) и уравнению (20). Переменные рг, рг, в (21) удовлетворяют уравнениям
дН . т .
Рt = -Т = -1я
д Г
т
Рг
дН
д Г
дг д г
дН т
"э-Г-рт
т д Г т
^ э;- у
(22)
(23)
где
уг=(Э-)^, у=(д-^т к •
(24)
Как видно из (21), единичный вектор оптимального направления тяги, на котором достигается максимум функции Гамильтона, может быть записан в виде
о
ат
т о т о
а^ шахруа , тах а > 0,
а е О
а е О
0,
то шаха < 0,
(25)
а е О
где область G задана равенством (19) и случай ат = 0 соответствует нулевой тяге. То есть, в соответствии с определением, данным в Приложении, оптимальная тяга направлена вдоль абсолютной проекции вектора на ограничивающее множество. Другими словами, единичный вектор оптимального направления тяги равен
о I
ат = ро/рс
(26)
где pG - проекция базис-вектора на множество G, pG = |ро|. (При этом если pG = 0, то ат = 0.)
Предположим, что вектор ат каким-то образом найден, и рассмотрим матрицу
(27)
о от
Р = а а
тт
Как следует из (25), (27), Р = 0 при р^ а0 < 0 для всех
а0. В соответствии с данным в Приложении определением матрица (27) проектирует базис-вектор на множество G, заданное равенством (19), т.е.
PG = Рр^ (28)
Исследуем свойства оптимального направления тяги более подробно в предположении, что функция /0 удовлетворяет условию
Э/о да
= п а
(29)
где Н = Н(г, у, г, а). Тогда необходимое условие максимума имеет вид
(Э-а) = Ро Па + р^ + ^а а +
I 1 /Т 0 0тч ^тл «
+ - (I - а а ) С А„ = 0,
а я
(30)
где G = д^да0. Умножая (30) слева на матрицу (27), с учетом (28) и очевидного равенства Рат = ат получим:
рО
^а + Р0П
(31)
Сопоставляя (26) и (31) найдем, что знаменатель в правой части (31) должен быть отрицательным. Подстановка (27), (28), (31) в уравнение (30) приводит (30) к виду:
(I - ататт)[рт+аси=о.
(32)
Матрица I - ат ат проектирует любой вектор на
плоскость, ортогональную вектору ат. Следовательно, равенство (32) выполняется только если умножаемый на эту матрицу вектор направлен
вдоль ат, т.е.
1 ^ тл _ 0
+ а С 1g = Х ат,
(33)
где х - некоторый скалярный множитель.
Найдем оптимальный вектор тяги для рассмотренных в п. 2 двух типов двигателей малой тяги. В случае ИРТОМ условие (3) не используется, т.е. = 0 в (31), а (8), (29) дают р0 = -1, Н = Щ. Таким образом, (31) сводится к соотношению
ат = ^о. (34)
В силу (27), (28), (34) величина тяги для ИРТОМ определяется из соотношения
— АТ 0т
ат = ™ ат •
(35)
Рассмотрим случай ПСИОР. Из (26)-(28) нетрудно получить, что р^ ат=роат, и с учетом (4), (12) функция Гамильтона (21) в точке максимума приобретает вид
Н = к' т рт + р> + р^ Г +
л
а т 2 т
+ У ( а
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.