КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2008, том 46, № 1 с. 51-60
УДК 629
ОПТИМИЗАЦИЯ ПЕРЕЛЕТОВ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА НАПРАВЛЕНИЕ ТЯГИ. II
© 2008 г. А. А. Суханов1, А. Ф. Б. де А. Прадо2
1Интитут космических исследований РАН, г. Москва sukhanov@iki.rssi.ru
2Националъный Институт космических исследований, Сан Жозе дус Кампус, Бразилия
prado@dem.inpe.br Поступила в редакцию 13.03.2006 г.
Данная статья завершает исследование оптимальных перелетов с ограничениями на направление тяги, начатое в [1]. Рассматриваются линейные неоднородные и однородные ограничения на направление тяги, заданные равенствами или неравенствами, а также смешанные ограничения. Приводятся примеры ограничений. Для нахождения оптимального перелета при линейных ограничениях на направление тяги применяется модифицированный метод транспортирующей траектории. Этот метод также дает достаточное условие возможности перелета при заданном ограничении на направление тяги. Рассматривается численный пример, в котором анализируется расход рабочего тела при перелете с ограничениями и без ограничений.
РАС8: 45.40.Gj
1. ВВЕДЕНИЕ
В данной статье, завершающей начатое в [1] исследование, анализируются линейные однородные и неоднородные ограничения на направление тяги и приводятся примеры возможной реализации таких ограничений на практике. Оптимальное направление тяги найдено в явном виде как для однородных, так и для неоднородных линейных ограничений. В статье также рассматривается возможность применения метода транспортирующей траектории (МТТ), предложенного в [2] и модифицированного в [3-5], для нахождения оптимальной тяги и оптимальной траектории перелета при ограничениях на направление тяги. Наиболее просто МТТ применим к линейным однородным ограничениям. Этот случай иллюстрируется численным примером.
В работе используются обозначения, введенные в [1]. В статье имеются многочисленные ссылки на формулы из [1], номера этих формул помечены верхним индексом "1".
2. ЛИНЕЙНЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ НА НАПРАВЛЕНИЕ ТЯГИ
2.1. Линейное неоднородное ограничение типа равенства. Рассмотрим линейное ограничение на направление тяги, заданное уравнением
B a0 = c, (1)
где B = B(r, v, t) - матрица размером n х 3, c = c(r, v, t) - n-мерный вектор. Условие (1) может быть записано в виде
bTa0 = Ci (i = 1,..., n), (2)
где bT, ci - строки матрицы B и компоненты вектора c. Так как a0 - единичный вектор, то для всех
i = 1, ..., п ограничение (1) выполнимо только при С < Ь, где Ь = |Ь,|. Каждое из равенств (2) задает окружность на единичной сфере, причем эта окружность вырождается в точку при |с,| = Ь¡. Предположим, что ранг матрицы В равен п и соответственно п < 3. Тогда при п = 1 вектор тяги а лежит на поверхности кругового конуса с осью, направленной вдоль вектора Ь1 sgn с1 и полууглом при вершине ф, где
cos ф = C1 /b1;
(3)
в вырожденном случае |с,| = Ь вектор тяги направлен вдоль вектора Ь1 sgnс1. При п = 2 ограничение
(1) задает две точки на единичной сфере, являющиеся пересечением двух окружностей и соответствующие двум лучам, вдоль которых может быть направлена тяга; если окружности касаются друг друга или одна из них вырождается в точку, то ограничение (1) задает одну точку на единичной сфере и тяга направлена вдоль заданного луча. При п = 3 множество (1) не пусто только если вектор В-1с является единичным; тогда существует единственное решение уравнения (1), т.е. тяга направлена вдоль заданного луча.
Для нахождения оптимального вектора направления тяги в случае п < 2 воспользуемся равенством (331), которое для ограничения (1) приобретает вид
1 т.Тл 0
p^ + a B 1g = X am.
(4)
51
4*
Рис. 1. Оптимальный вектор а0 при ограничении (1) и n = 1.
Умножая (4) слева на матрицу В, с учетом (1) найдем вектор
^ = -а( ВВТ )-1 (Вр^ - хс) Подставляя (5) в (4), получим:
Ро р^ + х ВТ( ВВТ )-1 с = х а°т
где
P0 = I - B ( BB ) B.
(5)
(6) (7)
Матрица Р0 является проективной - она проектирует любой вектор на множество, ортогональное В. Легко проверить, что матрица Р0 обладает следующими свойствами:
BPo = PoBT = 0, P2 = Pj = Po.
(8)
Возводя обе части равенства (6) в квадрат с использованием равенств (8) и |а0| = 1, найдем множитель х:
x = ±
T
p. PoP,
1- cT( BBT )-1c
Обозначим
p = Pop., p = IpI , p0 = pip;
согласно (8)
P = Vp.po p.
и из (6), (9)-(11)
a,
= ±V 1- cT (BBT )-1cp0 + BT (BBT )-1c.
(251), окончательно получим оптимальный вектор направления тяги:
а0т = л/1 - сТ( ВВТ )-1 ср0 + ВТ( ВВТ )-1 с, (13) если вектор (13) составляет острый угол с вектором р^ и ат = 0 в противном случае. Величина тяги для идеально регулируемой тяги ограниченной мощности (ИРТОМ, см. [1]) определяется соотношением (351), а для тяги с постоянной скоростью истечения и ограниченным расходом рабочего тела (ПСИОР, см. [1]) - соотношением (41) с учетом значения функции переключения (371).
Рассмотрим случай п = 1 (т.е. В является строкой ЬТ и с - скаляром сх; в этом случае ограничение (1) означает, что вектор тяги располагается на поверхности кругового конуса) и обозначим Ь0 = Ь^. Вектор р в данном случае может быть представлен в виде
0 0T 0 0
p = (I - b b ) p. = b x( p. x b ).
(14)
Согласно (3) соотношение (13) принимает вид
a.
00 = p sin ф + b cos ф,
(15)
(см. рис. 1). Значение (15) является единственным всегда за исключением случая р° = ±Ь0, когда, как следует из (14), р = 0. В этом случае все точки
Т
окружности, заданной уравнением Ь1 а
0
с,, яв-
(9)
(10) (11) (12)
Соотношение (12) дает два решения: при п = 1 эти решения задают две точки окружности на единичной сфере, в которых достигаются максимум и минимум величины р^ а0; при п = 2 эти решения соответствуют пересечениям двух окружностей на единичной сфере. Знак в (12) выбирается из условия
достижения тах р^ а0. Согласно (10), (11) р^ р0 = р > 0; следовательно, принимая также во внимание
ляются равноудаленными от вектора p. и любой вектор a0 на этой окружности является оптимальным (разумеется, лишь при p.Ta° > 0; в про-
0
тивном случае am = 0).
2.2. Линейное неоднородное ограничение типа неравенства. Рассмотрим ограничение
Ba0 > c, (16)
которое, так же как и равенство (1), запишем в виде
T0
b, a° > Ci (i = 1, n). (17)
Каждое из неравенств (17) задает сегмент единичной сферы, а в совокупности условие (16) определяет пересечение таких сегментов. Таким образом, ограничение (16) означает, что вектор тяги лежит внутри пересечения круговых конусов с осями, заданными векторами bi, и с полууглами фi при вершинах, определяемыми из соотношений cosфi = ibi (см. рис. 2). (Строго говоря, если ci < 0 при каком-нибудь значении индекса i, то вектор тяги лежит вне соответствующего конуса. Однако это не влияет на результаты последующего анализа.) Введем обозначения:
b0 = b'
Bj =
b; Ci
, ci =
bi Ci
(18)
Т» Т 1,0-ОТ
Pi = I - Ь; Ь; ,
Р.- = Р; Р^
0
Р; = Р;/| Р;|
= Ь0 х(Р^ х Ь0),
Т Т —1
Р;; = 1 — В;,'( ВиВи) Вп>
Р.; = ,
0
Р>°'
(19)
(20)
Р.
где г,; = 1, ..., п. Пусть вектор Р^, не коллинеарен ни одному из векторов Ь;. Тогда оптимальное направление вектора тяги может быть найдено с помощью процедуры, описанной в п. 3.3 статьи [1], где проекция вектора Р^, на г'-е множество, заданное неравенством (17), достигается на векторе
0 0 0 а. = Р; ЯП ф; + Ь; 008 ф;,
(21)
(см. (15)), а решение уравнений (511) дается соотношением
а0; = VI— сТ(В.вТгЧ^ + вТ;(В^1 су, (22)
Для каждого ; = 1, ..., п решение (21) является единственным. Следовательно, если для какого-нибудь из векторов (21) выполняется условие (16), то в соответствии с леммой 4 Приложения к статье [1] такой вектор является единственным и именно он задает оптимальное направление вектора тяги.
Рассмотрим случай, когда вектор Р^, коллинеа-
00
рен некоторому вектору Ь;, причем Р^ = Ь; sgn с1
и вектор Р^ не удовлетворяет неравенству ВР°^ > с;
(23)
в этом случае все точки окружности, заданной уравнением
Т0
Ь; а = С;,
(24)
являются равноудаленными от вектора Р^, при
этом Р0^ а0 > 0 для всех а0, удовлетворяющих (24). Согласно следствию из леммы 4 Приложения к статье [1], если среди векторов а0, удовлетворяющих (24), есть такие, для которых выполняется неравенство (16), то любой из них задает оптимальное направление тяги.
Таким образом, оптимальный вектор тяги либо направлен вдоль вектора Р^, (если выполняется неравенство (23)), либо лежит на поверхности кругового конуса с осью Ь;, либо направлен вдоль линии пересечения двух конусов с осями Ь;, Ь;, либо равен нулю (если РТ а0 < 0 для всех а0, удовлетворяющих (16)).
Рассмотрим два случая, когда задача нахождения оптимального направления тяги решается наиболее просто, предполагая, что неравенство (23) не выполняется (напомним, что если выполняется (23), то а°т = Р^).
Ь0
О9
О У О
А ' 1 / к"/
V \
Ф2/ / /
Рис. 2. Линейное ограничение типа неравенства.
1. п = 1 в условии (16), т.е. вектор тяги ограничен круговой конической поверхностью. В этом случае
оптимальный вектор ат определяется из (15).
2. п = 2 и окружности, заданные уравнениями (24) при ; = 1, 2, не пересекаются (например, если векторы Ьх, Ь2 коллинеарны), т.е. вектор тяги заключен между двумя коническими поверхностям (см. рис. 3). В этом случае оптимальное направление тяги дается одним из равенств (21) при ; = 1 или 2.
2.3. Линейное однородное ограничение типа равенства. Рассмотрим ограничение
Ва = 0. (25)
Для удобства единичный вектор а0 направления тяги заменен в уравнении (25) вектором тяги а, поскольку обе части этого уравнения можно умножить на любое число. Матрица В = В(г, V, О в (25) имеет ранг 1 или 2 (при этом уравнение (25) определяет соответственно плоскость или прямую линию; в последнем случае направление тяги задано и требуется определить лишь величину тяги). В рассматриваемом случае однородных линейных ограничений с = 0 в (13) и тогда ат = Р0, т.е. согласно (261) Р = РО - проекция вектора Р^, на множество О. Следовательно, в соответствии с (281), (7), (10) матрица Р в (281) равна Р0, т.е. определяется из соотношения
Р = I — В Т (ВВТ) 1В,
(26)
и оптимальный вектор тяги легко находится в явном виде. В общем случае матриц
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.