КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2008, том 46, № 5, с. 440-451
УДК .629
ОПТИМИЗАЦИЯ ПЕРЕЛЕТОВ С МАЛОЙ ТЯГОЙ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ
© 2008 г. А. А. Суханов1, А. Ф. Б. де А. Прадо2
1Интитут космических исследований РАН, г. Москва
sukhanov@iki.rssi.ru 2Националъный институт космических исследований, Сан Жозе дус Кампус, Бразилия
prado@dem.inpe.br Поступила в редакцию 18.09.2006 г.
Рассматриваются перелеты с малой тягой в произвольном поле сил. Для оптимизации перелетов используется модифицированный метод транспортирующей траектории [1-4]. Основным препятствием на пути применения этого метода может оказаться сложность нахождения транспортирующей траектории заданного типа. Эта проблема решается для задачи трех тел в модели движения Хилла. Проводится численный анализ метода на примере перелетов на гало-орбиты вокруг солнечно-земных точек либрации.
PACS: 45.40. Gj
1. ВВЕДЕНИЕ
Для оптимизации перелетов с идеально регулируемой малой тягой может применяться простой метод, впервые предложенный в работе [1] и получивший название метода транспортирующей траектории (МТТ). Этот метод основан на линеаризации траектории перелета около некоторой близкой опорной орбиты (транспортирующей траектории), что обусловило приблизительный характер МТТ и его ограниченную применимость (в частности, в своем первоначальном варианте метод применим лишь к перелетам со сравнительно небольшой угловой дальностью и к тяге постоянной мощности). Однако в работах [2-4] МТТ был существенно усовершенствован. Внесенные изменения позволяют обеспечивать любую заданную точность вычислений, что достигается путем разбиения интервала времени перелета на подынтервалы и применения МТТ к каждому из них в отдельности. В результате модификации также значительно расширился диапазон применимости МТТ: в новом варианте метод применим к перелетам с большой угловой дальностью, к различным случаям частично заданных граничных условий, к перелетам с облетом нескольких небесных тел, а также к любым законам изменения мощности тяги. В [5] было показано, что МТТ может применяться к оптимизации перелетов с ограничениями на направление тяги, а также дает достаточное условие осуществимости конкретного перелета с заданными ограничениями. Таким образом, модифицированный МТТ является точным и эффективным методом решения широкого класса задач оптималь-
ных перелетов с идеально регулируемой малой тягой.
МТТ разрабатывался для кеплеровской модели движения, что позволило получить аналитические соотношения для метода и использовать кеплеровские орбиты в качестве транспортирующих траекторий. Однако МТТ может применяться и для более сложных моделей внешних сил. Для этого необходимо указать способ нахождения транспортирующей траектории, т.е. некоторой орбиты перелета под действием только внешних сил, в каком-то смысле близкой к траектории перелета с малой тягой. Такая орбита является решением краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако, как показывает практический опыт, в ряде случаев решение краевой задачи встречается со значительными вычислительными трудностями. Особенно это сказывается в тех случаях, когда краевая задача имеет несколько решений и требуется найти решение заданного типа - существующие методы не дают надежного решения, требуют хорошего начального приближения.
В работе [6] описана процедура нахождения орбиты перелета заданного типа между двумя заданными положениями за заданное время в задаче трех тел (т.е. решается краевая задача, или задача Ламберта, в задаче трех тел). В [6] используется модель движения Хилла, однако предложенный подход может быть применен как к общей задаче трех тел, так и к любой другой модели движения.
В предлагаемой статье исследуется применение МТТ для произвольной модели внешних сил и этот метод реализован для модели Хилла на осно-
ве объединения результатов работ [2-6]. В качестве примеров, иллюстрирующих эффективность метода, рассматриваются перелеты от Земли на гало-орбиту вокруг солнечно-земной точки либрации Ь1 и между двумя гало-орбитами вокруг точек Ь1 и Ь2. Оба эти перелета рассматриваются также при ограничениях на направление тяги с применением результатов статьи [5].
В статье используются следующие обозначения: г - текущее время; г0, гк - моменты времени начала и конца полета, г = г(г), V = v(г) - радиус-вектор и вектор скорости КА, х = {г, V} - вектор состояния КА, г = |г|, q = д(г), и = и(г) - радиус-вектор и вектор скорости на транспортирующей траектории, у = и} - вектор состояния транспортирующей траектории, т = т(г) - масса КА, т0 = = т(г0) - начальная масса КА, трт = т0 - т - масса израсходованного рабочего тела, а - вектор реактивного ускорения КА (обычно называемый вектором тяги или просто тягой), а = |а| - величина ускорения (величина тяги), 1уд - удельный импульс тяги, 13 , 16 - единичные матрицы 3-го и 6-го порядка. Нижними индексами "0" и "к" помечаются значения параметров в моменты времени 10 и ¿к.
2. МЕТОД ТРАНСПОРТИРУЮЩЕЙ ТРАЕКТОРИИ В ПРОИЗВОЛЬНОЙ МОДЕЛИ ВНЕШНИХ СИЛ
Первые шаги построения метода транспортирующей траектории для произвольного поля сил ничем не отличаются от тех же шагов для задачи двух тел [2]: рассматривается движение космического аппарата с малой тягой на отрезке времени [г0, гк], описываемое уравнением
х = f (х, г) + g,
(1)
где
f = ^х, г) = {V, ф}, g = {0, а}, ф = ф(г, V, г). (2)
Граничные условия
х(г0) = х0, х(гк) = Хк (3)
предполагаются заданными (случаи частично заданных граничных условий будут рассмотрены в п. 4). Рассматривается также некоторое решение У = у(г) уравнения
У - f (У, г),
(4)
удовлетворяющее граничным условиям у(г0) = у0, у(гк) = ук. Координаты в векторах состояния у0, ук полагаются заданными, а скорости в этих векторах могут быть найдены путем решения краевой задачи для уравнения (4). Решение уравнения (1) с граничными условиями (3) представляется в виде
1 = у + X. (5)
Так как реактивная тяга КА мала, предполагается, что может быть найдено решение уравнения (4), в каком-то смысле близкое к решению уравнения (1), и рассматривается линеаризованное уравнение движения КА:
X = П + g,
(6)
где
Е = Е (г) -
Эу
0 13
Е Е
(7)
Е - ^ Е - ^
г Эг' " Эv'
вектор f в (7) вычисляется на транспортирующей траектории. Граничные условия для вектора X имеют вид = х0 - У0 = Х0, Х(гк) = хк - Ук = Хк. Решение уравнения (6) дается формулой Коши:
г
X = X (г) = ф( г, го) Хо +| Ф( г,т) g(т) йт, (8)
где для произвольных моментов времени г1, г2 ф(г1, г2) = Эу(г1)/Эу(г2) - матрица изохронных производных, удовлетворяющая уравнению в вариациях Ф = ЕФ, Ф(г0, г0) = 16. Для произвольных моментов времени г1, г2, г матрица Ф обладает следующими очевидными свойствами:
Ф(г1, г2) = Ф-1(г2, г1), Ф(г1, г)Ф(г, г2) = Ф(г1, г2). (9) Введем обозначение
V = Т(г, г0) = Ф-1(г, ^ (10)
Матрица V является общим решением сопряженного уравнения в вариациях
Т = -ТЕ, Т(го, го) = 1б. (11)
Разобьем матрицу V на две подматрицы 6 х 3:
т = [Тг т]; (12)
с учетом (7) уравнение (11) для этих подматриц принимает вид
т ^ щ и т _ VI/ VI/ и
Тг - Т VЕ г, - - Тг -
(13)
Рассмотрим идеально регулируемую малую тягу с максимальной электрической мощностью N = = N0^, где у = у(г, г) и у(г0, г0) = 1. В этом случае минимизируемый функционал рассматриваемой задачи имеет вид
1 2 1 га , 3 - = I — йг.
и у
0
о
Обозначим через N0 = ^0/т0 начальную мощность на единицу начальной массы КА. Тогда расход рабочего тела находится по формуле
3
трт
N0 + 3
- то.
(15)
Оптимальный вектор тяги а определяется из соотношения
а = ур.
(16)
где р. - базис-вектор Лоудена. Строка р^ удовлетворяет второму из уравнений (13); следовательно, базис-вектор может быть представлен в виде
^ = о,
й Т • Т
^ ^ = Ч'э = 0.
аг
(21)
(22)
также положительно определенной. Теорема доказана и из (20) может быть найден неизвестный вектор Р:
Р = Эк1 А.
(23)
Минимизируемый функционал (14) и оптимальный вектор тяги принимают вид:
3 = 2 АТ8К1А,
а = у Эк1 А.
(24)
(25)
р. = ^Р, (17)
где Р - некоторый постоянный 6-мерный вектор. Введем обозначения:
А = ^кХк - Хо, (18)
г
Э = Э(го, г) = аг, Эк = Э(го, гк). (19)
го
С помощью (2), (9), (10), (12), (16)-(19) соотношение (8) приводится к виду
А = ЭкР. (20)
В [2] было показано, что для задачи двух тел матрица Э невырожденна на любом сколь угодно малом отрезке времени. Следующая теорема показывает, что это свойство сохраняется и для произвольного поля сил.
Теорема 1. В любом поле сил матрица Э = Б(г, г + Аг) является невырожденной положительно определенной для любых значений г и Аг > 0.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству соответствующей теоремы для задачи двух тел, однако в некоторых деталях отличается, поэтому приведем его полностью.
Доказательство. Предположим, что матрица Э вырождена ^ 3 вектор 8: Ээ = 0 ^ эт8э =
= £ + Аг у эТ э йг = 0. Член ^ э является
неотрицательной непрерывной функцией времени и у > 0 ^ на интервале Аг
Подставляя (21), (22) во второе из уравнений (13), найдем, что э = 0, т.е. с учетом (12), (21) = 0
на всем интервале Аг, чего быть не может, так как ^ - невырожденная матрица. Полученное противоречие доказывает, что матрица Э невырождена, причем > 0 для ^ матрица Э является
Из (5), (8) с учетом (10), (16)-(19), (23) может быть найден вектор состояния оптимальной траектории перелета: х = у + ^-1(Х0 + ЭЭ^ А).
Обобщим на случай произвольного поля сил следующее важное свойство оптимальной идеально регулируемой тяги, которое было доказано в [2] для задачи двух тел:
Теорема 2. Оптимальная тяга может обращаться в нуль лишь в изолированных точках, причем в этих точках знак тяги меняется на противоположный, т.е. эти точки являются точками переключения. При этом если |г| > гтп > 0, то число
таких точек конечно.1
Доказательство того, что точки нулевой тяги являются точками переключения, аналогично доказательству теоремы 2 в [2] с теми же поправками на произвольное поле сил, что и в приведенном выше доказательстве теоремы 1. Доказательство конечности точек переключения опустим ввиду его громоздкости. Заметим, что строго говоря, сформулир
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.