ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2007, том 41, № 5, с. 491-498
УДК 66.01.011
ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ МЕМБРАННОГО РАЗДЕЛЕНИЯ
© 2007 г. Е. Е. Лесков, А. М. Цирлин
Институт программных систем РАН, г. Переславлъ-Залесский, Ярославская область Московский государственный университет инженерной экологии 1в1г1т @ватс .botik.ru Поступила в редакцию 28.02.2006 г.
Получена термодинамическая оценка минимальных затрат энергии в мембранных разделительных системах при фиксированной производительности и составах потоков. Оптимальные изменения давления и площади мембраны конкретизированы для сред, близких к идеальным газам и к идеальным растворам.
Мембранное разделение жидкостей и газов по мере совершенствования свойств мембран [1-4] все шире используют в химической технологии. В то же время математическое описание мембранных процессов проще большинства других процессов разделения, ими можно управлять, меняя по ходу процесса давление, площадь контакта и пр.
Минимальную работу, которую нужно затратить для разделения смеси на чистые компоненты или на смеси заданного состава, можно оценить снизу по известным соотношениям обратимой термодинамики [5]. Однако эти оценки очень грубы, они не учитывают законов массопереноса и свойств мембран, производительности процесса, возможных промежуточных процессов перемешивания и пр. Для определения оптимальной последовательности разделения многокомпонентных смесей обратимые оценки непригодны, так как они зависят от составов только начального и конечного продуктов, никак не отражая последовательности, в которой этот конечный продукт был получен. Работа, затраченная на разделение, состоит из обратимой работы разделения и необратимых потерь. Эти потери равны AST, где AS - прирост энтропии системы вследствии необратимости процесса. Ниже для процесса отделения одного компонента с заданной производительностью и коэффициентами переноса получим минимально возможное производство энтропии, а, значит, минимальные дополнительные затраты работы разделения, и зависимость этого минимума от исходных данных при той или иной организации процесса с фиксированной производительностью.
ПЕРИОДИЧЕСКИМ ПРОЦЕСС МЕМБРАННОГО РАЗДЕЛЕНИЯ
Рассмотрим первоначально периодический процесс разделения смеси в системе, состоящей из двух камер, разделенных мембраной, пропус-
кающей только один отделяемый (активный) компонент смеси (рис. 1). Обозначим через 0(), СХ0, цХС, Р) - количество, концентрацию активного компонента и его химический потенциал в i-ой камере. Эти параметры могут изменяться по ходу процесса. В начальный момент времени при t = 0 количество смеси G1(0) = G10 в камере (1) считаем заданным, как и концентрацию С1(0) = С10 активного компонента, который проходит через мембрану (3) с расходом g, зависящим от его химических потенциалов по обе стороны мембраны и ц2. В свою очередь, эти потенциалы зависят от изменения давления и состава смеси в первой и второй камерах. Давление в первой камере можно менять при помощи поршня 4. Процесс будем
Gi(t) Pi(t) Ci(t) Ml(t)
S
2
ц2(0 ^ЦьМз)
P2(t) C2(t)
1
Рис. 1. Схема периодического разделения смеси: 1 - камера с разделяемой смесью; 2 - камера, в которую переходит активный компонент; 3 - мембрана; 4 - поршень.
4
3
считать изотермическим, а температуру Т заданной и постоянной.
Интенсивные переменные во второй камере -давление Р2(Г) и химический потенциал ц2(0 - изменяются во времени под влиянием накопления в ней активного компонента и внешних условий. Будем считать законы этого изменения известными. Задание начального состава смеси С10, числа молей компонента О, прошедшего через мембрану за время т, и начального числа молей О10 определяет и конечный состав первой камеры:
Ci (т) =
G 10 C10 - G G10 - G
AS =
т
Tjg(^1,^2)(М 1- М2)dt — min. (2)
Количество активного компонента, прошедшее через мембрану, равно
G =
Jg(М1, М2)dt.
(3)
Решение уравнения (4) определяет зависимость количества смеси в первой камере от концентрации активного компонента О1(С1)
G1( t) =
G
1- C1 (t)•
(5)
а, значит, обратимую работу разделения, равную приращению свободной энергии системы
А0 = -ОшЯТ[С101пС10 + (1- С10) 1п(1- С10)] +
+ (010 - О)ЯТ{ ОД1пОД + (1)
+ [ 1- СДт)] 1п[ 1- С1(т)]}.
Таким образом, минимум затраченной работы соответствует минимуму необратимых затрат энергии, пропорциональных Д£.
Прирост энтропии системы в процессе продолжительностью т, минимум которого требуется найти, равен произведению потока на движущую силу:
После подстановки выражения (5) в уравнение (4) последнее примет форму:
—± = -J-( 1- Q)), Q( 10) = Сш. (6)
Первоначально найдем такое изменение во времени химического потенциала Ма(0, при котором прирост энтропии минимален при заданном значении G. Затем для конкретной формы химического потенциала получим изменение давления P1(t), соответствующее найденному оптимальному изменению химического потенциала.
Запишем функцию Лагранжа F для задач (2), (3), учитывая, что постоянный множитель 1/T не влияет на условия оптимальности:
F = g (^1,^2 )(Ц i- ^2- •
Поток массопереноса g равен нулю при = и монотонно возрастает по В силу этого функция F, как правило, выпукла вниз по так что решению задачи соответствует стационарность F и это решение единственное:
dF
д М- 1
= 0
|f (М1- М2- X) = -g (М1,М2 ). 0М1
Чтобы исключить А, проинтегрируем обе части этого равенства от нуля до т и, с учетом (3), получим:
X =
i
G + Jl^(М1- М2)dt
fdg J9M1
Продолжительность процесса т будем считать фиксированной.
Изменения 01 и концентрации С1 определяют условия:
d (G1C1) dG1
—37— = -7Т = -g(M1,M2).
(4)
Таким образом, для определения ^(0 в случае выпуклой функции ^ имеем уравнение, определяющее для любого ц2(0 и закона массопередачи ц2) оптимальное изменение ^(0 в функции
М2('):
^ d [ G (! - С1 ) ] п
Из уравнения (4) вытекает, что-^-= 0,
а, значит, для любого момента времени Gx(t)(1 -- C1(t)) = const. Эта величина равна количеству неактивного компонента смеси в первой камере.
Обозначим его как G = G1(0)[1 - C1(0)].
g(M1, М2) = |f 0М1
G +
Jddf-(M1- М2)dt
f ig. f ЭМ1
■ - (М1 - М2)
. (7)
Если поток пропорционален разности химических потенциалов,
g = а(М1- М2),
0
т
0
0
т
0
ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ МЕМБРАННОГО РАЗДЕЛЕНИЯ то из условия оптимальности (7) следует, что
|*(t) = м t) + G,
G
= — = const. (9) т
Изменение давления Р^О, соответствующее ц* (t), зависит от вида химического потенциала.
Для смесей, близких к идеальным газам, химический потенциал (молярная энергия Гиббса) активного компонента смеси равен
| = МT, P) + RTlnС1 = = |01( T) + RT ln P1+ RT ln C1,
(10)
где ц01 - стандартный химический потенциал при
Р1 = С = 1.
Изменение С* (t) определено уравнением (6) при известном потоке массопереноса g. После подстановки в (10) ц* (0 и С* (^ получим выражение для давления в первой камере:
-ц*(0- Ц01 (Т)-
P*(t) =
1
C*(t)
exp
RT
(11)
Для закона массопереноса (8) и вида (9) уравнение (6) примет вид:
dC1
G( 1-C1 )2_ (1-C1 )2G
dt XGG1 G1o( 1- C10)t'
C1 (0) = C10. Решение этого уравнения:
C*(t) =
G10 C10 т t
"G G~-
(12)
Подставляя в (11), найдем изменение давления
G G t G10 - t P*(t) = -Ч.-ехр
+ I01 (T)л
ат
G10 C1( 0) -<G t
RT
P1, МПа 0.8
0.2
Q,
0.6 0.4
0.2
0
(6)
20
40
60
80 t,c
Рис. 2. Оптимальные изменения во времени (а) давления и (б) молярной концентрации активного компонента в первой камере для смеси газов.
на рис. 2. Оно соответствует процессу разделения газовой смеси, состоящей из диоксида углерода С02 = 120 моль и кислорода 02 = 180 моль (активный компонент), при условиях G10 = 300 моль, С10 =
= 0.6, G = 150 моль, т = 90 с, а = 2.13 х 10-
2
моль L с Дж
P2 = 101330 Па, C2 = 1.0, T = 283 К. В момент окончания процесса C(t) = 0.2. Производство энтропии
Дж
составило AS = ASmin = 415
К
Найденное оптимальное изменение ц* (0, или оптимальное значение этого химического потенциала, определяют Л£т)п после подстановки ц* и ц2 в (2).
Так, для закона массопереноса (8), используя соотношение (2), получим:
Л^ = — АЛтт ТаТ
Оптимальное изменение давления и молярной концентрации кислорода в первой камере показано
Затраченная работа A = A0 + TAS = 415730 Дж, где, согласно (1), A0 = 298300 Дж.
Для идеальных растворов химический потенциал принимают в форме (10), однако зависимость |in(T, P1) имеет иной вид. Это связано с тем, что химический потенциал |X(T, P1, xx) представляет собой [5] молярную энергию Гиббса активного компонента, а производная химического потенциала по давлению - молярный объем компонента vj. В отличие от газа молярный объем жидкости
]
P1, МПа 7.0
6.5
6.0
5.5
(а)
5.0
ё [МОЛЬ] ë1, 1-МОЛЬ]
1.00
0.99
0.98
0.97
(б)
0
1000
2000
3000 t,c
Рис. 3. Оптимальные изменения во времени (а) давления и (б) молярной концентрации активного компонента в первой камере для раствора.
81(0) = £10
Ci(0) = C
10
Pi _ const i МА(0 Mi(Ci) gat M2(C2P2) M1C1(l + dl)
i t Г M2C2(l),P2(l) i 1 t- M2C2(l + dl),P2(l + dl)
'dl'
S1(L) = S1L
Рис. 4. Схема непрерывного разделения смеси.
практически не зависит от давления и незначительно изменяется от температуры. Так как
д Ц i _ d Ц i i др дР1
_ v,
то
Mi( T, Pi, xi) _ Moi( T) + vPi+ RT ln Ci. (13)
Для закона массопереноса (8) и ц* вида (9), изменение концентрации С* (¿) для жидкостей таково
же, как и для газов в (12). И после подстановки в (13) ц* (0 и С* (¿) получим уравнение оптимального изменения давления в первой камере:
P*(0_-7
vi
М2+ Та - Moi(T) - RT ln та
Gio Ci(0)-G t"
G Gf
Gio-" t
Q(L) = C1L
В качестве примера был рассмотрен процесс разделения воды с высоким содержанием соли. По составу эта вода близка к океанской, содержащей соль (неактивный компонент) концентрации 36 г/л. Условия процесса: G10 = 552.3 моль, C10 = 0.989, G = 250 моль, т = 3600 с, а = 9.92 х х 10-4 [моль2/(с Дж)], P2 = 101330 Па, C2 = 1.0, T = 283 К. Профиль оптимального давления жидкости и изменение молярной концентрации воды в первой камере от времени представлены на рис. 3. В момент окончания процесса С(т) = 0.979. Производство энтропии составило AS=ASmin
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.