ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2011, том 45, № 5, с. 529-540
УДК 66.011.001.57
ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ РАСТВОРЕНИЯ И КРИСТАЛЛИЗАЦИИ МЕЛКОДИСПЕРСНОЙ ТВЕРДОЙ ФАЗЫ В АППАРАТАХ
С ПЕРЕМЕШИВАНИЕМ © 2011 г. С. Г. Дьяконов, В. В. Елизаров, Д. В. Елизаров, Д. А. Кириллов
Казанский государственный технологический университет pd@nchti.ru Поступила в редакцию 22.03.2011 г.
Рассматривается вариационный метод определения оптимальных параметров аппаратов с перемешиванием жидкой фазы на основе математической модели кинетики растворения или кристаллизации мелких твердых частиц. В качестве критерия оптимизации принимается производительность аппарата, которая лимитируется потоком вещества через пограничный слой на поверхности твердых частиц. Решается задача оптимизации процесса дегазации крошки каучука в аппарате с мешалкой.
ВВЕДЕНИЕ
Проектирование промышленных аппаратов с перемешивающими устройствами для процессов растворения или кристаллизации мелкодисперсной твердой фазы сводится к определению типа мешалки, диаметра аппарата и мешалки, мощности на валу привода. Число оборотов мешалки обычно задается, выбирается тип и конструкция перемешивающего устройства, мощность двигателя. Скорость растворения и кристаллизации определяется экспериментально или на основе эмпирических зависимостей. Выбор оптимальных конструктивных и технологических параметров аппарата целесообразно проводить из условия максимальной производительности, при заданных гранулометрических характеристиках твердых частиц и мощности двигателя.
В процессах растворения твердых частиц, выщелачивании или кристаллизации производительность процесса лимитируется скоростью переноса вещества через пограничный слой на поверхности частиц и скоростью переноса внутри частиц. Структура пограничного слоя на поверхности частиц зависит от гидродинамического режима перемешивания жидкости в аппарате. При проектировании оптимальной конструкции аппарата и перемешивающего устройства необходимо создать в объеме жидкости гидродинамический режим, который обеспечит однородное распределение твердых частиц в объеме жидкости и максимальный поток вещества через пограничный слой на поверхности частицы. Пограничный слой на элементах мелкодисперсной твердой фазы в потоках с внешней турбулентностью сочетает в себе черты, характерные для ламинарного и турбулентного пограничных слоев, и может классифицироваться как псевдоламинарный [1, 2]. В предлагаемой работе на основе уравнений кинетики процессов растворе-
ния и кристаллизации [2] рассматривается вариационный метод определения оптимальных параметров промышленных аппаратов с перемешиванием.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
При малой концентрации частиц в объеме жидкости (<10%) для определения скорости растворения и роста частиц, их размеров достаточно рассмотреть перенос вещества через пограничный слой из раствора к отдельной частице при кристаллизации или, наоборот, с поверхности частицы в раствор при растворении. Скорость роста и растворения частицы по диффузионному механизму записывается в виде уравнения
% = --^-Р( - ), (1)
Ат 3фгр,
где ф_£. и фу — поверхностный и объемный коэффициенты формы твердой частицы; — плотность частицы, I — линейный размер (диаметр частицы или
длина грани кристалла); в — среднее значение коэффициента массоотдачи в растворе; с, сш — концентрация вещества на поверхности частицы и в растворе.
Интегрирование уравнения (1) по времени т, начиная от т = т0, начала процесса, позволяет определить размер частицы в момент времени т:
I = Iсг - [т^Р (( - с»)
3(Рг Р
(2)
Здесь приведена движущая сила для процесса растворения частицы. Коэффициент массоотдачи в
рассчитывается по величине потока вещества в пограничном слое на поверхности элемента:
Р =
Б дС
. ду II 0
Кс4 - с«),
(3)
где с — распределение концентрации в пограничном слое; у — поперечная координата пограничного слоя.
Для расчета коэффициента массотдачи, согласно (3), устанавливается распределение концентрации С в пограничном слое и объеме аппарата с^. Уравнения переноса импульса и массы в пограничном слое на поверхности частицы приведены в [2] и в подвижной системе координат записываются в виде
2 —2 2 д и + = +ке ди
дц 12 д^2 " ш дп\
2 —2 2 д с дС = ±ре дС
дп\2 12 д£,2 " ® дп'
(4)
V и„ ди
5 дп
= (и ')2'
П = 1
откуда
ди дц
ц = 1
2 ^ ^ = Ти2Яе3.
V
Яе6 =
и^5
V
Ти
= и = 1 /2г:'.\Л
'•"да *""да
( Е = N = Км р п3 йм (6)
иЛ 15/ V V
и = — Ти2Яе58т2я:п + V ик (%)вт—п, (7) 2п к=1 2
где к = 1, 3, 5,..., 2п = 1,...; п = 0, 1, 2, ...; ик(^) — неизвестные функции от £,.
Решение (7) удовлетворяет граничным условиям (6) по координате п. Функции ик(^) (к = 1,3,5'...' 2п + 1'...) удовлетворяют уравнению (7) и граничным условиям (6) по координате £,. Подставляя решение (7) в уравнение (4), умножая его на
81П—п, где т = 1Д5'...'2п + 1'... и интегрируя его
по п от 0 до 1, получим систему уравнений для определения искомых функций ит (£,) (т = 1'3'5'...' 2п + 1'...). Далее после преобразований принимаем к = т.
(5) ит ® = /к ©И2 -1~
П \ 2 / П
,2 8Ти2Яе58т^
4 - (т
где Яеш = —; Реш = —й; 8, 5й — толщины динами-V D
ческого и диффузионного слоев. Поток импульса на внешней границе пограничного слоя определяется как
2
+
п214 - (т
2 + Ти2Яе5Яеют +
(8)
я) - 4
2
кик (£)
- ■ - т+к+2
о к=1 т + к х (-1) 2
где ия = ■
й 2Ыя
ЯеУ =
й^2 V
условия по координате £,:
5" = . Граничные
Запишем граничные условия для уравнений (4) и (5):
при п = 0: и = 0, с = 0; % = 0: и = и(0, п), с = (0, п);
% = 1: — = дс = 0; п = 1: дс = 0' ди = Ти2 Яе^
дЪ дЪ дц дц
е _ 1 . йит
е = 1
2Ти^е'я 8Ш тп
4 - (я
(9)
где Ти — интенсивность турбулентных пульсаций; е — скорость диссипации турбулентной кинетической энергии; и' — пульсационная составляющая скорости; их — скорость обтекания частицы. Толщина динамического пограничного слоя определяется из условия и = 1 при п = 1.
Решение уравнения переноса импульса. Решение уравнения переноса импульса в пограничном слое на поверхности частицы представляется [2] в виде разложения по ортогональным функциям:
е = о п я
где т = 1, 3, 5, ..., 2п + 1, ...
Система уравнений (8) с граничными условиями (9) решается методом последовательных приближений [2].
Решение уравнения переноса массы. Решение уравнения переноса массы (5) записывается в виде [2]
X Ск
к=1
кп 81П-П.
2
(10)
Поступая аналогично, как и при решении уравнения переноса импульса придем к системе обык-
2
да
+
2
да
новенных дифференциальных уравнений (11) относительно искомых функций ст(^):
^ (S) = Й (f)2 -m (S) +
S/ 2 '
2Ï
Pe^X (S)"
(11)
m+k+2 -
Sd k=i m + к x (-1) 2
d2c (Ç)
где m = 1,3, 5,..., 2л + 1, ...; c'm (Ç) =--^ с гра-
dÇ
ничными условиями для cm(£):
dc m+3
при Ç = 1: ^ = 0;при Ç = 0: cm (0) = (-1^^.(12) dç n m
Коэффициент массоотдачи ß находится по формуле (3). С учетом разложения c (2,, п) по (10) выражение (3) записывается в виде
D
ß U) = ■
д ду
Xck©sin^k|yj(csf - Cm)
- c
k=1
y=0
csf cV-
(13)
= D 2L X kck 2Sd k=1 k = 1,3,5,... ,2n + 1,....
Среднее значение коэффициента массоотдачи ß определяется как среднеинтегральное по поверхности частицы:
ß = Jß fë) d%
(14)
dT тп V f '
(15)
где T — время; V — объем жидкой фазы в аппарате; ß — среднее значение коэффициента массоотдачи; F — поверхность твердых частиц в растворе; тп = V/ и — время пребывания вещества в аппарате; c0 — концентрация раствора на входе в аппарат;
csf = cp — концентрация насыщения. Решение уравнения принимает вид [2]
c h +
(ß F/V )csf + cj Tn
( ißF +1
ß F/V + 1/ t n
-+— IT
eV tJ -1
^ (16) e 4 ,
где сн — начальная концентрация раствора при т = 0.
Поверхность твердых частиц Ш в растворе определяется при известных значениях среднего размера I частицы и их количества т в растворе F = /0т, где /0 — площадь поверхности одной частицы. Общая схема расчета кинетики растворения и роста твердых частиц за время их пребывания в аппарате тп в зависимости от конструктивных и режимных параметров приведена в [2].
Постановка задачи оптимизации. В качестве проектируемых параметров аппарата с перемешивающим устройством в процессах растворения и кристаллизации обычно принимают диаметр и высоту аппарата, определяющие объем жидкости (растворителя) V, диаметр dм и тип мешалки число оборотов п, начальный размер de частиц и их концен-трациию у в объеме жидкости, время пребывания в аппарате тп, расход растворителя и, количество получаемого продукта М. Очевидно, что чем больше поток вещества через пограничный слой на поверхности частиц при заданной их концентрации, тем больше получают целевого продукта с единицы объема аппарата, а значит, тем выше его производительность. Поток вещества через пограничный слой на поверхности частиц в ядро турбулентной жидкости при растворении (+) и кристаллизации (—) записывается в виде
J = ± D
dc
дп
d Ъ
(17)
Определение концентрации раствора в аппарате с мешалкой. Концентрация раствора сх в аппарате с мешалкой в условиях полного перемешивания определяется по модели идеального смешения с источником стока массы (+ растворение, — кристаллизация):
где с(^, п) — концентрация вещества в области пограничного слоя; Б — коэффициент молекулярной диффузии; £,, п — продольная и поперечная координаты пограничного слоя, п = 0 — значение п на поверхности частицы.
Мощность на валу двигателя мешалки, затрачиваемая на перемешивание, расходуется, пренебрегая межмолекулярным трением в жидкости, на сопротивление трения на поверхности частиц
N = m
f0pJ vdn
J дп
d Ъ
(18)
n=0
JJ
где т — количество частиц в объеме жидкой фазы V; /0 — поверхность частицы, /0 = пА2 V, р — коэффициент кинематической вязкости и плотность жидкости; и(е, п) — распределение скорости жидкости в области пограничного слоя.
Сформулируем вариационную задачу оптимизации процессов растворения и кристаллизации: требуется найти значение вектора проектируемых параметров 0 = (Кя,п, Ам,/0, т0,тП,¥) е 0О, при котором поток вещества через пограничный слой максимален при заданной мощности N = N на валу двигателя мешалки. Математическая формулировка задачи запи-
со
зо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.