научная статья по теме ОПТИМИЗАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТРУДОВЫХ РЕСУРСОВ МЕЖДУ РЕГИОНАМИ С РАЗНЫМИ ПРИРОДНЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ Экономика и экономические науки

Текст научной статьи на тему «ОПТИМИЗАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТРУДОВЫХ РЕСУРСОВ МЕЖДУ РЕГИОНАМИ С РАЗНЫМИ ПРИРОДНЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ»

ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2009, том 45, № 3, с. 139-142

ЗАМЕТКИ ^^^^^^^^^^^^^^^^ И ПИСЬМА

ОПТИМИЗАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТРУДОВЫХ РЕСУРСОВ МЕЖДУ РЕГИОНАМИ С РАЗНЫМИ ПРИРОДНЫМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ © 2009 г. Т. Р. Кильматов

(Владивосток)

ОГРАНИЧИТЕЛИ РОСТА ЭКОНОМИКИ В ДАЛЬНЕВОСТОЧНОМ РЕГИОНЕ

Юго-восточная граница России, разделяющая Дальневосточный регион с Китаем, является рубежом между экономическими агентами, развитие которых происходит по различным сценариям. В Китае к российской границе примыкают северные провинции Хэйлундзян, Цзилинь, Ляонин (обозначим их "экономический агент 1"). В России — это Приморский, Хабаровский края, Якутия (экономический агент 2). Для первого экономического агента характерна высокая плотность населения 150 чел./кв.км, численность населения превышает 100 млн. чел., рост ВРП за последнее пятилетие более 50%. Для второго агента эти показатели имеют вид — 3.7 чел./кв.км, 6.5 млн. чел., физический рост ВРП 10% (Регионы России, 2005; Кильматов, Капитонова, 2003). В то же время площадь и запасы сырьевых ресурсов у второго агента в несколько раз превышают показатели первого. При прочих равных условиях ограничителями роста экономики для первого агента являются природные ресурсы, для второго — трудовые ресурсы. (Здесь под избытком ресурса понимается его освоение по отношению к недостатку другого, например объем посевных площадей и низкая плотность населения для его освоения.) Разница хорошо заметна при пересечении российской государственной границы: в Дальневосточном регионе мы видим заброшенные поля, а на китайской территории под посевы используется даже земля внутри остатков фундаментов разрушенных строений.

Ниже при построении модели будем исходить из того, что вектор развития мировой экономики направлен в сторону интеграции, в направлении усиления социально-экономического взаимодействия между странами и регионами. Ниже представлена математическая модель оптимального распределения ресурсов между двумя экономическими агентами, приближенная к обсуждаемой реальной ситуации, сложившейся на Дальнем Востоке России.

ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕННОЙ ЕМКОСТИ

ПРИРОДНОЙ СРЕДЫ

При моделировании будем использовать подход, основанный на представлении макроэкономического процесса с помощью производственных функций. За основу принимается мультипликативная производственная функция (ПФ) (Клейнер, 1980) У = АК а1где а — коэффициент нейтрального научно-технического прогресса; в — эластичность по капиталу и труду; А > 0, 0 < а < 1,0 <р< 1; У — валовой выпуск при заданных вложенных ресурсах; К — капитал; Ь — живой труд.

Представленная производственная функция обладает следующим свойством: непрерывный рост вложенных ресурсов приводит к неограниченному росту валового выпуска, т.е.

Дда, 1) = F(K, да) = Дда, да) = да. Для второго экономического агента это модельное допущение верно, здесь действительно уровень и темпы валового продукта определяются объемом капитала и живого труда. Однако для первого экономического агента производственная функция У = F(да, 1), У = F(K, да) ограничена, имеется асимптотический предел роста объема производства вследствие емкостных возможностей природной среды.

Суть этого ограничения можно продемонстрировать на примере сельского хозяйства. На первом этапе объем производства ограничивается возможностями орудий труда и численностью работников (аналог экономического агента 2). Затем по мере накопления потенциала объем производства лимитируется природными возможностями, что прекращает экстенсивный рост. При

140

КИЛЬМАТОВ

заданном уровне научно-технического прогресса с одной единицы площади можно получить ограниченный выход продукции, даже при безлимитном вложении ресурсов. В этом случае емкость природной среды является аргументом производственной функции.

Здесь для описания макроэкономических показателей первого экономического агента прямое применение неоклассической производственной функции противоречит экономической реальности — ограниченности роста выпуска при неограниченном росте капитала и живого труда. Отметим, что аналогичная ситуация возникает при моделировании мировой экономики, где ограничителем роста будут выступать запасы природных ресурсов на планете, в частности нефти, леса, посевных площадей.

Обозначим через G максимальное значение капитала, которое можно вложить в данный регион с учетом ограниченной емкости природной среды; R — максимальный объем живого труда, который зависит от емкости региона в использовании трудовых ресурсов и условий проживания. Эти параметры характеризуют емкость региона по данным ресурсам на данный момент времени.

Зададим аналитическое обобщение неоклассической мультипликативной ПФ

Y = A((1 - exp(-G/K))K)a((1 - exp(-R/L))L)e. (1)

Здесь положительные параметры G, R характеризуют емкость природной среды по капиталу и живому труду, соответственно. Для второго экономического агента, когда масштабы производства малы по отношению к возможностям природной среды, получаем классический случай формулы

Y - AKaLe, K « G, L « R. (2)

В предельном случае, когда масштабы производства превышают возможности природной среды, а внешние условия ограничивают валовой выпуск, то K / G » 1, L / R » 1 и из формулы (1) получаем вид ПФ

Y - AGaRe(1 - 0.5G/K)a(1 - 0.5R/L)e, (3)

откуда следует предел валового выпуска F(<x>, да) = AGaRв, который определяется природными возможностями региона. Формула (3) соответствует экономическим реалиям первого агента.

Таким образом, обобщение (1) для производственной функции включает в себя классическую мультипликативную ПФ как частный случай при G ^ да, R ^ да. Обобщение учитывает ситуацию, когда пределы выпуска валового продукта ограничиваются ресурсными возможностями природной среды. Отметим, что в этом случае предельные характеристики, эластичность по труду и капиталу стремятся к нулю при росте вкладываемых ресурсов. Все рассуждения верны для фиксированного момента времени. В модели нет учета фактора научно-технического прогресса.

МОДЕЛЬ ОПТИМИЗАЦИИ ТРУДОВЫХ РЕСУРСОВ МЕЖДУ ЭКОНОМИЧЕСКИМИ АГЕНТАМИ

Рассмотрим модель оптимизации ресурсов между двумя регионами с учетом емкости природной среды. Математически проблема сводится к максимизации валового выпуска при заданном ограничении на ресурсы в задаче Лагранжа (Ашманов, 1984; Самарский, Михайлов, 2001). Для простоты положим, что каждый регион производит монопродукт, тогда и оптимизацию будем проводить только по одному ресурсу — живому труду, причем капитал фиксирован. Учет перераспределения капитала не вносит никаких принципиальных математических трудностей. С учетом перечисленных ограничений ПФ формулу (1) можно переписать в виде Y (L) = Д((1 - exp(-R/L))L)e, где Bj = A((1 - exp(-Gi/K))K)a — в данном приближении постоянная величина. Индекс i, i = 1,2, указывает номер агента.

Задача Лагранжа принимает вид

Y^Lj) + Y2(L2) ^ max, L1 + L2 = L = const. (4)

Здесь L — общее заданное суммарное значение трудовых ресурсов для обоих регионов. Поиск условного экстремума сводится к нахождению безусловного максимума функции Лагранжа

Lag(L1, L2, X) = Y1 + Y2 - X(L1 + L2 - L) ^ max.

ОПТИМИЗАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТРУДОВЫХ РЕСУРСОВ

141

Тем самым задача сводится к решению системы трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными L1, L2, X:

dLag/dL = p^Kl - e-Rl/Ll)Z/l-l[l - eLl- (RJLy)e~Rl/Ll] - ^ = 0,

8Lag/dL2 = p2^2[(l - e-R2/L)L2t-l[ l - e-R2/L- (R2/L2)e-R2/L2] -X = 0, (5)

dLag/ЭХ = Ц + L2 - L = 0. Для экономических агентов имеем:

Yl = BRe '(l - 0.5R/L)e l, Ц » R, Y2 = B2L22, L2 ^ R.

Система (5) принимает вид

0.5 p BRPl+l/L -A. = 0,

P2B2L 22-l -x = 0, (6)

L + L2 = L, L > R, L » R,

где R = R..

В такой постановке задачи емкость природной среды второго экономического агента — неограниченна. Здесь предполагается, что в первом регионе изначально имелся избыток трудовых ресурсов, L l» R. Если внешние условия таковы, что при оптимизации распределения трудовых ресурсов между регионами происходит уменьшение L l до величины одного порядка с параметром R, то дальнейшее уменьшение живого труда в первом регионе по естественным экономическим соображениям не может быть меньше емкости природной среды. Поэтому формально на исходную задачу оптимизации надо наложить дополнительное ограничение L ^ R.

Аналитическое решение системы (6) в общем случае записать нельзя, поскольку она сводится к решению алгебраического уравнения с дробными степенями. Ниже проведем аналитические оценки в частных случаях, представляющих экономический интерес.

МОДЕЛЬНЫЕ СЛЕДСТВИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТРУДОВЫХ РЕСУРСОВ

Система (6) позволяет записать соотношение, связывающее объемы трудовых ресурсов экономических агентов

L2 = (0.5pjBLVplBlRPl+l) l /( l-в2), Ll > R. (7)

Из формулы видно, что увеличение трудовых ресурсов в дефицитном по населению регионе пропорционально экономической эффективности производства в этом регионе. И наоборот, первый экономический агент уменьшает миграционный поток при увеличении на своей территории показателей эффективности производства. Увеличение емкости природной среды приводит к тому же результату.

Рассмотрим частный случай. Предположим, что вследствие взаимодействия агентов производительность труда, коэффициенты нейтрального научно-технического прогресса А1 = А2 = А = = const и капиталовложения K1 = K2 = K = const стали для каждого региона одинаковыми. Если коэффициенты равны между собой, то индекс можно опустить, и формула (7) примет вид

L2 = (0.5LR - l -e) l /(l -в). Формула показывает зависимость оптимального объема трудовых ресурсов второго агента от показателя в, характеризующего эластичность ПФ по труду для второго агента. Отметим, что эластичность по труду для первого агента равна р L/R.

Рассмотрим влияние эластичности по труду. При малых в, близких к нулю, получаем приближенное оптимальное решение L ~ JlR, l2 - L -Jlr Если R = 0. l L, то у первого агента будет порядка 30% трудовых ресурсов, у второго — 70%.

При в = 0.5 приближенное оптимальное решение L ~ 4LR3, L2 ~ L - 4LR3. Если R = 0. l L, то 20% трудовых ресурсов приходится на регион с ограниченными ресурсами (а

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком