КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2004, том 42, № 4, с. 404-413
УДК 629.19
ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ ПОЛЕТА КА С ЭРД ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ГРАВИТАЦИОННОГО МАНЕВРА
© 2004 г. Г. Г. Федотов
Московский авиационный институт (государственный технический университет)
Поступила в редакцию 17.09.2002 г.
Получены необходимые условия оптимальности использования на перелете гравитационного маневра и предложена математическая модель его исследования. С помощью разработанного метода оптимизации траектории межпланетного полета, использующего попутный гравитационный маневр, проведены оценки транспортных возможностей КА при полетах к планете Меркурий и для доставки солнечного зонда в близкую окрестность Солнца.
ВВЕДЕНИЕ
В работах [1-4] были проведены оценки транспортных возможностей доставки КА на орбиты спутников планеты Марс и планеты Юпитер при использовании в составе аппарата комбинации двигателей большой и малой тяги. Эти оценки показали, что использование в составе аппарата двигателей с высоким удельным импульсом позволяет значительно расширить его транспортные возможности. Не следует забывать для КА с электроракетным двигателем и про гравитационный маневр, использование которого в данном случае более благоприятно по сравнению с траекториями, реализуемыми с помощью химических ракетных двигателей.
Для межпланетных траекторий полета, формируемых двигателями большой тяги, допустима аппроксимация гелиоцентрических участков полета до и после гравитационного маневра дугами конических сечений. Эти дуги однозначно определяются моментом старта, моментом пролета промежуточной планеты и моментом прилета КА к цели. В случае пассивного гравитационного маневра оптимизацию траектории КА сводится к выбору этих трех параметров.
При использовании на перелете ЭРД имеется возможность специально формировать участки движения аппарата до и после гравитационного маневра. Желание уменьшить собственные энергетические затраты КА путем использования гравитационного маневра требует рассмотрения необходимых условий оптимальности его использования.
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ГРАВИТАЦИОННОГО МАНЕВРА
Рассматривается пассивный гравитационный маневр, то есть при движении КА в грависфере
небесного тела, используемого для пертурбационного эффекта, не предусматривается включение двигателя. Использование на траектории перелета гравитационного маневра приводит к появлению ограничений на внутренней точке гелиоцентрического участка траектории перелета в некоторый момент времени £ = т на вектора положения и скорости КА:
g [ К (т), т] = 0; (1)
Л[У(т), т] = 0, (2)
где К - вектор положения, V - вектор скорости. Конкретно эти ограничения можно представить в следующем виде:
К - Кпл = 0, (3)
= VI
или V-2- У+2 - 2(V-- У+)Упл = 0.
(4)
Здесь соответственно V» и V«, величина гиперболического избытка скорости КА на входе в грависферу планеты и на выходе из грависферы планеты, V- и V4 вектор скорости КА относительно Солнца на входе в грависферу планеты и на выходе из грависферы планеты, Vпл - вектор орбитальной скорости планеты, Кпл - вектор положения планеты.
Соотношения (3) и (4) являются граничными условиями для части траектории перелета от £ = £0 до £ = т, и соответственно для части траектории перелета от £ = т до £ = Т. Здесь вместо двухточечной граничной задачи имеет место трехточечная граничная задача. Момент времени £ = т соответствует встречи с промежуточной планетой, движущейся по своей орбите, предполагается не заданным, то есть внутренняя граничная точка рассматривается подвижной. В момент £ = т вектор положения КА остается непрерывным, а вектор скорости, благодаря пертурбационному эффекту,
терпит разрыв первого рода. В этот момент времени искомая экстремаль имеет угловую точку.
Очевидно, что участки траектории до и после гравитационного маневра являются экстремалями, удовлетворяющими необходимым условиям принципа максимума. Это следует из того, что если считать один из участков этой траектории уже найденным, и варьировать другой, то задача сводится к нахождению экстремалей функционала с закрепленными граничными точками.
Найдем необходимые условия оптимальности, которые должны удовлетворяться во внутренней точке траектории полета, соответствующей гравитационному маневру. Для простоты зафиксируем момент времени г = т, то есть не будем рассматривать его вариацию, а оптимизацию момента т в дальнейшем будем осуществлять, рассматривая его как внешний параметр. Сформируем расширенный критерий качества, прибавив к исходному функционалу систему дифференциальных уравнений движения, умноженную на вектор-функцию множителей Лагранжа, и ограничения в промежуточной точке (1) и (2), умноженные на постоянные множители Лагранжа соответственно:
т
3 = М (т) + Vх g + | Л + К Н - ЛК
—к
йг
- л;
йУ
' йг
йг,(5)
где М(Т) - функционал задачи (максимум конечной массы КА); у-3-ный постоянный вектор множителей Лагранжа; | - постоянный множитель
Лагранжа; ЛК - транспонированная вектор-функция, сопряженная вектору положения КА; ЛУ - транспонированная вектор-функция, сопряженная вектору скорости КА; Н = ЛК Гк + ЛУ 1у -функция Гамильтона; ^ - вектор правых частей уравнений движения, описывающих изменение положения КА; 1у - вектор правых частей уравнений движения, описывающих изменение скорости КА.
Заменим в выражении (5) интеграл Г суммой
J го
двух интегралов |Т + |Т+. Здесь значки т- = т - 0 и
т+ = т + 0 означают, что берется предельное значение величины т при приближении к ней со стороны значений г меньших или больших т. Найдем первую вариацию расширенного функционала для момента г = т и проинтегрируем по частям
йК
йУ
слагаемые ЛК — и ЛУ — , принимая во внимание
возможный разрыв сопряженных векторов в момент г = т:
53 (т) = пт дК 5К (т) + |
Э Л
1-д У (т-)-1
5 У (т-) +
+|
Э Л
1-д У (т+У
5У (т+) - ЛК(т-)5К(т) +
(6)
+ ЛК(т+ )5К(т) - ЛУ(т-)5У(т-) + ЛУ(т+)5У(т+).
Основное необходимое условие экстремума обращение в нуль первой вариации функционала, то есть 53(т) = 0. Так как вариации 5К(т), 5У(т-) и 5У(т+) независимы, то должны удовлетворяться следующие соотношения:
Э g
ЛК (т+) = ЛК (т-) - V1
Э К (т)'
Лу(Т-) = |
Э Л
Лу(Т ) =
Э У (т-) ЭЛ
(7)
(8)
ЭУ (т+)
Из соотношений (7) и (8) следует разрывность векторов Лк и ЛУ в момент времени г = т. Учитывая (3) и (4), запишем соотношения (7) и (8) в конкретном виде:
(9)
ЛК(т+ ) = ЛК(т-) + ПКпл . Лу(Т-) = 2|У;,
(10)
Лу(Т+) = 2|У1. (11)
Таким образом, использование на траектории перелета гравитационного маневра приводит к появлению в промежуточной точке дополнительных неизвестных параметров V, | и ЛУ(т+). Используя равенство = VI и исключая параметр | из соотношений (10) и (11), получим условие трансверсальности, связывающее величины базис вектора траектории на входе и выходе из гра-висферы промежуточной планеты:
Лу (т-) = Лу (т+).
(12)
Условие (12) констатирует непрерывность модуля базис вектора траектории в момент совершения гравитационного маневра, хотя его направление и претерпевает скачок. Из этого условия при задании двух компонент вектора ЛУ(т+) определяется еще одна его неизвестная компонента.
Использование гравитационного маневра увеличивает размерность краевой задачи, к которой сводится задача оптимизации траектории полета, на 5 неизвестных параметров. Это вектор V или значения компонент вектора Лк(т) и значения двух компонент вектора ЛУ(т+). Решение трехточечной краевой задачи сводится к поиску 11-ти неизвестных параметров (6 неизвестных на левом конце траектории и 5 неизвестных в промежуточной точке траектории). Эти неизвестные определяются из условия удовлетворения пяти условий (3), (10) в момент г = т, и 6-ти условий, заданных на правом конце траектории.
о
Следует заметить, что каждое из условий (10) и (11), эквивалентно двум скалярным соотношениям, определяющим ориентацию вектора скорости КА до и после гравманевра. Неопределенная константа ц в этих условиях являются положительным числом. Это следует из следующих физических соображений. Гравитационный маневр используется для уменьшения собственных энергетических затрат КА путем изменения в момент г = т вектора скорости аппарата за счет использования гравитационного поля промежуточной планеты. Эффект этого изменения скорости определяется направлением вектора гиперболического избытка скорости КА после выхода из грависферы планеты. Следовательно, вектор гиперболического избытка скорости после гравитационного маневра должен быть направлен по базис вектору траектории, который определяет наиболее чувствительное в данный момент направление управляющего воздействия на последующую траекторию полета аппарата.
Вектора гиперболических избытков скорости на входе и выходе грависферы промежуточной планеты однозначно связаны с параметрами, характеризующими гравитационный маневр. Высота пролета КА над поверхностью промежуточной планеты определяется из следующего соотношения: / \
Нп =
V2
1
008
П - р
-1
- Я
где НП - высота перицентра гиперболы пролета,
- величина гиперболического избытка скорости КА на входе в грависферу планеты, Япл - величина радиуса планеты, в - угол поворота вектора планетоцентрической скорости КА в результате гравитационного маневра, определяемый следующим образом:
в = агсоо8 (V;, VI)/ V;.
Естественно, что на высоту пролета КА над поверхностью планета вводится ограничение НП > Нзад. Если высота пролета оказывается меньше заданной, то для его удовлетворения необходимо или отступление от условий оптимальности в промежуточной точке (10)-(12), или выбор других значений внешних параметров краевой задачи (момент отлета от планеты старта, момент пролета промежуточной планеты или момент прибытия к планете назначения). Выбор этих внешних параметров краевой задачи необходимо использовать не только для удовлетворения ограничения высоты пролета, но и для максимизации конечной массы КА.
Таким образом, необходимые условия оптимальности при использовании гравитационного маневра приводят к решению трехточечной краевой задачи с 11 неизвестными параметрами. Чис-
ленная реализация процедуры решения такой краевой задачи представляетс
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.