ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 4, 2013
УДК 621.01
© 2013 г. Статников Р.Б., Матусов И.Б.
ОПТИМИЗАЦИЯ В ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧАХ. АНАЛИЗ И ОБОБЩЕНИЯ
Изложены основные результаты исследований в области проектирования, идентификации, проектирования регулируемых систем и доводки опытных образцов. Приводятся примеры приложения метода Исследования Пространства Параметров в различных областях науки, производства и в учебном процессе. Обсуждаются некоторые вопросы стратегии решения инженерных задач оптимизации.
О задаче параметрической идентификации и ее корректной постановке [1—9]. Приступая к решению задачи, человек прежде всего уделяет внимание адекватности математической модели реальному объекту, составлению и решению системы уравнений, описывающей поведение объекта. Пусть имеется возможность оценить адекватность математической модели реальному объекту по множеству локальных критериев близости. Обозначим через Ф^ (а), V = 1, к характеристики (критерии), определяемые из
анализа математической модели, описывающей исследуемый объект; Ф^ — экспериментальное значение v-го критерия, измеренного непосредственно на опытном образце, например, на прототипе; а = (а:, ..., аг) — вектор параметров исследуемой модели. Под локальными критериями адекватности будем понимать рассогласования между экспериментальными и полученными при расчете математической модели характеристиками объекта. Обычно в условия задачи включаются функциональные зависимости /¡(а) и ограничения на них с* < /¡(а) < с** , I = 1, ..., t. Функциональные
ограничения указывают на необходимость соблюдения нормативных требований к объекту и стандартов. Сопоставляя экспериментальные и расчетные характеристики, требуется определить соответствие модели реальному объекту и идентифицировать параметры модели, т.е. найти векторы параметров а', которые удовлетворяют параметрическим, функциональным и критериальным ограничениям
а/ < а, < а**, , = ТТп с* < а) < с**, I = Ц; N (а) - < Ф**,
где ||ф^(а') - ФГ| — критерий адекватности или близости.
Ограничения {а* , а,** , с* , с** , Ф** } определяют допустимую область идентификации Ба. Определение параметров математической модели составляет суть векторной параметрической идентификации. Постановка и решение задачи основаны на методе Исследования Пространства Параметров (метод ИПП) [1—9].
Метод ИПП. Подавляющее большинство работ, посвященных поиску оптимальных решений в инженерных задачах, вообще не обсуждает вопросы корректной постановки задачи оптимизации, и в частности, обоснование ограничений на параметры, функциональные зависимости и критерии, которые определяют допустимое множество решений. Так как оптимальные решения следует искать на допустимом
2* 35
множестве, то на пользователей перекладывается трудная, чаще невыполнимая задача — априори корректно сформулировать систему ограничений. Попытки пользователя "избежать" многокритериальности с помощью перехода к однокритериальным методам по существу означают подмену реальной задачи другой, мало что имеющей с ней общего. В этом случае по-прежнему остается нерешенной проблема обоснования допустимого множества. Иными словами, обращение к однокритериальным методам предполагает, что человек может корректно поставить задачу оптимизации. Это достаточно смелое и в подавляющем большинстве случаев необоснованное предположение. Обращение к однокритериальным методам возможно только после корректного определения допустимого множества.
В начале 70-х годов прошлого столетия в Институте машиноведения и Институте прикладной математики РАН был создан метод ИПП. Изложим его основную идею. Имеются ограничения на параметры, которые выделяют в пространстве варьируемых параметров а-, j = 1, ..., r параллелепипед П. Кроме параметрических ограничений обычно в условия задачи включаются функциональные зависимости /(а) и ограничения на них с* и с**.
Критерием качества называется характеристика системы, которая связана с ее качеством монотонной зависимостью. Иными словами, при прочих равных условиях система тем лучше, чем больше (меньше) критерий.
Для простоты записи будем предполагать, что все заданные критерии Ф1(а), ..., Ф^(а) желательно уменьшить: Фу(а) ^ min. Относительно функций Фу(а) будем предполагать, что они непрерывны в П. Как правило, для Фу(а) существуют критериальные ограничения Фу(а) < Ф** . Критериальное ограничение Ф** — это худшее значение критерия Фу(а), которое специалист считает приемлемым. Заметим, что в тех случаях, когда ограничения с* и с** заданы не жестко, т.е. специалист имеет возможность их пересматривать в процессе решения задачи, функциональные зависимости /(а) следует представлять в виде псевдокритериев. Более подробно это описано
Пусть Б — множество точек а, которые удовлетворяют всем параметрическим, функциональным и критериальным ограничениям. Естественно Б назвать множеством допустимых решений.
Главная трудность при переходе к математической задаче оптимизации состоит в нахождении максимальных значений критериальных ограничений Ф** . Основу метода ИИП составляет построение и анализ таблиц испытаний. Метод ИПП включает три этапа. Сначала последовательно рассчитываются N пробных точек а1, ..., а^, равномерно распределенных в П [1—9]. В каждой из этих точек рассчитывается система и вычисляются значения всех критериев Фу(а'). По каждому критерию составляется таблица испытаний, в которой значения расположены в порядке возрастания. После этого на основании анализа таблиц испытаний и диалогов специалиста с компьютером находятся значения критериальных ограничений Ф** . Далее строится так называемое множество Парето, т.е. множество решений, которое нельзя улучшить по всем критериям одновременно [5]. На этом множестве определяется наиболее предпочтительное или оптимальное решение.
Аппроксимация допустимого и Парето-оптимальных множеств рассмотрена в работах [2, 4, 6], где доказывается, что если критерии Фу(а) непрерывны и удовлетворяют условию Липшица или специальному условию Липшица, то для £-аппроксима-ции Ф(Б) достаточно
в [1-6].
точек Рт-сетки. Здесь sv — допустимая погрешность (по мнению эксперта) по критерию Ф^,; Lv — константа Липшица. О значениях т сказано в [6, 7]. Разработан алгоритм, позволяющий аппроксимировать допустимое множество, используя существенно меньшее число точек Рт-сетки [6]. Метод аппроксимации множества Парето, решающий проблему некорректности этой задачи, создан по Тихонову [7].
Изначально метод ИПП был ориентирован на постановку и решение прикладных задач механики и машиностроения. В дальнейшем он "перерос" эти границы и превратился в самостоятельное междисциплинарное направление [l—б]. Метод стал "жить сам по себе", привлекая огромное количество специалистов из разных сфер человеческой деятельности. Это вызвано тем, что специалист, исследуя пространства параметров и критериев, получает важную информацию о значениях критериев в различных точках пространства критериев, взаимосвязи критериев, зависимостях критериев от параметров, ресурсах исследуемого объекта, чувствительности критериев к параметрам и т.д. На основании анализа полученных результатов человек вмешивается в процесс оптимизации и корректирует исходную постановку задачи: систему ограничений и саму математическую модель. Этот процесс в каком-то смысле напоминает анализ рентгеновского снимка, на основании которого врач принимает решение. Процесс построения допустимого множества решений на основе метода ИПП происходит в интерактивном режиме и диалогах специалиста с компьютером. Заметим, что для реальных задач, как правило, имеем сильные ограничения, поэтому количество Парето-оптимальных решений состоит из небольшого числа элементов. Кроме того, пользователь обычно работает с хорошо структурированными задачами, поэтому проблема выбора на множестве Парето наиболее предпочтительного решения не представляет трудностей. Метод ИПП не имеет аналога. Метод ИПП реализован в виде ПК MOVI (Multicriteria Optimization and vector Identification) [lO], который широко применяется в исследовательских целях, в промышленности и в учебном процессе.
"География" приложения метода. Метод ИПП стал в мире одним из важных инструментов для постановки и решения задач в многочисленных областях человеческой деятельности: проектировании, управлении, проектировании регулируемых систем, идентификации, доводки опытных образцов, улучшении прототипа и поиске согласованных решений в больших системах. Приведем некоторые примеры: автоматизация и управление проектированием и производством композиционных баллонов [ll]; проектирование и управление антеннами с целью улучшения работы сетей для мобильных телефонов; проектирование ортотропных конструкций мостовых сооружений (мост через Суэцкий канал в Египте, Mohamed E. Elmadawy, Mohamed A., El Za-reef, И.В. Демьянушко см. в [l]); улучшение прототипов судов (Kivanc Ali Anil см. в [l]) поиск оптимальных параметров регуляторов для линейных систем управления (Кормилкин A.A., Тягунов ОА. см. в [2]); оптимизация кинематической схемы трансмиссии полноприводного легкового автомобиля; расчет и оптимизации кинематических характеристик механизмов подвесок колес; выбор допустимого расположения сидений, педалей, панели приборов и пола в салоне; исследование значений оценок комфорта размещения водителя и пассажиров (В.В. Черных см. в [3]); моделирование стратегического развития предприятий автомобильной отрасли и механизм поиска оптимальных решений [l2]; работы NASA по Ll адаптивному контролю летательных систем (Enric Xargay, Naira Novakimayn, Vladimir Dobrokhodov, Isaac Kaminer, Chengyu Caok, Irene M. Gregory см. в [l]); многокритериальная оптимизация параметров пнев-момотора [l3]; определение коэффициентов открытой пористости Самотлорского нефтяного месторождения (Ингерман В.Г. см. в [б]); оптимизация процесса экстракции свежесобранных плодов боярышника для предупреждения и лечения сердечнососудистых заболеваний (Муравьев ИА., Бреднева Н.Д. см. в [б]); задачи многокритериального управления регулируемых технических систем (Егоров И.Н., Кретинин Г.В. см. в [б]); оптимально
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.