КОЛЛОИДНЫЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 69, № 5, с. 649-654
УДК 541.182.213:621.928.95
ОСАЖДЕНИЕ НАНОЧАСТИЦ В ФИЛЬТРАХ ИЗ ПОРИСТЫХ
ПРОНИЦАЕМЫХ ВОЛОКОН
© 2007 г. В. А. Кирш
Институт физической химии и электрохимии им. АН. Фрумкина РАН 119991 Москва, Ленинский проспект, 31 Поступила в редакцию 19.12.2006 г.
Исследовано диффузионное осаждение наночастиц из потока при малых числах Рейнольдса в модельных фильтрах, состоящих из пористых проницаемых волокон кругового сечения. Рассчитано поле концентрации частиц и определен коэффициент захвата пористого волокна в ячейке и в изолированном ряду параллельных волокон в широком диапазоне чисел Пекле Ре в зависимости от проницаемости волокон. Показано, что при Ре > 1 с ростом проницаемости волокон коэффициент диффузионного захвата п возрастает и при Ре —»- <» стремится к пределу, равному расходу газа через пористое волокно. Коэффициенты захвата, рассчитанные по ячеечной модели и для ряда волокон, практически совпадают. Рассчитано диффузионное осаждение аэрозольных частиц с учетом их конечного размера в области наибольшего проскока, и показано, что с ростом проницаемости волокон радиус наиболее проникающих через фильтр частиц уменьшается.
1. ВВЕДЕНИЕ
Исследование течения газа и диффузионного осаждения наночастиц в материалах из пористых волокон при малых числах Рейнольдса (Яе < 1) представляет интерес в связи с проблемой тонкой очистки технологических сред, включая очистку газов от аэрозольных и газообразных примесей. К настоящему времени достигнуты большие успехи в получении пористых проницаемых волокон, в том числе субмикронных, с пористостью до 85%. Их получают методом электроспиннинга из растворов полимеров [1, 2]. Исследования в данной области важны и для решения других задач массопереноса в пористых волокнистых системах, в технологии получения нанокомпозитов и при исследовании забивки частицами плотных сорбционных фильтров, волокна которых состоят из параллельных ультратонких волокон. Несмотря на актуальность этих задач, исследованию гидродинамики пористых цилиндров при Яе < 1, в отличие от гидродинамики пористых сфер или каналов с пористыми стенками, уделялось существенно меньшее внимание. И только недавно течение в пористых волокнах начали рассматривать в связи с проблемой пропитки материалов из пористых жгутов, состоящих, в свою очередь, из множества тонких волокон [3]. Поле течения для пористого изолированного цилиндра и для цилиндра в ячейке (рис. 1) впервые было найдено в [4]. Впоследствии это поле течения использовалось при расчете эффективности осаждения аэрозольных частиц [5].
При решении некоторых задач целесообразно использовать модельный фильтр в виде изолиро-
ванного ряда волокон (рис. 2), который удобен не только для проведения экспериментов, но и для численного моделирования, поскольку позволяет проследить диффузионный след вдали от волокна. Недавно [6] методом граничной коллокации было рассчитано поле течения в изолированном ряду равноотстоящих пористых цилиндров и в плотных
- Ь 0 ь
х
Рис. 1. Схема течения в пористом проницаемом волокне в ячейке радиуса Ь = а-1/2; а = 0.1, S = 10, значения функции тока отмечены на линиях тока.
A
B !!
C
¡¡ D
L
Vpe = Aue, V- ue = 0,
(1)
AA¥e = 0, AA¥< - SAY^ 0.
(3)
В безразмерных полярных координатах г, 0 компоненты скоростей выражаются через функцию тока следующим образом:
1дУ
Ur Г Э0
6 e дУ
Un =
dr
(5)
Рис. 2. Изолинии концентрации частиц при обтекании пористых волокон в отдельном ряду: ABCD - расчетная ячейка, AB = 1, AC = 2L, rp = 10 нм, U = 1 см с-1, a = 15 мкм, a/h = 0.25, S = 5.
системах с квадратной и гексагональной упаковкой. При этом было показано, что в широком интервале значений a/h, где а - радиус цилиндра, 2h - расстояние между осями цилиндров, можно использовать ячеечную модель, для которой известно аналитическое решение [4]. Результаты этих работ используются в данном сообщении при рассмотрении диффузионного осаждения наноча-стиц из потока при малых числах Рейнольдса в модельных фильтрах, состоящих из параллельных пористых проницаемых волокон кругового сечения, расположенных перпендикулярно потоку.
2. ОБТЕКАНИЕ СТОКСОВЫМ ПОТОКОМ СИСТЕМЫ ПОРИСТЫХ ПРОНИЦАЕМЫХ ВОЛОКОН
При малых числах Рейнольдса течение вне пористого волокна (рис. 1) описывается уравнениями Стокса:
Решения уравнений (3) и (4) сшиваются на пористой границе из условий непрерывности компонент скоростей и напряжений
ur = uer, u\ = u0, p' = pe, T = Te при r = 1,
где t - касательное напряжение. На границе ячейки ставятся условия Кувабары [8].
Формулы для функций тока и силы сопротивления, полученные в [4], имеют следующий вид
Yr = (Aj/r + Bjr + Cjrlnr + Dr )sin0,
V = (C2 r/2 - A21 j( Sr) /S2) sin 0, (6)
F = 4n Cj,
где
а внутри волокна - уравнениями Бринкмана [7]:
Ур' = Диг - £и', V ■ иг = 0. (2)
Уравнения (1) и (2) записаны в безразмерных переменных, где и = и*/и скорость,р = р*а/иц - давление, £ = Ба1/2 = ак 1/2 - параметр проницаемости, к - проницаемость пористого волокна, Ба - число Дарси, а - радиус волокна, и - скорость потока перед фильтром, ц - вязкость газа. Звездочкой отмечены размерные величины. Индекс ' обозначает величины, относящиеся к пористому волокну, е - к внешней области. В терминах функции тока уравнения Стокса (1) и Бринкмана (2) имеют вид:
= l ( 1-В 3с"
B1 = 1-A1a + Cjl í ln a + 2
C1 = í + + ;;442)1, ^1=-?Сь
А2 = -2 íC1//1 (£), С2 = 4 (1 + а) С1/ £%
t = 1 - а, к0 = -0.51п а - 0.75 + а - 0.25а2.
Здесь а - плотность упаковки волокон, ^ = = /2(£)//1(£), 1т(г) - модифицированная функция Бесселя мнимого аргумента. Для сравнения мы использовали также поле течения, найденное из уравнений Стокса(1)и Дарси
Ур = -£и', V ■ и' = 0. (7)
Решение для соответствующей функции тока имеет вид [6]:
Уе = ( A1/r + B1r + C1 r ln r + D1r ) sin 0, Y! = G2r sin 0 /S2,
(8)
где
G2 = 2( 1 + a)C1, A1 = --í 1-^ C1,
a
2 í 2
1
С1 = + (1 + а)
Коэффициенты В1 и Б1 в формулах для функции тока (8) - те же, что и в (6). Сравнение линий тока
y
вблизи пористых волокон, построенных по формулам (6) и (8), приведено на рис. 3, откуда видно, что решение уравнения Дарси (8) не дает плавного перехода линий тока вблизи границы пористой области и дает меньший расход через пористое волокно. Далее мы покажем, как отличается эффективность диффузионного осаждения частиц для полей течения, определяемых формулами (6) и (8).
В случае модельного фильтра - изолированного ряда пористых волокон, формулы для компонент скоростей получены не были. При расчете диффузионного осаждения частиц в ряду поле скоростей потока находилось, следуя работе [6], численным решением уравнений (3), (4) с помощью метода граничной коллокации.
3. КОНВЕКТИВНАЯ ДИФФУЗИЯ В СИСТЕМЕ ПОРИСТЫХ ПРОНИЦАЕМЫХ ВОЛОКОН
Поле концентрации частиц в потоке описывается уравнением конвективной диффузии [9]
-----Ап - и -V« = 0, Ре
(9)
(а) .............................—
0.3 0.147 0.06 0.02
(б)
0.3 0.06
0.095 0.02
х -4
-2
-1
У 1.2
0.8 0.4 0 1.2
0.8 0.4 0
Рис. 3. Линии тока при обтекании пористого волокна в ячейке Кувабары, рассчитанные по уравнению Бринкмана (а) и по уравнению Дарси (•): а = 0.05, 5 = 5.
и 1п(Ъ/(1 + Я)). В переменных г, 0 уравнение (9) запишем в консервативной форме:
где п = «*/«0 - безразмерная концентрация частиц, Ре = аи/Б - диффузионное число Пекле, В - коэффициент броуновской диффузии частиц. В качестве граничных условий на поверхности волокна ставим условие полного поглощения
«(1 + Я, 0) = 0,
где Я = гр/а - параметр зацепления, гр - радиус частиц. На границе ячейки (рис. 1) используем приближенное условие постоянной концентрации,
п(Ъ, 0) = 1,
которое, как было показано в [10], может быть использовано для промежуточных и больших значений Ре.
Для второго модельного фильтра - ряда пористых волокон (рис. 2), используем на границах расчетной ячейки АБСБ (АВ = 1) следующие условия: п = 1, х = -Ь (линия АВ); дп/ду = 0, у = 0, у = 1 (ББ, АС); п = 0, х = Ь (СБ); п = 0, г = (а + гр)ктх, где х, у -безразмерные декартовы координаты, нормированные на к.
Для волокна в ряду и волокна в ячейке уравнение (10) было решено численно с помощью схемы метода прямых, предложенной нами на основе конечноразностной монотонной схемы второго порядка [11], которая используется для решения задач с погранслоем и, в частности, задач о диффузионном осаждении аэрозольных частиц [10]. Приведем схему решения для ячеечной модели. Преобразование г = ехр(г) переводит расчетную область в прямоугольник со сторонами длиной п
где
д2п д2п д , (1) , д , (2) , „ —2 + Т-2 - С 'п) - ж(С 'п) = 0, дг д02 дг д0
с(1) = и2(ег, 0)егРе, с(2) = и0(ег, 0)егРе
(10)
Разобьем область интегрирования по угловой координате на М отрезков с шагом 5 = 2п/М. Заменим производные по г в (10) разностной аппроксимацией, предложенной в [10], в результате чего получим систему уравнений для нахождения концентрации пк на каждой прямой:
д2п / д02- 4( с(2) п) = д0
= ак2++л( Щ +1 - пк)/52 - а^2- ш (щ - щ -1) / 52-
{пк(+) 1 /2 Ск-1/2) + пк +1 Ск+1/2 пк-1 Ск-1/2 }/5
.,(2) -
(2)-
.(2)+
где
с(2)+ = 0.5(С(2) + |С(2)|), С(2)- = 0.5(С(2) - |С(2)|),
а
(2) _
= 1/( 1+ Р2), Р2 = |с( 2)|5 Ре/2 к = 0, ..., М.
В итоге получаем двухточечную краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
иУк г ипк
-¡г = РкУк+чп+1к, -д-=у к, щ (1п (1+ Я ),0к) = 0, пк (1п (Ъ ),0к) = 1.
S
Рис. 4. Зависимости коэффициента захвата пористого волокна в ряду от числа Пекле при различных значениях £ 1,1' - £ = 1.5, 2, 2' - 5, 3, 3' - 10, (4) - £ —-
-1'-3' - Ре -- гр = 10 нм, а =15 мкм,
а = 0.05.
Рис. 5. Зависимости коэффициента захвата пористого волокна в ячейке от параметра проницаемости S для разных размеров частиц: 1,Г, 1" - rp = 10 нм, 2,2', 2" - 150 нм; 1, 2 - поле скоростей найдено из уравнения Бринкмана, 1', 2' - из уравнения Дарси; (1", 2") -непроницаемое волокно, 3 - ряд пористых волокон; U = 5 см с-1, a = 1 мкм, а = 0.05.
Здесь введены следующие обозначения
pk = uzezPe,
qk = dpk / dz + { of) 1/2 + ok2-' 1/2 +
+ 8( ck2++/2- <&)} / ô2,
fk = щ +i( ck2+)-/2Ô - ok2+1/2)/ô2-- щ-i(ck2-+/
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.