ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 77. Вып. 1, 2013
УДК 539.3
© 2013 г. Н. Д. Вайсфельд, Г. Я. Попов, В. В. Реут
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ЗАЩЕМЛЕННОГО ПО БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНУСА С ПРИСОЕДИНЕННЫМ ШАРОВЫМ СЕГМЕНТОМ
Рассматривается осесимметричная смешанная задача о напряженном состоянии упругого конуса, к основанию которого присоединен шаровой сегмент. Боковая поверхность конуса жестко защемлена, а поверхность шарового сегмента находится под нагрузкой. Применение нового интегрального преобразования по меридиальному углу сводит задачу в пространстве трансформант к векторной краевой задаче, решение которой строится с помощью аппарата решения матричной краевой задачи. Неизвестная функция (производная смещений), входящая в решение, определяется из приближенного решения сингулярного интегрального уравнения, для чего проведено предварительное исследование характера особенности функции на концах промежутка интегрирования. Последующее применение обратных интегральных преобразований приводит к окончательному решению исходной задачи. Полученные значения напряжений сравниваются с напряжениями, возникающими в конусе при аналогичной нагрузке, когда на боковой поверхности конуса заданы условия скользящей заделки (для этого случая построено точное решение указанной задачи, основанное на известном результате).
Исследованию напряженного состояния упругих цилиндрических [1—4] и сферических [5—8] тел посвящено значительное число работ. Рассматривались [9—11] упругий полушар и купол — частные случаи конуса с присоединенным шаровым сегментом. Значительно реже рассматриваются задачи упругости для конических тел [12, 13], что объясняется их значительной математической сложностью (наличие особой точки — вершины конуса, отсутствие подходящих интегральных преобразований). Появление новых интегральных преобразований [14] позволяет преодолеть указанные трудности и решить новую осесимметричную смешанную задачу.
1. Постановка задачи. В сферической системе координат г, В, ф рассматривается тело (^ — модуль сдвига, ц — коэффициент Пуассона) в виде конуса, к основанию которого присоединен шаровой сегмент (фигура):
0 < г < а, 0 <0<ю, - п < ф < п Боковая поверхность конуса
0 < г < а, 9 = ю, - п < ф < п
жестко защемлена, а к поверхности шарового сегмента г = а приложена нормальная осесимметричная нагрузка р(0).
При учете замены переменной г = ар постановка задачи записывается в виде [15, 16]
,2 0 1 (МП И*)' Д (81пК)' Д (81п 9К ')• (р и )' - 2и + —^-----^-'— + др^-'— = 0
Д* 8Ш 9 Д* 9 9
(р2к •)' + д*
^т 9и •)• V
\
(1.1)
siп 9 81п2 9
+ д 0ри'* + 2д*и * = 0; 0 <р< 1, 0 < 9 < ю
и (р, ю) = V (р, ю) = 0, 0 <р< 1; ор (1,9) =-р (9), тр0 (1,9) = 0, 0 < 9 < ю; (1.2) Здесь
И(р,9) = Иг (а, е), V(р,9) = И0 (а,е), Ор (р, 9) = Ог (а, б), Тр0 (р,9) = Тге (а,е),
д 0 Д* = 2 (1 -Д)Д o, д = Д 0Д-1
1 - 2д
Штрихом обозначена производная по переменной г, точкой — по 0; Иг, и0, аг, тге — смещения и напряжения в сферической системе координат. Требуется определить напряженное состояние конуса.
2. Сведение задачи к векторной краевой задаче. К уравнениям (1.1) применяются интегральные преобразования по переменной 0 [14] (а именно, их частный случай, когда нижний предел интегрирования равен нулю):
«к (р) = JpVk (cos е) sine« (р, е) de, k = 0,1,2,...
(2.1)
vk (p) = Jplk (cos e) sin e v (p, e) de, k = 1,2,.
(2.2)
где Pv (cos 9) — функция Лежандра, Д1 (cos9) — присоединенная функция Лежандра первого порядка, v = vк (к = 0,1,2,...) — корни трансцендентного уравнения Д1 (cos ю) = 0. В трансформантах (2.1), (2.2) уравнения (1.1) запишутся в виде
(р24(р))' - 2«k (р) - Д^« (Р) + Д-1Д Vk (р) - Д pVk(p) + Д*1^ (Р) = 0
(p2Vk(p))' - Д^-NkVk (р) + Д0р^4(р) + 2д*NkUk(р) = 0 Nk = Uk (Uk +1), Fk (р, ю) = sin (aPVk (cos ю) u' (р, ю) Краевые условия (1.2) примут вид
(1 - ц) «k (1) + 2ц^ (1) - М (1) = -Apk, Vk (1) - Vk (1) + Nk«k (1) = 0 to
Pk = J sin9Puk (c°s9)P (6) de, A =-
(2.3)
(2.4)
0
20ц
0
При получении условий (2.4) учтены формулы связи смещений и напряжений [17]
( , „ч /„ . „ч^
/ „Ч -¿ОЦ
ст р
, „ч 2G ц 0 L ч ,, _ч , «(р, 0) (V sin 0) ,(р, 0) = —Ü0 (1 - ц)« (р, 0) + 2ц —- + ц---La I р р sin 0
Тр0(р,9)= G р V'(р,9)--
( (
V(р, 9)V «' (р, 9)
\
к первой из которых применено интегральное преобразование (2.1), ко второй — преобразование (2.2).
Введем в рассмотрение векторы и матрицы
У к (Р) = (ик (Р), Ук (р))Т , {к (р) = -Ц*1^ (<^ю) sinю ( (р, ю), 0)Т
Q =
in -Л 0 -ц*
N 0
, p =
-2 - ц* Nk ц* ц 2^*Nk -ц*Nk
В этих обозначениях система (2.3) запишется в виде векторного уравнения
[p2yk(Р)]'+ ^0pQyk(Р) + Pyk(Р) = fk(Р), k = 0,1,2,.
(2.5)
3. Решение векторной краевой задачи. Рассмотрим случай k = 0, который соответствует собственному значению VI) = 0. В этом случае система уравнений (2.3) и краевые условия (2.4) принимают вид
ю
0
ю
0
(P2«ó (Р))' - 2и0 (р) = F0(p)
1 У3*1/
(1 - д) u'o (1) + 2^0«0 (1) = -^Р0, Fo(p) = - sin юи (р, ю) д*
При учете требования регулярности решения в нуле общее решение однородного уравнения (3.1) строится в виде u0 (р) = Dp, фундаментальная функция имеет вид [18]
g (р, ¡0 = -р%-2)
что позволяет записать общее решение неоднородного уравнения (3.1) следующим образом:
р
U0 (р) = Dp + 3 J(%р2 - P%2)F0 (%)d%
0
Неизвестная постоянная D определяется из краевого условия (3.1). Окончательно решение задачи (3.1) для случая k = 0 запишется в виде
U0(р) = ^Р-^pJiF (5)d5-3Р2di + 3 jf^L-¿lF0 (5)¿5 (3.2)
1 + ^ 3 ^ + 1 0 3 0 52 30lp2 52
В случае k > 0 решение уравнения (2.5) строится с помощью фундаментальной матрицы [19] по предложенной ранее схеме [16]. Фундаментальная матрица имеет вид
Ф (x) = {A1C+1+ Л2\Г; x > 1, x =P, A i = (j B i = [b'ij}; l, i, j = 1,2 (3.3)
[ B1 x+1 + B2xUk-1, x < 1 r
Вид элементов матриц Л, и B, приведен в приложении 1.
Решение векторной задачи для уравнения (2.5) запишем следующим образом [19]:
y (р) = Jf (r) r-1 Ф^pjdr + Y(p)C (3.4)
Y(p) — регулярное решение матричной фундаментальной системы решений, C =
/Mk) Mk)\ T
= (С0 , C ) — вектор неизвестных постоянных, которые определяются из краевых условий задачи. Матрица Y(p) имеет вид
Y (р) = B1xUk-1 + B2 xUk+1 (3.5)
Эту же формулу можно получить предельным переходом при а ^ 0 в более общих формулах ([16], формулы (4.8)).
Трансформанты искомых смещений окончательно запишутся в виде
Uk (Р) = jФ00 (р)^dr + 700 (p)C0k) + Y01 (p)C1(k)
Vk (Р) = J"Ф10 i1!^dr + Y10 (p)c0f) + Y11 (p)CÍk) (3.6)
0 ^ r fk (r) = -Д-p»k (cos ю) sin юи' (r, ю)
Чтобы отыскать постоянные Сок) и С,(к), подставим выражения (3.6) в краевые условия (2.4)
(вид коэффициентов с0к) и С1к) приведен в приложении 2).
Применение обратных интегральных преобразований (2.1) и (2.2) [14] к трансформантам (3.6)
-о <к)
и(р, 9)" V (р, 9)
= Е
к=1
Uk(p)Pvк(cos 9) Pv (cos 9;
Vk (р)Д(к (cos 9)| Pv(k (cos 9)||-
P0 (cos9)(2sin2-) u0 (р)
-1
(V = V к, к = 0,1,2,...) завершит построение смещений и (р, 9) ,У (р, 9), если будет определена неизвестная функция и' (р, ю). При ее определении учтем, что первое условие (1.2) осталось неудовлетворенным. Удовлетворив требованию и (р, ю) = 0, получим интегральное уравнение
nil] dr = f (p); x (p) = u • (p, Ю)
(3.7)
(Выражения для ядра - I и правой части / (р) этого уравнения приведены в приложу1
жении 3.) Для решения полученного интегрального уравнения следует знать характер особенностей неизвестной функции х (р) на концах промежутка интегрирования р = 0 и р = 1. 4. Выявление порядка особенности неизвестной функции и'(р, ю) при р = 0 и р = 1.
При исследовании особенности смещений при р = 1, пренебрегая кривизной боковой поверхности конуса, можно интерпретировать исходную задачу как задачу для клина, на одной грани которого заданы напряжения, а на другой — смещения. Такая задача была решена [20] и было показано, что показатель степени, определяющий особенность, близок к 1/3 ( с точностью до шестого десятичного знака).
Для выяснения характера особенности при р = 0 используем метод Вильямса [21], для чего представим смещения в форме Гутмана [22]
и (р, 9) = Ф' (р, 9)-2 (1 (р, 9), V (р, 9) = Ф* (р, 9)/р
Ф (р, 9) = р^' (р, 9) + kF (р, 9), к = 3 - 4ц где F (р, 9) — функция, удовлетворяющая уравнению
A2F (р, 9) = 0;
AF = (P2F')'-VF VF _ (sineF•)•
sin9
(4.1)
(4.2)
Представим функцию Г (р, X) в виде Г (р, X) = р1 g (9), где бенности, и подставим это в уравнение (4.2):
X (X + 1)g (9) +
(sin9 g' (9))'
sin9
= 0
неизвестный порядок осо-
(4.3)
Запишем общее решение уравнения (4.3) [18]
g (9) = ¿0Л-2 (cos 9) + (cos 9) + LP (cos 9) + LQX (cos 9) Pv (cos 9) и Qv (cos 9) — функции Лежандра первого и второго родов.
(4.4)
го
0
Учитывая регулярность решения при 0 = 0, потребуем, чтобы Ц = L3 = 0 и подставим представление
F (р, а) = ра ((_2 (cos 9) + ЦРХ (cos 9))
в формулы (4.1), выражающие смещения через функцию F (р, 9). Потребуем выполнения краевых условий (1.2), откуда получим систему однородных уравнений относительно неизвестных постоянных L0, L2
X (X + к) Рх (cos ю) Ц2 + (X + Хк + 2 (1 - ц)) РХ-2 (cos ю) L0 = 0
Px (cos ю) L2 + Px-2 (cos ю) Ц = 0
Для того чтобы система (4.5) имела нетривиальное решение, определитель системы должен равняться нулю:
X(X + к) Рх'_2 (cos ю) Рх (cos ю) - (X + Хк + 2(1 - ц)) РХ (cos ю) Px_2 (cos ю) = 0
Решив это уравнение численно с помощью математического пакета MAPLE, из его корней выбираем тот, что дает наиболее сильную особенность для смещений — Таким образом, порядок особенности смещений выявлен:
u (р, ю) ~ ра^1 (9), V (р, ю) ~ pa*(X* + K)q2 (9), а = X* -1
qi (9) = X*(X* + k)L2Px* (cos 9) + (X* + X*x + 2(1 - ц))ЦД*_2 (cos 9) (4.6)
q2 (9) = LPxi (cos 9) + LcPX*_2 (cos 9)
Неизвестная функция представляет собой производную от смещений х (р) = u' (р, ю). Чтобы выяснить порядок ее особенности, учтем формулы
u • (р, Щ) = P^lM , Tr0 (р, 0) = G .[р Г+ (4.7)
Учтем, что при 0 = ю первое слагаемое в фигурных скобках во втором соотношении (4.7) обращается в нуль за счет краевых условий (1.2). Подставим представления (4.6) во второе равенство (4.7) и получим поря
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.