научная статья по теме ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ ИЗОТРОПНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПРИ ЛОКАЛЬНОМ НЕСТАЦИОНАРНОМ НАГРЕВЕ ВНЕШНЕЙ СРЕДОЙ Физика

Текст научной статьи на тему «ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ ИЗОТРОПНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПРИ ЛОКАЛЬНОМ НЕСТАЦИОНАРНОМ НАГРЕВЕ ВНЕШНЕЙ СРЕДОЙ»

ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2010, том 48, № 4, с. 612-616

УДК 536.2

ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ ИЗОТРОПНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПРИ ЛОКАЛЬНОМ НЕСТАЦИОНАРНОМ НАГРЕВЕ ВНЕШНЕЙ СРЕДОЙ

© 2010 г. А. В. Аттетков, И. К. Волков, Е. С. Тверская

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана Поступила в редакцию 19.03.2009 г.

Методами математического моделирования исследованы особенности процесса формирования температурного поля в изотропном полупространстве при его нестационарном нагреве внешней средой через круговое пятно контакта переменного радиуса.

ВВЕДЕНИЕ

на границе которого

Интерес к исследованиям специфических особенностей процессов формирования температурного поля в твердых телах, подверженных локальному нагреву внешней средой, обусловлен развитием одного из практически важных направлений математической теории теплопроводности [1—3], связанным с разработкой перспективных средств теплозащиты конструкций [4—7]. При этом в общем случае предполагают, что в зоне контакта "конструкция—внешняя среда" значение коэффициента теплоотдачи зависит от времени, т.е. реализуются нестационарные режимы теплообмена с внешней средой [8, 9]. Трудности, возникающие при проведении параметрического анализа процессов формирования температурного поля в твердых телах в нестационарных режимах теплообмена с внешней средой, хорошо известны [3, 8—10]. Они еще более усугубляются при необходимости учета анизотропии свойств твердого тела [11—15], особенно в ситуациях временного изменения зоны локального теплообмена с внешней средой [16].

Основная цель проведенных исследований — построение в аналитически замкнутом виде решения двухмерной осесимметричной задачи теплопроводности для изотропного полупространства при его нестационарном нагреве внешней средой через круговое пятно контакта переменного радиуса.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассматривается изотропное полупространство (рис. 1)

О = {(р, ф, Z)е Я3: ре [0, +да), фе [0,2л;), Z > 0},

Г О = {(р, ф, Z)е Я3: ре [0, +да), фе [0,2п), Z = 0 в круговой области

g = {(р,ф, Z)е Я3: ре [0, Я (Ее)), фе [0,2п),Z = 0} сГО

реализуется нестационарный режим теплообмена с внешней средой В1=В1 (Ее). При этом предполагается:

1) радиус Я (Ее) пятна контакта g изменяется во времени и является ограниченной величиной;

2) граница ГО полупространства О вне области g теплообмена с внешней средой является теплоизолированной.

При сделанных предположениях математическая модель изучаемого процесса формирования температурного поля в изотропном полупространстве может быть представлена в следующем виде:

В1(Ее) 9с(Ее)

Рис. 1. Используемая расчетная схема.

de

dFo

:1 д PdP

se

д 2e

dp; dZ

e(p, z,fO)|fo=o = 0;

p> 0, Fo > 0, Z > 0;

de(p, Z,Fo)

dZ

= h(p,Fo)[(p,Z,Fo)z=0 -ec(Fo)]; Ш

Z=0

h(p,Fo) = Bi(Fo)[ri(p) -n(p -R)]; R = R(Fo);

0(p,Z,Fo)|fo>o g L2[0, +да),

p>0

где последнее условие — требование интегрируемости с квадратом функции 0 (р, Z,Fo) по переменному Z е [0,+да) при любых фиксированных значениях р> 0 и Fo > 0. Функции h(p,Fo) и 0c (Fo) по смыслу решаемой задачи являются неотрицательными и удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности [17] решения задачи (1). Функция 0(р, Z,Fo) как функция р является оригиналом интегрального преобразования Ганкеля нулевого порядка [2], что предполагает реализацию физически очевидных условий симметрии

lim pdQ(P,Z,Fo) = 0 = lim pdQ(P,Z,Fo),

p^+o dp dp

опущенных в математической модели (1);

r р = —; z* Z 43 и Fo _ at, _ 2' Z* 0_ T - T0 Tc0 T0

0c = T c Tc0 - T0. - T0' Bi az*; R _ z*

Следует заметить, что условия, накладываемые на функцию к(р,Бо), не являются жесткими и соответствуют реально существующим условиям теплообмена с внешней средой [3, 8—10]; поиск решения задачи (1) аналитическими методами связан с преодолением трудностей принципиального характера, возникающих при решении задач нестационарной теплопроводности данного класса и обусловленных в основном временным изменением условий теплообмена в процессе высокотемпературного нагрева полупространства [3, 8-10].

МЕТОД РЕШЕНИЯ

Для нахождения решения задачи (1) в аналитически замкнутом виде воспользуемся сингулярным интегральным преобразованием с параметром 8 по переменному ^[18]:

и (р, 5, Бо) = Ф[0 (р, ^ Бо)] =

= Jö (р, Z,Fo)K (р, Z, s,Fo)dZ,

(2)

0 (р, Z,Fo) = Ф(р, s,Fo)] =

да

■Л \и(р,s,Fo)K(р,Z,s,Fo) П J

s 2ds

(3)

s2 + h1 ^Fo)'

где

K (p, Z, s,Fo) = cos (sZ) + s Л(p,Fo)sin (sZ). (4)

Ядро K (p, Z, s ,Fo) интегрального преобразования (2)—(4) зависит от Fo, что не позволяет непосредственно использовать это преобразование для поиска решения задачи (1), поскольку

~d0(p, Z,Fo)~ _ dFo _ Для преодоления возникших трудностей воспользуемся известной идеей [8, 9] расщепления ядра сингулярного интегрального преобразования. Для ее практической реализации введем обозначения

Ф

Z,Fo)

A (р, s,Fo) = J© (р, Z,Fo)exp(sZ )dZ,

(5)

ю(р, 5,Бо) = 1 - ¡5 к (р,Бо).

Изображение и(р,5,Бо) сингулярного интегрального преобразования (2)-(4) представим в виде

и (р, 5,Бо) = Яе{ю(р, 5 ,Бо) А (р, 5, Бо)}. (6)

Таким образом, согласно (4)-(6), решение исходной задачи (1) найдено, если известна функция А (р, 5, Бо).

Используемая процедура расщепления ядра сингулярного интегрального преобразования (2)-(4) позволяет свести задачу (1) к задаче Коши

дА

Re <¡®(p,s ,Fo)

öFo

1 _d|pdA pdpl dp.

+ s2 A

(7)

= к(р,Бо)0с(Бо), р> 0, Бо > 0;

А ( 5, Бо)Рс=о =

Здесь функция А (р, 5, Бо) как функция р при любых фиксированных значениях Бо > 0 и 5 е Я является оригиналом интегрального преобразования Ганкеля нулевого порядка [2]. При этом можно утверждать [8, 9], что в силу вещественности функций к(р,Бо) и 0С (Бо) задача (7) является частным случаем задачи Коши

ю(р, s,Fo)

дА - Шр^ | + s2a _5Fo др,

= к(р,Бо)0с(Бо), р> 0, Бо > 0;

А (P, 5,Ро)Ро=0 = 0.

Как следствие, любое ее решение является решением задачи (7).

0

0

614

АТТЕТКОВ и др.

Пусть далее

да

V(p,s,Fo) = Hо [A(p,s,Fo)] e= JA(p,s,Fo)p/0 (pp)dp;

да

f (p, s ,Fo) = J^(p;Fo)e; (F2o) ^(^p/ о (pp)dp 0 l®(p,s,Fo)l

(8)

— изображения интегрального преобразования Ганкеля нулевого порядка с параметром p [2]

функций А(р,5,Ее) и ю (р,s,Ее)(р,Ее) соответственно, ю(р, 5, Ее) — комплексно сопряженная по отношению к ю(р,5,Ее) функция.

С учетом известных результатов теории интегральных преобразований [1—3] можно показать, что изображение V (р, 5, Ее) интегрального преобразования Ганкеля (8) функции А (р, 5, Ее) является решением задачи Коши

Fo > 0;

dV = - (p2 + s 2)V + f (p, s,Fo), dFo v '

V ( s,Fo)Fo=0 = 0

Последнее имеет вид [19] V (p, s,Fo) =

Fo

= \f (p,s,^)exp[-p2(Fo - £)]Fo > 0.

(9)

Обратив интегральное преобразование Ганкеля [2], получим

A (р, s, Fo) = H0-1 [V (p, s, Fo)] =

да

= Jv (p, s, Fo) p/0 (pp)dp.

(10)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Сопоставление результатов расчетов температурных профилей границы rG изотропного полупространства G для различных вариантов зависимостей Bi=Bi(Fo) и R = R(Fo), проведенных как с использованием найденного представления решения исходной задачи (1) в аналитически замкнутом виде (3), (4), (11), так и с использованием различных численных методов, позволяет утверждать о корректности реализуемого подхода.

2. Если теплообмен с внешней средой, имеющей постоянную температуру 0c (Fo) = 1, происходит при постоянных коэффициенте теплоотдачи и радиусе пятна контакта, т.е. при Bi(Fo) = = Bi - const и R(Fo) = R - const, то с использованием равенств (3), (4), (11) и известных результатов [20] функцию 0Г (p,Fo) = 0(p,0,Fo) при ре [0, R] можно представить в следующем виде:

ег(p,Fo) = 2RBi JJ/(Rp)/0(pp)x

п J J

0 0

x - exp{-(p2 + s2)Fo}J x

(12)

s dsdp

pe [0,R], Fo > 0.

Решение исходной задачи (1) в изображениях сингулярного интегрального преобразования (2)— (4) формально следует из (6) с учетом (4), (8)—(10):

и (р, 5, Ее) =

( + s 2)(s2 + Bi2)

Таким образом, температура в любой точке пятна контакта g с ГG зависит от его радиуса R и интенсивности теплоотдачи, достигая своего максимального значения в центре пятна контакта, т.е. при р = 0. Кроме того, согласно (12)

3 lim 0Г(p,Fo) = 0,

R ^+0

что означает падение температуры 0Г (0, Fo) в наиболее нагретой точке пятна контакта при уменьшении его радиуса.

3. Согласно (12), на установившейся (Fo = ) стадии изучаемого процесса температурный профиль границы rG изотропного полупространства G в зоне пятна контакта с внешней средой определяется равенством

го Fo го 2

s2 + h2(р',0 h(P ^(^)X (11) ör(P, +») = RBi J/1 (Rp)/0(|pp)-+-> p e [0,R].(:L3)

00^ ^^ J p + Bi

X ехр {—р2 (Ее — } (Э' J0 (рр ')р10 (рр) йр 'й^йр,

р> 0, Ее > 0.

Для завершения проведенных исследований достаточно воспользоваться формулой (3) обращения изображения (11), где равенство

0(р,Z,Ее) = Ф(р,5,Ее)] понимается в смысле стандартной нормы пространства X2 [0, +да) при любых фиксированных значениях р > 0 и Ео > 0.

р + Б1

0

Воспользовавшись равенством (13) и свойствами функций Бесселя [20], находим функциональную зависимость установившейся температуры наиболее нагретой точки (р = 0) пятна контакта от его радиуса R и интенсивности теплоотдачи

0Г(0, +«>) = ЯБ^1 + (ЯБ^-1 - П[Н1 (ЯБ1) - У1 (ЯБ1)]}.

При этом следует обратить внимание на характер этой зависимости. Значение установившейся

0

0

0

ег (0, Бо) й(Бо)

Бо

Рис. 2. Зависимость безразмерной температуры 9Г (0,Бо) наиболее нагретой точки пятна контакта от числа Фурье при Б1(Бо) = 1 и Я (Бо) = ехр(-Бо).

ег (0, Бо)

Бо

Рис. 3. Зависимость безразмерной температуры 9Г (0,Бо) наиболее нагретой точки пятна контакта от числа Фурье при Б1(Бо) = 1 и Я (Бо) = = 2{1 + ехр (-Ро)}-1.

температуры наиболее нагретой точки пятна контакта полностью определено симплексом ЯБ1 — критерием конвективно-кондуктивного подобия, характеризующим соотношение термических сопротивлений на границе Ге изотропного полупространства в зоне g сГй его контакта с внешней средой. При бесконечно малых и бесконечно больших значениях этого симплекса имеют место следующие асимптотические оценки:

ег (0, +да) ~ №1

1 -

ЯБ1 ^ 0

->0;

\(0,+да) ~ 1--—

ЯБ1

ЯБ1

->1.

4. В общем слу

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком