ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2010, том 48, № 4, с. 612-616
УДК 536.2
ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ ИЗОТРОПНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПРИ ЛОКАЛЬНОМ НЕСТАЦИОНАРНОМ НАГРЕВЕ ВНЕШНЕЙ СРЕДОЙ
© 2010 г. А. В. Аттетков, И. К. Волков, Е. С. Тверская
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана Поступила в редакцию 19.03.2009 г.
Методами математического моделирования исследованы особенности процесса формирования температурного поля в изотропном полупространстве при его нестационарном нагреве внешней средой через круговое пятно контакта переменного радиуса.
ВВЕДЕНИЕ
на границе которого
Интерес к исследованиям специфических особенностей процессов формирования температурного поля в твердых телах, подверженных локальному нагреву внешней средой, обусловлен развитием одного из практически важных направлений математической теории теплопроводности [1—3], связанным с разработкой перспективных средств теплозащиты конструкций [4—7]. При этом в общем случае предполагают, что в зоне контакта "конструкция—внешняя среда" значение коэффициента теплоотдачи зависит от времени, т.е. реализуются нестационарные режимы теплообмена с внешней средой [8, 9]. Трудности, возникающие при проведении параметрического анализа процессов формирования температурного поля в твердых телах в нестационарных режимах теплообмена с внешней средой, хорошо известны [3, 8—10]. Они еще более усугубляются при необходимости учета анизотропии свойств твердого тела [11—15], особенно в ситуациях временного изменения зоны локального теплообмена с внешней средой [16].
Основная цель проведенных исследований — построение в аналитически замкнутом виде решения двухмерной осесимметричной задачи теплопроводности для изотропного полупространства при его нестационарном нагреве внешней средой через круговое пятно контакта переменного радиуса.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Рассматривается изотропное полупространство (рис. 1)
О = {(р, ф, Z)е Я3: ре [0, +да), фе [0,2л;), Z > 0},
Г О = {(р, ф, Z)е Я3: ре [0, +да), фе [0,2п), Z = 0 в круговой области
g = {(р,ф, Z)е Я3: ре [0, Я (Ее)), фе [0,2п),Z = 0} сГО
реализуется нестационарный режим теплообмена с внешней средой В1=В1 (Ее). При этом предполагается:
1) радиус Я (Ее) пятна контакта g изменяется во времени и является ограниченной величиной;
2) граница ГО полупространства О вне области g теплообмена с внешней средой является теплоизолированной.
При сделанных предположениях математическая модель изучаемого процесса формирования температурного поля в изотропном полупространстве может быть представлена в следующем виде:
В1(Ее) 9с(Ее)
Рис. 1. Используемая расчетная схема.
de
dFo
:1 д PdP
se
д 2e
dp; dZ
e(p, z,fO)|fo=o = 0;
p> 0, Fo > 0, Z > 0;
de(p, Z,Fo)
dZ
= h(p,Fo)[(p,Z,Fo)z=0 -ec(Fo)]; Ш
Z=0
h(p,Fo) = Bi(Fo)[ri(p) -n(p -R)]; R = R(Fo);
0(p,Z,Fo)|fo>o g L2[0, +да),
p>0
где последнее условие — требование интегрируемости с квадратом функции 0 (р, Z,Fo) по переменному Z е [0,+да) при любых фиксированных значениях р> 0 и Fo > 0. Функции h(p,Fo) и 0c (Fo) по смыслу решаемой задачи являются неотрицательными и удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности [17] решения задачи (1). Функция 0(р, Z,Fo) как функция р является оригиналом интегрального преобразования Ганкеля нулевого порядка [2], что предполагает реализацию физически очевидных условий симметрии
lim pdQ(P,Z,Fo) = 0 = lim pdQ(P,Z,Fo),
p^+o dp dp
опущенных в математической модели (1);
r р = —; z* Z 43 и Fo _ at, _ 2' Z* 0_ T - T0 Tc0 T0
0c = T c Tc0 - T0. - T0' Bi az*; R _ z*
Следует заметить, что условия, накладываемые на функцию к(р,Бо), не являются жесткими и соответствуют реально существующим условиям теплообмена с внешней средой [3, 8—10]; поиск решения задачи (1) аналитическими методами связан с преодолением трудностей принципиального характера, возникающих при решении задач нестационарной теплопроводности данного класса и обусловленных в основном временным изменением условий теплообмена в процессе высокотемпературного нагрева полупространства [3, 8-10].
МЕТОД РЕШЕНИЯ
Для нахождения решения задачи (1) в аналитически замкнутом виде воспользуемся сингулярным интегральным преобразованием с параметром 8 по переменному ^[18]:
и (р, 5, Бо) = Ф[0 (р, ^ Бо)] =
= Jö (р, Z,Fo)K (р, Z, s,Fo)dZ,
(2)
0 (р, Z,Fo) = Ф(р, s,Fo)] =
да
■Л \и(р,s,Fo)K(р,Z,s,Fo) П J
s 2ds
(3)
s2 + h1 ^Fo)'
где
K (p, Z, s,Fo) = cos (sZ) + s Л(p,Fo)sin (sZ). (4)
Ядро K (p, Z, s ,Fo) интегрального преобразования (2)—(4) зависит от Fo, что не позволяет непосредственно использовать это преобразование для поиска решения задачи (1), поскольку
~d0(p, Z,Fo)~ _ dFo _ Для преодоления возникших трудностей воспользуемся известной идеей [8, 9] расщепления ядра сингулярного интегрального преобразования. Для ее практической реализации введем обозначения
Ф
Z,Fo)
A (р, s,Fo) = J© (р, Z,Fo)exp(sZ )dZ,
(5)
ю(р, 5,Бо) = 1 - ¡5 к (р,Бо).
Изображение и(р,5,Бо) сингулярного интегрального преобразования (2)-(4) представим в виде
и (р, 5,Бо) = Яе{ю(р, 5 ,Бо) А (р, 5, Бо)}. (6)
Таким образом, согласно (4)-(6), решение исходной задачи (1) найдено, если известна функция А (р, 5, Бо).
Используемая процедура расщепления ядра сингулярного интегрального преобразования (2)-(4) позволяет свести задачу (1) к задаче Коши
дА
Re <¡®(p,s ,Fo)
öFo
1 _d|pdA pdpl dp.
+ s2 A
(7)
= к(р,Бо)0с(Бо), р> 0, Бо > 0;
А ( 5, Бо)Рс=о =
Здесь функция А (р, 5, Бо) как функция р при любых фиксированных значениях Бо > 0 и 5 е Я является оригиналом интегрального преобразования Ганкеля нулевого порядка [2]. При этом можно утверждать [8, 9], что в силу вещественности функций к(р,Бо) и 0С (Бо) задача (7) является частным случаем задачи Коши
ю(р, s,Fo)
дА - Шр^ | + s2a _5Fo др,
= к(р,Бо)0с(Бо), р> 0, Бо > 0;
А (P, 5,Ро)Ро=0 = 0.
Как следствие, любое ее решение является решением задачи (7).
0
0
614
АТТЕТКОВ и др.
Пусть далее
да
V(p,s,Fo) = Hо [A(p,s,Fo)] e= JA(p,s,Fo)p/0 (pp)dp;
да
f (p, s ,Fo) = J^(p;Fo)e; (F2o) ^(^p/ о (pp)dp 0 l®(p,s,Fo)l
(8)
— изображения интегрального преобразования Ганкеля нулевого порядка с параметром p [2]
функций А(р,5,Ее) и ю (р,s,Ее)(р,Ее) соответственно, ю(р, 5, Ее) — комплексно сопряженная по отношению к ю(р,5,Ее) функция.
С учетом известных результатов теории интегральных преобразований [1—3] можно показать, что изображение V (р, 5, Ее) интегрального преобразования Ганкеля (8) функции А (р, 5, Ее) является решением задачи Коши
Fo > 0;
dV = - (p2 + s 2)V + f (p, s,Fo), dFo v '
V ( s,Fo)Fo=0 = 0
Последнее имеет вид [19] V (p, s,Fo) =
Fo
= \f (p,s,^)exp[-p2(Fo - £)]Fo > 0.
(9)
Обратив интегральное преобразование Ганкеля [2], получим
A (р, s, Fo) = H0-1 [V (p, s, Fo)] =
да
= Jv (p, s, Fo) p/0 (pp)dp.
(10)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. Сопоставление результатов расчетов температурных профилей границы rG изотропного полупространства G для различных вариантов зависимостей Bi=Bi(Fo) и R = R(Fo), проведенных как с использованием найденного представления решения исходной задачи (1) в аналитически замкнутом виде (3), (4), (11), так и с использованием различных численных методов, позволяет утверждать о корректности реализуемого подхода.
2. Если теплообмен с внешней средой, имеющей постоянную температуру 0c (Fo) = 1, происходит при постоянных коэффициенте теплоотдачи и радиусе пятна контакта, т.е. при Bi(Fo) = = Bi - const и R(Fo) = R - const, то с использованием равенств (3), (4), (11) и известных результатов [20] функцию 0Г (p,Fo) = 0(p,0,Fo) при ре [0, R] можно представить в следующем виде:
ег(p,Fo) = 2RBi JJ/(Rp)/0(pp)x
п J J
0 0
x - exp{-(p2 + s2)Fo}J x
(12)
s dsdp
pe [0,R], Fo > 0.
Решение исходной задачи (1) в изображениях сингулярного интегрального преобразования (2)— (4) формально следует из (6) с учетом (4), (8)—(10):
и (р, 5, Ее) =
( + s 2)(s2 + Bi2)
Таким образом, температура в любой точке пятна контакта g с ГG зависит от его радиуса R и интенсивности теплоотдачи, достигая своего максимального значения в центре пятна контакта, т.е. при р = 0. Кроме того, согласно (12)
3 lim 0Г(p,Fo) = 0,
R ^+0
что означает падение температуры 0Г (0, Fo) в наиболее нагретой точке пятна контакта при уменьшении его радиуса.
3. Согласно (12), на установившейся (Fo = ) стадии изучаемого процесса температурный профиль границы rG изотропного полупространства G в зоне пятна контакта с внешней средой определяется равенством
го Fo го 2
s2 + h2(р',0 h(P ^(^)X (11) ör(P, +») = RBi J/1 (Rp)/0(|pp)-+-> p e [0,R].(:L3)
00^ ^^ J p + Bi
X ехр {—р2 (Ее — } (Э' J0 (рр ')р10 (рр) йр 'й^йр,
р> 0, Ее > 0.
Для завершения проведенных исследований достаточно воспользоваться формулой (3) обращения изображения (11), где равенство
0(р,Z,Ее) = Ф(р,5,Ее)] понимается в смысле стандартной нормы пространства X2 [0, +да) при любых фиксированных значениях р > 0 и Ео > 0.
р + Б1
0
Воспользовавшись равенством (13) и свойствами функций Бесселя [20], находим функциональную зависимость установившейся температуры наиболее нагретой точки (р = 0) пятна контакта от его радиуса R и интенсивности теплоотдачи
0Г(0, +«>) = ЯБ^1 + (ЯБ^-1 - П[Н1 (ЯБ1) - У1 (ЯБ1)]}.
При этом следует обратить внимание на характер этой зависимости. Значение установившейся
0
0
0
ег (0, Бо) й(Бо)
Бо
Рис. 2. Зависимость безразмерной температуры 9Г (0,Бо) наиболее нагретой точки пятна контакта от числа Фурье при Б1(Бо) = 1 и Я (Бо) = ехр(-Бо).
ег (0, Бо)
Бо
Рис. 3. Зависимость безразмерной температуры 9Г (0,Бо) наиболее нагретой точки пятна контакта от числа Фурье при Б1(Бо) = 1 и Я (Бо) = = 2{1 + ехр (-Ро)}-1.
температуры наиболее нагретой точки пятна контакта полностью определено симплексом ЯБ1 — критерием конвективно-кондуктивного подобия, характеризующим соотношение термических сопротивлений на границе Ге изотропного полупространства в зоне g сГй его контакта с внешней средой. При бесконечно малых и бесконечно больших значениях этого симплекса имеют место следующие асимптотические оценки:
ег (0, +да) ~ №1
1 -
ЯБ1 ^ 0
->0;
\(0,+да) ~ 1--—
ЯБ1
ЯБ1
->1.
4. В общем слу
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.