ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
Том 76. Вып. 1, 2012
УДК 539.3
© 2012 г. В. М. Александров
ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРЕДНАПРЯЖЕННОГО НЕСЖИМАЕМОГО УПРУГОГО СЛОЯ
Рассматриваются две осесимметричные задачи о вдавливании без трения круглого штампа в верхнюю грань слоя при наличии в слое однородного поля начальных напряжений. Используется модель изотропного несжимаемого нелинейно-упругого материала, задаваемого потенциалом Муни. Исследуются два случая: когда нижняя грань слоя после его преднапряжения жестко защемлена, и когда нижняя грань слоя после его преднапряжения оперта о жесткое основание без трения. Считается, что дополнительные напряжения от действия на слой штампа малы по сравнению с начальными; это позволяет линеаризовать задачу по определению дополнительных напряжений. В дальнейшем задачи сводятся к решению интегральных уравнений первого рода с симметричными нерегулярными ядрами относительно давления в области контакта. Методом ортогональных многочленов построены приближенные решения интегральных уравнений для больших значений параметра, характеризующего относительную толщину слоя. В качестве примера рассмотрен случай штампа с плоским основанием.
Пространственная контактная задача для предварительно напряженной среды с потенциалом Муни для полупространства впервые рассматривалась Л.М. Филипповой [1].
1. Постановка задач. Рассмотрим слой толщины к из изотропного несжимаемого нелинейно-упругого материала Муни. Слой находится в однородном напряженном состоянии, создаваемом растягивающими силами, приложенными на бесконечности. Выберем цилиндрическую систему координат Огфг таким образом, чтобы ось % была перпендикулярна поверхности слоя. Тогда компоненты тензора напряжений в начальном состоянии имеют вид
Далее будем считать, что после предварительной большой дефомации нижняя грань слоя % = 0 жестко защемлена (задача А) или оперта на жесткое основание без трения (задача Б), а в верхнюю грань слоя % = Н вдавливается осесимметричный жесткий штамп центрально приложенной силой Р. Область контакта штампа со слоем определена неравенствами 0 < г < а, 0 < ф < 2п.
Предполагаем, что вызванные воздействием штампа возмущения деформаций и напряжений относительно малы. Это позволяет линеаризовать задачи по определению дополнительных напряжений и перемещений на фоне основного напряженно-деформированного состояния.
В результате линеаризации уравнений нелинейной теории упругости получим выражения для нужных в дальнейшем дополнительных напряжений
(1.1)
(1.2)
а также уравнения Ламе и уравнение несжимаемости
м[
д 2и + 1 ди _ и + д2и | _ 5 д_
кдг2 г дг г2 дг2 "
дг
1 ^ (ги)
_г дг
+ дз* = о
дг
д1 дм + д| _ 5 д
дг2 г дг дг2
дг
1 д С™)
.г дг
+ дз* = о дг
(1.3)
ди + и + дж = о
дг
дг
Здесь ^ — модуль сдвига, q* — дополнительное гидростатическое давление, и и ы дополнительные перемещения вдоль осей г и г. Граничные условия задач имеют вид
г = к: тгг = 0, аг = 0 при г > а ы = -8(г) = —8 - /(г)] при г < а
г = 0: и = ы = 0 для задачи А г = 0: тгг = ы = 0 для задачи Б
(1.4)
(1.5)
(1.6)
Здесь 5 — величина погружения штампа в слой, функция /(г) задает поверхность штампа.
2. Сведение задач к решению интегрального уравнения. Рассмотрим сначала вспомогательные задачи А и Б с граничными условиями
г = к: т гг = 0, с г = -д(г)
(2.1)
Условия (1.5) и (1.6) сохраняются.
Применим к уравнениям (1.3) интегральное преобразование Ганкеля: будем искать функции и, ы и д* в виде
и(г, г) = | и (а, г^а г)а йа, ы(г, г) = | Ж(а, г)1 0(а г)а йа
0 0 да
д*(г, г) = | б*(а, г)10(а г )а й а
(2.2)
I п(х) — функция Бесселя. Подставляя выражения (2.2) в систему (1.3), для определения трансформант Ганкеля и (а, г), Ж (а, г) и б*(а, г) получим уравнения
ц \д2иг - а2и | + 5а2и - аб* = 0
кдг2
Ж-а 2ж 1-+ = 0
дг2
дг дг
(2.3)
дЖ
дг
+ аи = 0
0
Можно показать, что общее решение системы (2.3) нужно искать в виде
и = ад, ж = /2 (%), е* = ад
/(г) = (с, + агй, )еаг + (в, + а%£ )е-аг, , = 1,2,3, '
где с,, йь вI и /, — функции от а, подлежащие определению.
Удовлетворяя с помощью соотношений (2.4) уравнениям (2.3) и граничным условиям (1.5), (2.1), записанным в трансформантах Ганкеля, найдем с,, й,, в,, /¡, получим
„,, 0(а)^а НеИа Н -а Н) . ,, .ч
Ж (а, Н) =--4 '2-—-для задачи А (2.5)
а[2ц(сИ аН + а Н ) - а Н я]
Аналогично получим
пп /\ 0(а)(сЬ2аН -1) „ ,
Ж(а, Н) =----- для задачи Б (2.6)
а[2ц^аН^аН + аН) - аНя]
от
е(а) = | ?(р)То(ар)р йр (2.7)
о
Удовлетворяя, наконец, с помощью соотношений (2.5—(2.7) граничным условиям основных задач (1.4), получим следующее интегральное уравнение (ИУ) относительно
контактного давления q(г) (0 < г < а):
а »
|q(р)K г) рйр = 2цН8(г), 0 < г < а; Х(а, т) = |Дм)10(см)10(тм)йм (2.8)
0 0
\ 8И2м - 2м . Дм) =-2-- для задачи А
сИ2м + 2м + 1 - м я'
т, . сИ2м -1 г Дм) =- для задачи Б
8И2м + 2м - мУ
Переменная г изменяется от 0 до а, 5' = 5/(2ц) (штрих далее опускаем). Для обеих задач функция Х(м) удовлетворяет условию
Дм) = 1 + 0(е-2м), м ^ да (2.9)
3. Метод ортогональных многочленов. ИУ первого рода (2.8) могут быть сведены [2, 3] к следующему ИУ второго рода с разностным ядром:
а "
р(х) - — [ р(^)М= 2^(х),|х|< а; М(у) = [[1 - Х(м)]со8муйм (3.1)
пН j \ н ! :
-а 0
Функции р(х) и g(x) — четные и связаны с функциями q(r) и 8(г) соотношениями
|х|
q(г) = 2
п
р(а) ГР'(1) й 1
- 1
, g(x) = 5(0) + |х|{ ^ШР (3.2)
0 Vх -р
Будем искать решение ИУ (3.1) в виде ряда по четным полиномам Лежандра, а именно:
Р(х) = X а,Р2, (х) (3.3)
,=0 1а/
Подставляя ряд (3.3) в ИУ (3.1), умножая почленно на Р2(х/а) йх и интегрируя затем от —a до a, при учете известного [4] условия ортогональности полиномов Лежандра получим
акЕ а^к (X) = Ьк, к = 0,1,... (3.4)
4к + 1 пХ* .
I=0
е-к(^) = | Р2к(х) йх | Р2;.(^)Ж () й ^ (3.5)
-1 -1
а
Ьк = 2Н | ё(х)Р2к ()йх, X1 (3.6)
а \а/ а
-а
Относительно системы (3.4) справедливо следующее утверждение. Теорема. Если функция 8(г) такова, что ее первая производная в круге 0 < г < а удовлетворяет условию Гёльдера с показателем а > 0, а функция Ды) обладает свойством (2.9), то бесконечная алгебраическая система (3.4)—(3.6) кразивполне регулярна при всех значениях А > 0 и существует такое X* е (0, да), что при X > X* она вполне регулярна.
Для приближенного решения системы (3.4) можно воспользоваться методом редукции [5].
Подставляя выражение для М(у) (3.1) в уравнение (3.5) и принимая во внимание известное соотношение ([6], формула 2.17.7(1))
И ЬхР2,х, - = нф,.1,(Ь)
-1
представим коэффициенты ек(Х) в виде однократных интегралов:
да
вк(Х) = 2лХ(-1)г+к |[1 - Ды)]12+1/2 (( /2к+1/2 (3.7)
0
что чрезвычайно важно при практическом использовании метода.
Подставляя ряд (3.3) в первое равенство (3.2) и учитывая известные соотношения ([4], формула 8.915(2) и [7], формула 9.8, с. 302)
п—1
Рр2п (х) = £ (4п - 4к - 1)р2п—2к—1(х)
к=0
1 п _
(2п +1)!! 2п+и ; получим соотношение
г-1 II 2
9(г) = 2 ^ а ) 1 - 1 ^ ( 1)1-ш-1(41 - 4т -1)(21 - 2т - 2)!! 1
п- \4аГ-72 ат=0 (2' - 2т - 1)!!
1 - ^ а
(3.8)
позволяющее получить приближенное выражение для контактного давления как только найдено приближенное решение бесконечной алгебраической системы (3.4)—(3.6).
X 5 = 0 1/2 1 3/2 2 5 = 0 1/2 1 3/2 2
2 4 8 16.77 11.00 9.297 16.00 10.82 9.230 Задача А 15.23 10.63 9.156 14.47 10.42 9.075 13.71 10.20 8.985 12.25 9.776 8.814 11.78 9.614 8.745 Задача Б 11.28 9.432 8.667 10.74 9.224 8.576 10.15 8.979 8.465
Обычно для практических целей можно редуцировать указанную систему до трех-пя-ти уравнений.
Если радиус a области контакта неизвестен, то для его определения используется дополнительное условие q(a) = 0, которое, как видно из соотношения (3.8), представи-мо в форме
X ai = 0 (3.9)
i=0
Для интегральной характеристики решения
a
P = 2nj q(p)p dp (3.10)
о
определяющей зависимость между вдавливающей штамп силой и его осадкой, из соотношения (3.8) и условия ортогональности полиномов Лежандра получим
P = 2aa0 (3.11)
В качестве примера рассмотрим случай действия на слой круглого штампа с плоским основанием 8(r) = 8. Ограничимся при редуцировании бесконечной системы (3.4)-(3.6) четырьмя уравнениями. При этом интегральная характеристика (3.10) при X > 2 определяется с четырьмя значащими цифрами. В таблице дана величина P/(ap.5) для задач А и Б, найденная по формуле (3.10).
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (08-01-00003, 08-08-90033-Бел, 09-08-01141, 09-01-00004).
ЛИТЕРАТУРА
1. Филиппова Л.М. Пространственная контактная задача для предварительно напряженного упругого тела // ПММ. 1978. Т. 42. Вып. 6. С. 1080-1084.
2. Александров В.М., Клиндухов В.В. Новый вариант метода ортогональных многочленов для осесимметричных контактных задач // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1998. № 4. С. 66-68.
3. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1967. 402 с.
4. Александров В.М. Асимптотические методы в задачах механики сплошной среды со смешанными граничными условиями // ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 2. С. 102-108.
5. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физ-матлит, 1963. 1100 с.
6. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Л.; М.: Гостехиздат, 1949. 695 с.
7. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. 750 с.
8. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. 342 с.
Москва
Поступила в редакцию 29.IV.2010
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.