научная статья по теме ОСЛАБЛЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА СИСТЕМОЙ ХАОТИЧЕСКИ ОРИЕНТИРОВАННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЧАСТИЦ: АНАЛИТИЧЕСКОЕ УСРЕДНЕНИЕ В МОДИФИЦИРОВАННОМ МЕТОДЕ Г-МАТРИЦ Физика

Текст научной статьи на тему «ОСЛАБЛЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА СИСТЕМОЙ ХАОТИЧЕСКИ ОРИЕНТИРОВАННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЧАСТИЦ: АНАЛИТИЧЕСКОЕ УСРЕДНЕНИЕ В МОДИФИЦИРОВАННОМ МЕТОДЕ Г-МАТРИЦ»

ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2004, том 97, № 2, с. 299-305

ФИЗИЧЕСКАЯ И КВАНТОВАЯ ОПТИКА

УДК 535.36

ОСЛАБЛЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ СВЕТА СИСТЕМОЙ ХАОТИЧЕСКИ ОРИЕНТИРОВАННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЧАСТИЦ: АНАЛИТИЧЕСКОЕ УСРЕДНЕНИЕ В МОДИФИЦИРОВАННОМ МЕТОДЕ Г-МАТРИЦ

© 2004 г. В. Г. Фарафонов*, М. С. Прокопьева**, В. Б. Ильин**

*Государственный университет аэрокосмического приборостроения, 190000 Санкт-Петербург, Россия **Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 10.11.2003 г.

В окончательной редакции 23.01.2004 г.

Процедура аналитического усреднения сечений ослабления и рассеяния для систем хаотически ориентированных осесимметричных частиц впервые развита в рамках модифицированного метода Г-матриц и метода разделения переменных для сфероидов. Эти подходы существенно дополняют друг друга: один применим к осесимметричным рассеивателям разной формы, но неэффективен в случае частиц с отношением наибольшего размера к наименьшему, большим 3-5, другой - эффективно применим только к сфеоидам, но отношение их большой полуоси к малой может быть значительным, например 100 и более.

ВВЕДЕНИЕ

Решение многих задач в астрофизике, оптике атмосферы и океана, биофизике, оптике коллоидных растворов и т.д. требует расчета оптических характеристик ансамблей несферических пылевых частиц. В большинстве случае эти рассеи-ватели не ориентированы, а их размер сравним или превосходит длину волны падающего излучения. Необходимость численного усреднения этих характеристик по всем ориентациям частицы не позволяет широко применять такие универсальные методы теории рассеяния света, как метод связанных диполей, метод конечных разностей и т.д., поскольку обратной стороной универсальности методов являются большие затраты компьютерного времени даже при расчете рассеяния света частицей с одной фиксированной ориентации. Для рассеивателей нескольких простых форм два метода - метод разделения переменных и метод Г-матриц - способны учитывать геометрию рассеяния достаточно хорошо и поэтому оказываются на несколько порядков точнее и быстрее остальных методов.

Большим достоинством метода Г-матриц является также возможность аналитического усреднения характеристик излучения, рассеянного системой хаотически ориентированных частиц. Впервые этот вопрос обсуждался в статье [1], решен же он был в работах [2, 3]. Подобная процедура, однако, проводилась только в рамках стандартной версии метода Г-матриц (более детально см. [4]). Более того, для иных методов расчета рассеяния света аналитическое усреднение также

не делалось. В работе [5] методом разделения переменных для сфероидов была получена Г-матри-ца, но затем она была переведена в Г-матрицу, возникающую в одноименном методе, и аналитическое усреднение выполнялось именно для последней по стандартным формулам.

Трудности в применении метода Г-матриц к частицам, сильно отличающимся по форме от шаров, хорошо известны. Для преодоления этих затруднений были разработаны различные версии данного подхода (см. обзор в монографии [4]). Одной из них был наш вариант, базирующийся на разбиении полей на осесимметричные и неосе-симметричные части с последующим применением специальных скалярных потенциалов для каждой из них. Такой подход был реализован с использованием в качестве базисных как волновых сферических, так и сфероидальных функций [6]. Во втором случае наша модификация практически аналогична1 предложенной ранее версии метода разделения переменных [7], которая нашла широкое применение при расчетах оптических свойств сильно вытянутых и сильно сплюснутых рассеивателей в разных областях приложений теории рассеяния: астрономии, физике атмосферы, радиофизике и др. Ниже мы развиваем процедуры аналитического усреднения сечений для хаотически ориентированных частиц в рамках модифицированного метода Г-матриц и метода разделения переменных для сфероидов, представленного как версия модифицированного метода Г-матриц в сфероидальной системе координат.

1 См. подробнее [6].

Подобное развитие методов существенно расширяет возможности их применения при моделировании оптических свойств ансамблей реальных частиц. Например, в космосе и атмосфере Земли мы имеем дело в основном со слабо ориентированными несферическими пылинками.

(0),( 1)

(0),( 1)

= XX

(0),(1) ^ml

--b (0),(1)

= 11 = m" ml

),(1)( k1 r) Pm (cos 6) cos тф,

ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Пусть плоская электромагнитная волна падает на систему хаотически ориентированных осесим-метричных частиц. Поверхность каждой частицы описывается уравнением

r = r (6),

(1)

A N

E (г) = E A( г) + E N (г),

AN

H (г) = HA (г) + HN (г).

(2)

a) TE-мода (Ef = Ef = 0),

p = Eфcosф, E = V x( Uiz + Уг),

AA

6) TM-мода (Hf = Hf = 0),

q = H ф cos ф, H = V x( U iz + Уг).

(3)

(4)

где уi(0) (kir) = ji(kir) и у(1) (kir) = h((kir) - сферические функции Бесселя и Ганкеля 1-го рода,

Pm (cos 6) - присоединенные функции Лежандра 1-го рода, k1 - волновое число вне частицы.

Коэффициенты разложения для падающей волны ТЕ-типа имеют вид

где (г, б, ф) - сферическая система координат, связанная с отдельной частицей.

Мы разбиваем электромагнитые поля на две части - осесимметричную, которая не зависит от азимутального угла ф, и неосесимметричную, усреднение которой по этому углу равно нулю,

,(0)

ai

.i 2l +11 ч , (0) n ,п, = -11( I + 1 )Pi (cos a), bi =0, (7)

l-2

(0) i 2(2i +1)(i - m)' m, , ,(0) n ,оч

ami =—- . . .„ „ тп—^Pi (cos a), bm/= 0,(8)

k0^1sina (i + m)

Скалярные потенциалы вводятся следующим образом [8]:

где a - угол между направлением распространения плоской волны и осью вращения частицы. В случае волны TM-типа

a(0) = 0, b(0) = P1( cos a), (9)

А/Ц1 1(1 + 1)

а коэффициенты ami, bmi не меняются (далее для простоты полагаем е1 = 1, = 1, k1 = k0).

Для рассеянного излучения коэффициенты определяются из бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ). Например, в случае ТЕ-моды имеем

а) осесимметричная часть (a(i) = { a(')}/ = 1, i = 0, 1, 2) -

Здесь ось г декартовой системы (х, у, г) совпадает с осью вращения частицы, г - радиус-вектор, магнитное поле для ТЕ-моды и магнитное для ТМ-моды находятся из уравнений Максвелла.

A, а(2) = -а'

(0)

V2) = а( 4,

(10)

б) неосесимметричная часть (am = { ami }i =

(bm) = {bmi }Г= m, i=0, 1, 2) -

Модифицированный метод Т-матриц при использовании сферических волновых функций

Для падающего и рассеянного излучений (отмечаются индексами 0 и 1 соответственно) потенциалы представляются в виде разложений по волновым сферическим функциям:

p

(0),(1)

= X a ¥i(0)'(1)(k1 r)p1(cos6)cosф, (5)

(0), (1) 0),(1) q l = 1bl

(0),(1)

(m),. „(2)

A21 k 1 a;

,( m), (2)

m + R21 bm = -k1a)

(0)

A2 m) k1am2) = Bm' b

m

(m), (2)

= 0,

A (m) k a (2) + R(m) b (2) = k a (1)

A11 k1am + R11 bm = k1am ,

|( m), „( 2)

(m), (2)

A12 k 1 a„ + R17 b^ = b

.(1)

(11)

(12)

где т = 1, 2, ..., а матричные элементы представляют собой интегралы от произведений волновых сферических функций и их производных и приведены в работах [8, 9]. В случае ТМ-моды формулы аналогичные.

m

m

Выражения для сечений ослабления и рассеяния имеют вид (ТМ-мода) [8]

С = - Ие

к!

X-г ~'ь(1) р]( ео8 а) -

л - 1

: 1 ' = Г

X X г-1 -1)| к 1 ат Рт(ео8а) +

+

(1)йР1 (ео8а)Л .

гЬт, —;- 81па

т йео8а )

С -l.lv Ь(1)24 '( ' + 1)

Сяеа - к2 Iх 1 2 ' + 1

к 1 ^'-1

+

„ •(" - ')Г7 2 (1) (1) * (т)

+ ИеXXX 1 [к1 ат1^тп +

т-1'-тп-т

7,(1Ь (1)* (т) , (1),(1)* (т), + г ( Ьт1к1атп К'п - к 1 ат1Ьтп Кп1 ) +

(13)

(14)

т

Г? Г ?

1, т 3,т

г? Г?

у 2, т 4, т )

(17)

(т) 0(т)

11

51

.(т) „(т) а12 512

. (т) „(т)

а21 521 . (т) „(т)

а22 5 22

Элементы матриц ГА, Гт выражаются через интегралы от произведений волновых сферических функций и их производных и не зависят от ориентации частицы относительно падающего излучения в отличие от коэффициентов падающей волны, стоящих в правых частях соотноше-

N N

ний (10), (11). Отметим, что матрицы Г3, т , Г4, т в

7 (0) „

дальнейшем не используются, поскольку Ь1т = 0 (см. формулу (8)).

Сечения эффективности для систем хаотически ориентированных осесимметричных частиц можно вычислить по формуле

+ Ь (1) Ь (1) *Т(т)1 I

+ Ьт1 Ьтп 'п 1 Г,

п

< С) - 11С (а) 81п а йа.

(18)

где С(а) - сечение отдельного рассеивателя, ось где юг(пт), К;0, т(пт) - интегралы от произведений вращения которого образует угол а с направле-

присоединенных функций Лежандра и их производных (даны в работе [8]). Для ТЕ-моды выражения аналогичны после замены Ь1 на а1.

Если рассматривается рассеяние излучения одной частицей, то можно сначала решить усеченные системы (10)-(12), а затем вычислить факторы эффективности ослабления и рассеяния по формулам (13), (14). При рассмотрении системы хаотически ориентированных частиц целесообразно использовать Г-матрицы, которые связывают коэффициенты разложений потенциалов рассеянного поля с коэффициентами разложений потенциалов падающего поля следующими соотношениями (для каждой из мод):

нием распространения падающей плоской волны.

После подстановки соотношений (15)-(17) в формулы для сечений (13), (14) и аналитического интегрирования по углу а в формуле (18) получим для каждой моды

< О - ^Ие^ Г)'' +

ч -1

+ 2 X X (<т)'' + 2 X г"

-I-1 - гN ) г (т)

V 2, т /1п^>п1

I - 11-' -

< Сяеа) - 2 |

к1

■п - 1

2 п + 1 I (I + 1) 21 + 1п (п + 1)

( га )

1п\ +

(19)

а) осесимметричная часть поля (Та = А1А2 ) -

1(1) - ГАа(0),

(15)

б) неосесимметричная часть поля (при фиксированном индексе т) -

.(1)

г? (0)

а - г а

т 1, т т

.(1)

Ьт - Г2, тк1 а,

(0)

(16)

где

+ 2Ке X X ''

т - 1 г, ],п - т

\ \* , ( Т 1, т )ИШ1п ( Т 1, т )п] +

(20)

+ '( Г2, т )нК1п ( Г1, т )я;- '( Г1, т )пКп1 ( Г2, т )я; +

+ (Г? \ Т(т)( Г? )*

+ ( Т 2, т )1гТ1п ( Т 2, т )п}

где индекс т соответствует слагаемым рядов Фурье относительно азимутального угла. Отметим,

т

0

п - т

2

что по сравнению с формулами (13), (14) для отдельных частиц здесь появились новые интегралы от произведений присоединенных функций Лежандра и их производных

r(m) _

Ып =

( 2 п + 1) ( п - m ) ! 2 (п + m)!

J Pm( X) Pnm'( X) dx, (21)

Q

(

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком