ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2009, том 47, № 4, с. 562-567
УДК 532.137.3
ОСНОВЫ ТЕОРИИ КРУТИЛЬНОЙ ВИСКОЗИМЕТРИИ ДЛЯ ВЯЗКОПЛАСТИЧНЫХ ЖИДКОСТЕЙ
© 2009 г. И. В. Елюхина
Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск Поступила в редакцию 15.07.2008 г.
Построены рабочие уравнения крутильно-колебательного метода для реостабильных жидкостей. Развит метод описания течений вязкопластичных жидкостей в нестационарных вискозиметриче-ских системах без обращения к численным формулировкам. Выделены особенности решения прямой и обратной задач нелинейной крутильной вискозиметрии.
РАСЯ: 66.20.+ё; 83.60.Df; 83.85.Jn
ВВЕДЕНИЕ
Крутильно-колебательная вискозиметрия обладает широкими возможностями для исследования реостабильных свойств жидкостей [1]. Корректные решения системы нестационарных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, отвечающей сопряженной задаче о движении вискозиметра и жидкости в нем, в общем случае могут быть получены только численно. Для использования на практике интерес представляют расчетные зависимости, основанные на аналитических решениях, например, для линейно вязкой жидкости [2], качественные аспекты построения которых обсуждены в [3]. Такой подход особенно важен для вязкопластичных жидкостей как в связи с условиями, возникающими в тигле, когда становится наблюдаемым малый предел текучести а0 [1], так и с позиций точного математического описания нестационарных течений жидкостей, им обладающих.
ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
Математическая формулировка основана на общих теоремах динамики жидкого образца и соприкасающегося с ним абсолютно твердого тигля (см. частный случай в [1]):
Р.
К К;
а + Ь0 а + ха = р;
р — * = даг* + ^ + 2 ^; д г дг г
а™( ™> = (2 V 'р + а о/Б) Б, ( ) при а > ас,
Б = 0 при а <а0; I = 0: З* = 0, а = а0 (а0 ~ 6°), а = 0; г = 0: З* = 0; г = Я: З* = а Я;
(1) (2) (3)
г = _Н: З* = а г; г = Н: З* = а г (а = 2), или г = 0: дЗ*/дг = 0 (а = 1),
(4)
где
Б = 1 (д З* _
Бг* = 2 ^ дг г
Б =1 д—*
Бг* 2 д г ,
7 2 2 / 2 2" Бг* + Бг*, а = Ыаг* + аг*;
'г* ' ^г*'
Н( а _ 1)
-.3
Р = _2я Я3 |
_Н
(5)
аг*| г = я+
Я
+ 2П *|г = _Н
0
_ (а _ 1 )а
г* г = Н(а _ 1)
)г2йг;
а — число смачиваемых жидкостью торцов вискозиметра (в частности, а = 1 для случая свободной поверхности); с — коэффициент упругости нити подвеса; Б — второй инвариант тензора скоростей деформации D; Бгф(гф) — гф(гф)-я компонента тензора D; Н — высота столба жидкости; Н = Н/а — высота при а = 1 и полувысота при а = 2; К — момент инерции пустой подвесной системы; Ь0 — функция трения, обусловленная газовой средой вокруг тигля и несовершенством нити; Р — момент сил трения, приложенных к тиглю со стороны жидкости; г, ф, г — радиальная, угловая и осевая координаты (г = 0 на оси и г = — Н на нижнем торце тигля); Я — внутренний радиус тигля; I — время; Зф — азимутальная компонента скорости; а — угловое смещение тигля из положения равновесия; а0 — начальное значение а; 50 и т0 — логарифмический декремент затухания и период собственных колебаний; V' — кинематическая пластическая вязкость жидкости; р — плотность жидкости; а — второй
инвариант тензора избыточных напряжений а; а-ф(гф) — гф(£ф)-я компонента тензора а; точками сверху обозначены производные по времени. В (1)—(5) приняты традиционные допущения [2]; (3) отвечает модели Шведова—Бингама. При численном моделировании вязкопластического поведения в (3) параметры основных регуляризо-ванных моделей [4—6] варьировались до получения независимого от них решения.
Величины х/Ки Ьо в (1) находятся из экспериментов с пустым вискозиметром, уравнение колебаний которого имеет вид а + Ьо а + ха/К = 0, т.е.
^ = 2ро, х/К = р0 + , гдеро = 5оДо и до = 2я/то - коэффициент затухания и циклическая частота колебаний при массе образца М = о. В прямой задаче крутильной вискозиметрии определяются свойства жидкости по наблюдаемым параметрам колебаний при заданных опытных условиях. Обратная задача предсказания закона движения вискозиметра решается при планировании оптимальных экспериментов, исследовании идентифицируемости свойств и пр.
РАБОЧИЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДА
Напомним, что вискозиметр, заполненный ньютоновскими жидкостями, вне переходных процессов совершает регулярные изосинхронные колебания с неизменными в процессе их затухания величинами: периодом т и декрементом затухания 5 [2]. Если жидкость нелинейная, то параметры колебаний обычно зависят от номера полупериода n (в общем случае от t), прошедшего от начального момента времени [1]. В рамках ньютоновского поведения это объясняется следующим. С уменьшением ньютоновской вязкости v при прочих равных условиях отношение т/т0 падает, а для декремента при некотором значении v наблюдается
максимум (при ~ £,0, где = R/ Jv/q0; для длинного цилиндра £,0 ~ 4.2 [2], с уменьшением h/R величина £,0 несколько возрастает). В вязкопласти-ческом течении эффективная вязкость жидкости
"eff
= v' + Сто/( 2 р D).
(6)
нимален ввиду отсутствия диссипации механической энергии вследствие вязкого трения: = 5о [1].
Расчет по традиционным соотношениям для ньютоновской среды [2] с учетом 5п и тп позволяет найти значения эффективной вязкости жидкости veff для каждого п, по величине которой из зависимости veff = veff{Б) определяются неизвестные константы реологического закона. Их оценка для серии экспериментальных точек выполняется путем минимизации функции качества, являющейся критерием соответствия экспериментальных и расчетных значений измеряемых в эксперименте величин, которую можно построить, например, по методу наименьших квадратов:
N
/(V, Сто) = X (vj - Veff jЬ
(7)
V = 1
где ] — номер точки измерения (например, номер полупериода), N — число точек. Значение Vj в (7) для каждого j рассчитывается из вискозиметриче-ского уравнения [2]
2 2
+ 2Р° = 1+р °+д °
КР р р2 + д ,
22
Ь_ _ I - Ро+Оо „„„ Г"Р
Kq p + q q
L' = Re (L), L " = Im (L), L = - 2vMßШ + 4MlX th(9H
при L' + L - = 2 K(p - p0);
(8)
Ji(ß) H v
а вязкость veffj■ (6) определяется по усредненному по времени и внутренней поверхности вискозиметра значению скорости сдвига с учетом точного решения гидродинамической задачи для ньютоновской жидкости
О, = кР( г, г), ОС г, г) = ('1 >' + ' кс(2'2 >1;
ЯИ + 0.5 Я
h =
В процессе колебаний среднее по полупериоду значение скорости сдвига Б уменьшается и величина veff растет. Характерным отличием для жидкости с пределом текучести от общего случая рео-стабильных сред является установление после исчезновения в жидкости текучей фазы режима колебаний, характеризуемых единственными значениями т и 5. Тогда твердотельная зона заполняет весь цилиндр, эффективный момент инерции системы достигает наибольшего значения К = К+
рг(р(r, -H, t) exp (kt)rdr,
0
0
¡2 = R | Drv (R, z, t) exp ( kt) dz,
(9)
-H
т.е.
¡1 = - 4 X
b,9,n R th (9H)
0.5MR2 и период т™ = t0VK/K, а декремент
ми-
x [(Ji(v,R)Ho(M) - Jo(M)Hi(^R))],
R
X
Б
Гф
2
0
Рис. 1. Зависимость Бг(р = БГ(р(1) с учетом — 1 и без учета — 2 переходных процессов при начальных условиях: I — а = ад, а = 0; II — 0, а0.
^2(Р) и-Т- М2(ИЯ)Ц, Ш(в,Н)
,2 = _ 1 ^ ^ - 2Я!
где
в = Я к ь, =2 ^«ру ( н2 /е 2 _ 1)
V V, 1 |а,/р( | ,Я) ,
2 к , , . 5
0, = I +_-, к = р + ,#, р = -, # =
2 я.
в расчетах могут быть использованы следующие представления для Нт, 1т [7] и | [8]:
Ат> " т
п
Е,
,(г) = я 1 |ео8(гэт0 _ т0)й0,
0 п
т (г) = п^эт (т0 _ г эт 0) й0,
Но (г) = _Ео (г), Н 1(г) = 2/п _ ВД,
I, = 0.251',1'Я1, I' = п( 41 + 1),
,_л 6 6 4716 3902418 8952167292 1 = 1 _ 72 + 7 _ Т-7 + "77 -770 +
Г Г 5Г 35Г
351'
Здесь Ет, /т, Нт — функции Вебера, Бесселя и Струве т-го порядка; I — мнимая единица; 1т и Re — мнимая и действительная части; Ь — функция трения, обусловленная наличием жидкости в вискозиметре; р и q — коэффициент затухания и циклическая частота колебаний при М Ф 0; | — корни уравнения /1(|?Я) = 0; к — коэффициент усреднения ехр(—М) по промежутку времени, например по периоду:
к = {4п[ ехр (_35 / 4) + ехр ( _5 / 4)] + + 5[1_ ехр(_5)]}(52+ 4п2) .
ОСОБЕННОСТИ ДЛЯ ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ ЗАДАЧ
Зависимости (8)—(10) отвечают регулярному режиму колебаний. Поэтому для оценки свойств жидкости в прямой задаче следует использовать данные по 5у и ту вне переходных процессов. Эти параметры совместно с а0у находятся из наблюдаемого в эксперименте закона колебаний а = а(1) процедурами анализа данных, а при ограниченном наборе измерений (одна, две точки на период) величины 5у, ху определяются как в [2], а0у — из опыта или по а0 и 5у.
Большую сложность представляет решение обратной задачи, когда необходим учет переходного режима, например с помощью соотношений для ньютоновских сред [9]. Тогда методом последовательных приближений дляу-й точки находятся 5у и ту при известном а0у и вычисленном значении (например, для регулярных колебаний из (8)), а получаемое значение Dу■ (9) служит для уточнения veffу■, затем проводится расчет для (у + 1)-й точки и т.д. Хотя число итераций существенно растет с увеличением veff, такой способ предпочтителен по сравнению с одновременным поиском для каждого у (т.е. некоторого а0у) трех этих параметров.
Зависимость скорости сдвига от времени в переходных процессах отлична от описываемой как ехр(—Ш) (рис. 1). В связи с этим даже при учете скорректированных по [9] формул для расчета параметров колебаний ошибка в несколько процентов в 51 и т1 при у = 1 отражается на значениях для последующиху. Так, в случае I (см. рис. 1) величина D1 для регулярного режима по модулю больше и, например, для дилатантных сред в слабовязкой области (т.е. области, где > 10 [2] и 5 и т падают с уменьшением V) также больше veff 1 и 51, а изменение 5у с ростом у сильнее. Поэтому следует учитывать также неизосинхронность Б = Б(1) на основе точных решений для линейной жидкости или интегрально в рамках численной модели ее течения.
Для заданных условий эксперимента и жидкости параметры колебаний в соотношении (9) для установившегося режима определяются только величиной углового смещения. В связи с этим после прохождения переходных процессов, характеризуемых, например, колебаниями около некоторого зна
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.