МИКРОЭЛЕКТРОНИКА, 2007, том 36, № 5, с. 351-358
ТОНКИЕ ПЛЕНКИ
УДК 621.3.049.76
ОСОБЕННОСТИ ПЕРЕДАЧИ ДЕФОРМАЦИИ ОТ ПОДЛОЖКИ К РЕЗИСТОРУ В ВИДЕ МЕЗАСТРУКТУРЫ
© 2007 г. В. М. Лшбимский
Новосибирский государственный технический университет E-mail: lubvlm@ngs.ru Поступила в редакцию 20.12.2006 г.
Получены аналитические выражения, связывающие деформации подложки, зависящие от координат, с деформацией резистора в виде мезаструктуры, отделенного от подложки промежуточным слоем. Сравнение теоретических и экспериментальных результатов показало хорошее их согласие.
ВВЕДЕНИЕ
Резисторы и тензорезисторы являются важнейшими компонентами современных интегральных схем. В настоящее время в микроэлектронике наблюдается тенденция применения структур с диэлектрической изоляцией и уменьшения геометрических размеров компонент электрических схем. Введение диэлектрической изоляции привело к конструктивной реализации резисторов и тензорезисторов в форме мезаструктур, контактирующих с подложкой по одной плоскости, при этом уменьшение геометрических размеров резисторов влияет на их электрофизические характеристики [1-7].
Особенности передачи деформации от подложки к мезатензорезистору рассматривались в основном применительно к структурам кремний-на-сапфире (КНС) [4] и, еще ранее, в связи с анализом передачи деформации с подложки на приклеиваемый тензорезистор [5, 6]. В работе [6] был развит общий подход к нахождению деформаций приклеиваемого тензорезистора, который исходит из условия минимума упругой энергии системы тензорезистор - клеевая подложка.
К настоящему времени, помимо КНС структур, для построения сенсоров механических величин применяются структуры поликристаллический кремний - 8Ю2 - кремний [8] и монокристаллический кремний - 8Ю2 - кремний, полученный, например, методом прямого сращивания [9]. В отличие от КНС - это структуры, где кремниевая подложка играет роль упругого элемента, а слой двуокиси кремния обеспечивает не только ди-
электрическую изоляцию, но и передачу деформации от подложки к тензорезистору.
Однако в [5, 6] из-за большой разницы между модулями Юнга клея и кремния не учитывались сдвиговые деформации в клее.
Подход, предложенный в [6] может быть применен для анализа системы тензорезистор-ди-электрический слой с учетом жесткостей обоих слоев. В данной работе рассмотрены особенности передачи деформации от подложки к мезатензо-резистору на основе модели, предложенной в [6] с учетом сдвиговых деформаций в слое, передающем деформацию, а также влияние геометрических размеров тензорезистора на его тензочув-ствительность.
ТЕОРИЯ
На рис. 1 приведено схематическое изображение мезатензорезистора с диэлектрической изоляцией. Будем считать, что смещения точек 1 и 2 слоев линейно зависят от расстояния от поверхности подложки или соседнего слоя (слои достаточно тонкие).
При деформации подложки перемещения точек рассматриваемой системы можно записать в виде:
и1 = и0 (х) + а1 (х) г,
и2 = ио(х) + ах (х)Нц+ а2(х)(г - И^), где и0(х) - перемещение точек упругого элемента при г = 0, а ах(х) и а2(х) - коэффициенты, подлежащие определению.
С учетом (1) компоненты матрицы деформации в плоскости хог принимают вид:
0(i) = 0(i) _ dU1 01 "0l1 d
dU0( x) da1 (x)
dx
dx
= 0o
-zal (x),
(1) dU1
05 = 2 013 = d" = a1 (x),
0 < z <-
,(2) = dU0 1 dx
da 1( x) '1 — + (Z
1)
da2 (x) dx
= 0o + h a1 (x) + (z - h 1 )a2( x),
j 2) = U
'5 dz
= a2(x), h < z
2
где индексы (1) и (2) соответствуют областям 1 и 2 рис. 1.
Упругая энергия системы тензорезистор-диэлектрик определяется интегралом
П =
( Р(1)2 Р0П
~2~" + £1"Т
где
Е1 и G1 =
Е1
1 2 (1+ VI)
- модуль Юнга и модуль сдвига 1 слоя,
ёУ-
( р(2)2 р(2)2Л
51
^Т + Е2-
V
ёУ,
у
Е2 и в2 = —---
2 2 2 (1 + V2)
- модуль Юнга и модуль сдвига 2 слоя, V1, V2 - коэффициенты Пуассона 1 и 2 слоев. У1 и У2 - объемы 1 и 2 слоев.
После интегрирования (3) по координатам у и г упругая энергия может быть представлена в виде:
Ы2
П =
Ь | а1, а1, а2, а2, х)ёх,
-Ы2
где Ь, Ь - длина и ширина резистора.
Неизвестные коэффициенты а1(х) и а2(х), входящие в (1), (2), определяются из условия минимума упругой энергии (3). Тогда
С Ь/2
5П = 5
Ь | а1; а'1; а2, а2, х)ёх
Ч- -Ь/2
= 0
и функция а ь а1, а2, а2, х) должна удовлетворять уравнениям Эйлера
ё_(Э/Л - Э£ = 0
ёх\да1) да1 £( - = 0
ёх\да2) да2
и естественным краевым условиям (рис. 1) [10]
Э£
да\
■ = Ь/2
х = -Ь/2
= 0, |£
да2
■ = Ь/2
= 0.
х = -Ь/2
Уравнения (4) могут быть преобразованы к виду:
(4)
[а'/- Ь„ а1 + Ь12 а2 = у и [а2- Ь21 а1 + Ь22а2 = у2Ц0',
(5)
2
г
2
и2
Н1 / Л
их . ^ 1 * | / | ^ /
и
Ц2
Рис. 1. Структура тензорезистора с диэлектрической изоляцией: 1 - диэлектрическая изоляция, 2 - тензорезистор.
где
ь„ =
к3к 6
к!к 6 к2к 5
Ьц =
У1 =
к 1 =
к2к7 ¿21 = кз к5 ¿22 = к1 к7
к 1к 6 - к2 к5 к1к6 - к2 к5 к 1к 6 - к2 к5
к 2 к 8 — к4 к6 к 1к 6 - к2 к5 У 2 = к к8 к 4 к 5 к1 к6 - к 2 к 5
= Е>2 ( ^2-, )2, к3 = 2G1h1, к4 = Е^ + 2 Е2 ^2- ),
к5 = к2, кб = 2Е2, к7 = 2С2(й2- ^), к8 = £2(й2 - ^ )2.
Общее решение системы неоднородных уравнений (5) имеет вид:
«1(*) =
У1
7^2
ехр(а2 х) 2а2
|ехр(-а2х)(и0¥ + ¿22^0')ёх -
ехр (-а2 х) 2а2
| ехр (а2 х)(и0¥ + ¿22 и0') ёх
У1
ехр(а1 х)
—|ехр(-а1 х)(и0¥ + ¿22 и0')ёх - -^а""1"^!ехр(а1 х)(и0¥ + ¿22 и0')ёх
2а
- У 2
[( ^12-4 ¿22 ) - В1( В1+4 ¿22 )]
__(а1(ехр(а2х)!ехр(-а2х)и'ёх - ехр(-а2х)!ехр(а2х)и'ёх) +
8 ¿21VВ12 а1а2
+ а2(ехр(-а1 х)|ехр(а1 х)и0ёх- ехр(а1 х)|ехр(-а 1 х)и0йх)) + С1ехр(а2х) + С2ехр(-а2х) +
+ С3ехр (а1 х) + С4ехр (-а1 х),
«2( х ) =
- У 1 Ь 2 1 е хр ( а2 х )
-В 2а2(а2 + ¿22)
У 1& 21 ехр (а1 х)
| ехр (-а2 х)(и0¥ + 6 22 и0') ёх +
У1 ¿21 ехр (-а2 х)
х
^2 а2 (а2 + Ь
22
х|ехр(а2х)(и0¥ + ¿22и0'—сл-^М-^—|ехр(_а1 х)(и0¥ + ¿22и0')ёх + ^ (_2
х ! ехр (а1 х) (и0¥ + ¿22 и0') ёх
а1 (а2 + ¿22 Г
4 У1 ¿21
У 1 ¿21 ехр (—а 2 х) х (6) д/В^а! (а2 + ¿22)
■и0' +
У 2
((В1 + 2Ь22)2 - В12) 4^2«В1 + 2¿22)2 - В12)
х
0
х
2 B 12 ( а2 + b 22 ) + VB2 ( B + 2b 22 ) 2 - ( B + 2 b22 ) 3 а2
(exp (а2x)|exp (-а2x) U0dx -
( )f ( )r , ^ 2 В12(а2 + b22 ) -JB" (B1 + 2b 22 )2 - ( B1 + 2 b22 )3 x exp(-а2x)J exp(а2x) U0dx) +-а-x
x exp (-а1 x)|exp (а1 x) U0'dx - exp (а1 x)| exp (-а 1 x) U0'dx )
[ C3exp (а1 x) + C4exp (-а1 x)],
b21 b21 —2-[ Qexp (а2 x) + C2exp (-а2 x)]--2-
(а2 + b22 ) (а!+ b22 )
JJ''_ d U0 ttIV _ d U0
U 0 . 2 , U 0
d4 U
dx
dx
4 •
а, =
а2 =
7+4^ = 1V2 B1-2JB12,
^n^+i^ 11+ b22 )2 + 4 bub~21 = B1+2JB12,
B1 = b„- b22, B12 = (b„+ b22) +4b12b
21
Сь С2, С3, С4 - константы. Полученные выражения для коэффициентов
При выборе начала отсчета оси х в середине а1(х) и а2(х) п°зв°ляют рассчитывать деформации резистора (рис. 1) краевые условия преобразуют- резистора при любом виде деформации подложки.
ся к виду:
a1 = Y 1U0|
= ±L /2'
a2 = Y2 U01
; = ±L /2
В случае однородной деформации (U0 = о0 = = const) C2 = -C1, C4 = -C3 и выражения для a1(x) и a2(x) упрощаются:
a1 (x) = 2C1sinh (а2 x) + 2 C3sinh (а1 x), a2( x) = -
2 b21( C1sinh (а2 x)) 2b21 (C3sinh (а1 x))
а2 + b2
а1 + b22
(7)
C1 =
(а2 + b22 )(Y 1 b 21 + Y 2 (а2 + b22 ))o,
2а^л/B^ b21Cosh f
V 2
0 C =(а? + b22 )(Y 1 b21+ Y 2 (а2 + b22 ))00
2 а^VB^b2lCoshí
V 2
и деформации в слоях 1 и 2 равны:
о11) = о0 + 2 (C1 a2cosh(a2 x) + C3а1cosh (а1 x)) z, о12) = о0 + 2( C 1а2cosh (а2 x) + C3 а1cosh(а1 x)) h1-
-4 b
12
а 1 C3 (co^^ ( xc ) + o;2 C1 (co^^ (а2x)
. J2(а2 + b22) J2(а2 + b22) .
(z - h 1), o51) = a1 (x) = 2 Qsinh^ x) + 2 C3sinh (а1 x),
(8)
o(2) _ ( , 2b21 (C1sinh(а2x)) 2b21 (C3sinh(а1 x))
05 a2 ( x ) "
(а2 + b22 )
(а1 + b22)
а
Поскольку деформации 1 и 2 слоев зависят от координат, то и средние деформации этих слоев отличаются от деформации подложки. Так средние
355
деформации е5:), е52) в слоях 1 и 2, как видно из (8), равны нулю. Деформации во втором слое, усредненные соответственно по г и г, х равны:
<е(12)> = £ 0 + 2 С( а2со8Ь (а2 х)
Ь\2 (И2-И()
1
а2 + £22 У
+ 2 С3а(со8Ь (а( х)
Ь ( 2 (И 2 - И ( )
д/2(а( + £22 )>
(9)
<<£((2)>> = £о +
|а2 —
4 С(81пЬ1 — —
Ь (2 (И 2 - И ( )
^2(а2 + £22 )>
л 4С381пЬ| — ^
I
Ь(2(И2-И( )
(10)
Зависимости (£((2)>/£0 от координаты х для трех значений — приведены на рис. 2. Из рисунка видно, что у краев резистора деформация меньше, чем в подложке и на самых краях имеет противоположный знак, что связано с наклоном торцов слоев при деформации.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ
Для экспериментального исследования передачи деформации от подложки к тензорезистору через слой диэлектрика (8102) были проведены определения коэффициентов продольной и попе-
речной тензочувствительности поликремниевых тензорезисторов различной ширины на тестовых элементах в виде консольных балок, имеющих линейные размеры 22 х 6 х 0.38 мм. Толщины слоев двуокиси кремния и поликремния равнялись соответственно 0.4 и 0.5 мкм. Двуокись кремния получалась термическим окислением кремниевых пластин. Линейные размеры тензорезисторов приведены в таблице.
Для анализа передачи деформации от подложки к тензорезистору определим средние деформации продольного резистора, расположенного вдоль длинной оси балки, и поперечного резистора, расположенного поперек этой оси.
1. Продольный резистор:
а) вдоль резистора б) поперек резистора
£( = — £0( Jf2( х( ) ^х(5 £2 = (£02 Jfг( х2 ) <^х2-
— Ь
1. Поперечный резистор:
а) вдоль резистора б) поперек резистора
£2 =(£02^г(х2)^х2, £( = (£0( ^(х( )
где £)(), £)((, £)2), £)2) - деформации подложки вдоль и поперек оси балки под продольным (I) и поперечным (,) резисторами, — - длина резистора, Ь - ширина резистора.
Тогда относительные изменения сопротивлений продольного и поперечного резисторов могут быть записаны в виде:
А Я— ~Я~
= К— £
(—)
■К, £2—),
А Я,
—дТ = К—£2) + Кí £(
-.(*)
(11)
где КЬ и К( - продольный и поперечный коэффициенты тензочувствительности.
К,
,0 АЯ,
[ ~тЬ 1
АЯ, Ь( * Л
т 2 )
(о(^)о( ,) С(1 )С(*)) (Ь 1 Ь1 - Ь2 Ь2 )
Ширина резистора, мкм 7.9 10.4 18.8 50 77
Длина резистора, мкм 117 98 98 104 156
Из (11) следуют выражения для продольного и поперечного коэффи
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.