КОСМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2007, том 45, № 4, с. 351-357
УДК 629.78
ОСОБЕННОСТИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ПРИ СПУСКЕ В АТМОСФЕРЕ МАРСА
© 2007 г. В. С. Асланов, А. С. Ледков
Самарский государственный аэрокосмический университет им. СП. Королева Поступила в редакцию 01.02.2006 г
В статье анализируется угловое движение КА с бигармонической моментной характеристикой при входе в атмосферу. Особое внимание уделяется случаю, когда КА обладает двумя устойчивыми балансировками и, следовательно, в плотных слоях атмосферы возможны колебания этого КА в диа-позоне малых или больших углов атаки. Выводятся осредненные уравнения движения КА, которые позволяют на несколько порядков увеличить скорость выполнения вычислений. Приводится реальный пример, относящийся к КА, рассчитанному на спуск в атмосфере Марса.
РАС8: 45.40.в]
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Одной из основных причин, приводящей к аномальному поведению КА при спуске в атмосфере, считается параметрический резонанс [1, 2], который возникает при наличии малой массово-инерционной и аэродинамической асимметрии, когда движение относительно центра масс зависит от двух угловых переменных: пространственного угла атаки и угла собственного вращения. Если частота колебания угла атаки и средняя угловая скорость собственного вращения под действием возмущений становятся кратными отношению простых целых чисел, то наблюдается резонанс. Резонанс как явление значительного изменения амплитуды колебаний может возникать и при отсутствии асимметрии, когда движение зависит от одной угловой переменной: пространственного угла атаки, а коэффициент аэродинамического восстанавливающего момента та(а) обращается в ноль в трех точках на отрезке [0, п]. В этом случае на фазовом портрете а = а(а) могут наблюдаться три области, разделенные сепаратрисой [3]. Под влиянием возмущений, к которым можно отнести изменение скоростного напора при спуске КА в атмосфере, фазовая траектория может пересекать сепаратрису, переходя из одной области в другую, что сопровождается скачкообразным изменением амплитуды колебаний и является резонансом [4]. Для спуска в разреженной атмосфере Марса используются тела малого удлинения затупленной формы, которая обеспечивает эффективное торможение. Такие тела, в зависимости от массовой компоновки, могут иметь помимо двух балансировочных положений пространственного угла атаки: а* = 0, п, еще и третье положение равновесия: а* е (0, п). На рис. 1 представлены сегментально-коническое тело и зави-
симости коэффициента восстанавливающего аэродинамического момента та(а) от пространственного угла атаки при различных положениях центра масс, отсчитываемых от носка тела (xT = = xT//, где l - характерный размер тела), полученные по ударной теории Ньютона.
Для аппроксимации коэффициента восстанавливающего момента воспользуемся бигармонической зависимостью вида
та(а) = a sin а + b sin2 а. (1.1)
Для рассматриваемого класса КА положение а = 0 является устойчивым, поэтому производная от коэффициента восстанавливающего момента по углу атаки в этой точке отрицательная
(a cos а + 2b cos2а) |a = 0 < 0,
или
2b < -a. (1.2)
А если существует промежуточное балансировочное положение на интервале (0, п), то
та(а) = a sin а + b sin2 а =
= sin а(a + 2b cos а) = 0,
что выполняется, если
|2b| > |a|. (1.3)
Очевидно, что неравенства (1.2) и (1.3) выполняются одновременно при b < 0. Отметим, что зависимости та(а), представленные на рис. 1, удовлетворяют условиям (1.2) и (1.3).
Ставится задача показать возможность возникновения резонансов у осесимметричных тел, предназначенных для входа в атмосферу Марса, найти условия устойчивости движения, получить усредненные возмущенного уравнения движения и построить процедуру расчета верхних и нижних
ma
а, град
Рис. 1. Зависимость коэффициента аэродинамического восстанавливающего момента от пространственного угла атаки при различном положении центра масс.
оценок параметров движения с использованием усредненных уравнений.
2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ СИСТЕМЫ
Запишем уравнения пространственного движения осесимметричного тела при спуске в атмосфере в следующем виде [2]:
.. + ( G - R cos ос ) ( R - G cos а) а + з
sin а
- Mа (а, z) = - mz (z )а, R = -е mx( z) R = £ФR( z), G = -е{ my(z)G + [mx(z) - my(z) ]Rcos а} = = еФG(а, z),
V = -Сха(а) —- g sin 0 = еФу (а, z),
m
(2.1)
0 = -
со s 0 V
V2
Rп + H
= еФ0(а, z),
H = V sin 0 = еФд (a, z),
где z = (R, G, V, 0, H) - вектор медленно меняющихся параметров; a - пространственный угол атаки, £ - малый параметр, R и G - с точностью до множителя проекции вектора кинетического момента на продольную ось и на направление скорости; V - скорость движения аппарата, 0 - угол наклона траектории, H - высота полета, g - ускорение свободного падения, cxa(a) - коэффициент силы лобового сопротивления, q = pV/2 - ско-
ростной напор, р - плотность атмосферы, S - площадь миделевого сечения, т - масса КА, Ма = = тадБЬ/1 - с точностью до множителя восстанавливающий момент (I - поперечный момент инерции тела, Ь - характерный размер), Rп - радиус планеты; етх^), ету^), ет^г) - проекции малого демпфирующего момента на оси правой системы координат 0ху2, выбранной так, что Ох направлена по оси симметрии аппарата, Оу - лежит в плоскости, образуемой Ох и вектором скорости V.
Следует отметить, что вид правых частей уравнений системы (2.1) может быть записан и в более сложном виде, например [1, 2], однако принципиальным является то обстоятельство, что правые части являются функциями только одной "быстрой" переменной - пространственного угла атаки а. Представим систему (2.1) в сокращенном виде:
а + F(а) = - е т2 (z )а, Z = еФг (а, z). (2.2)
Возмущенная система (2.2) при е = 0 сводится к невозмущенной системе с одной степенью свободы. Эволюция параметров движения происходит под действием возмущений, возникающих из-за малых демпфирующих моментов и переменности скоростного напора. Установим связь между наличием трех балансировочных положений бигар-монической характеристики (1.1) при выполнении условий (1.2) и (1.3) и существованием устойчивых и неустойчивых положений равновесия на фазовом портрете невозмущенной системы, получаемой из (2.2) при е = 0:
а + F (а) = 0,
(2.3)
где
W(u)
F(a) _ ( <-т — R c o s ос ) ( R - Gcosa) sin3a - A sin a - B sin2 a,
(2.4)
A _
aSL _ bSL
—q, B_ —q.
Уравнение (2.3) имеет интеграл энергии
a2/2 + W(a) _ E, (2.5)
W(a) _ JF(a)Ja _ Wg(a) + Wr(a), (2.6)
где Wg(a) = (G2 + R2 - 2GR cos a)/[2 sin2 a], Wr(a) = = A cos a + Bcos2a.
Значениям угла a на отрезке [0, п] взаимно однозначно соответствуют значения переменной u = = cos a на отрезке [-1, +1]. С учетом замены u = = cos a интеграл энергии (2.5) можно записать в виде
U2/[2(1- u2)] + Wg(u) + Wr(u) _ E,
(2.7)
/(u) _ 2(1- u2)(E - Au - Bu2) + + 2GRu - G2- R2.
(2.8)
где Wg(u) = (G2 + R2 - 2GRu)/[2(1 - u2)], Wr(u) = Au + + Bu2.
2
Представим (2.7) следующим образом u -/u) = 0, где
Характер фазового портрета системы, описываемой уравнением (2.7), определяется формой потенциальной функции Щ(и). В частности, от количества и расположения экстремумов этой функции зависит число и тип особых точек. Минимуму соответствует устойчивая точка типа центра, а максимуму - неустойчивая точка типа седла. Исследование поведения функции Щ(и) = = Щ(и) + Щг(и) при различных сочетаниях параметров Я, G, А, В выполнено в [2], приведем лишь результаты этого исследования. Потенциальная функция Щ(и) не имеет точек перегиба на интервале (-1, 1) при выполнении условия
В > -[ шип 1(0.5 щ;(и))]= В*, (2.9)
поскольку вторая ее производная Щ"(и) = Щ (и) +
+ Щ (и) по переменной и неотрицательна. Это означает, что на фазовом портрете седловая особая точка отсутствует. Согласно (2.9) величина В*
всегда отрицательна. При Я = G = 0 функция Щ (и) вырождается, поэтому В* = 0, и условие (2.9) приобретает вид В > 0. Седловая точка будет отсутствовать также при достаточно малой абсолютной величине коэффициента Ь по сравнению с а (движение, близкое к случаю Лагранжа). Действительно, если
|Ь| < 0.5\а\, (2.10)
Рис. 2. Фазовый портрет.
то функция Щ (и) на всем интервале имеет один и тот же знак, следовательно, производная Щ(и) = = Щ (и) + Щг (и) обращается в ноль в единственной точке, и функция Щ(и) имеет единственный экстремум - минимум. Условие (2.10) противоречит условию (1.3) и если не выполняется условие (2.9), то возможно наличие двух минимумов и одного максимума функции Щ(и) на интервале (-1, 1), что соответствует наличию на фазовом портрете неустойчивой особой точки типа седла. Очевидно, что указанная ситуация возникает при выполнении условия
W'(u*1) W(u*2)< 0, где u*j, u*2 - корни уравнения W'(u) = 0.
(2.11)
Фазовая плоскость при выполнении условия (2.11) разбивается сепаратрисой на три области: внешнюю А0 и две внутренние А1 и А2. Если Е > > Щ*, где Щ* - значение Щи) в седловой точке и = = и*, то движение происходит во внешней области А0 (рис. 2). В противном случае (Е < Щ*) движение может осуществляться в любой из внутренних областей А1 или А2 в зависимости от начальных условий. Равенство Е = Щ* соответствует движению по сепаратрисе.
3. УСТОЙЧИВОСТЬ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
Под действием возмущений, возникающих в процессе спуска КА в атмосфере, фазовая траектория, находясь в одной из областей, под влиянием возмущений либо удаляется от сепаратрисы, либо приближается к ней. В первом случае происходит дальнейшее "погружение" в данную область, а во втором - "выталкивание" из нее. В соответствии с этим будем говорить об устойчивости или неустойчивости областей А0, А1, А2. Движение может начинаться как во внешней А0, так и в любой из внутренних областей А1 и А2. Если область, в которой началось движение, неустойчива, то фазовая траектория пересечет сепаратрису через некоторое конечное время. Очевидно, что в момент пересечения сепаратрисы могут наблюдаться две ситуации: две области неустойчивы, одна -устойчива и, наоборот, одна - неустойчива, а две -устойчивы. В первом случае движение всегда продолжается только в устойчивой области, а во втором - дальней
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.