ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2010, том 73, № 7, с. 1285-1293
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ПОЛЯ
ОСОБЕННОСТИ ЗАПОЛНЕНИЯ СФЕРЫ ФЕРМИ КВАЗИЧАСТИЦАМИ КВАРКОВ
© 2010 г. Г. М. Зиновьев1^ С. В. Молодцов2)-3)*, А. Н. Сисакян2)
Поступила в редакцию 16.09.2009 г.
Изучается заполнение сферы Ферми кварками, описываемыми в виде квазичастиц модельного гамильтониана с четырехфермионным взаимодействием.
В настоящей работе мы проанализируем заполнение сферы Ферми кварками, моделируя соответствующий детерминант Слэттера явным образом. Кварки будут рассматриваться в виде квазичастиц модельного гамильтониана с четырехфермионным взаимодействием. В работах [1,2] подробно изучалось его основное состояние |<г) и была продемонстрирована сингулярность функционала средней энергии как функции токовой массы кварка. При рассмотрении вопросов заполнения сферы Ферми нам понадобится проследить изменение соответствующего одевающего преобразования.
Напомним вкратце, как строится описание кварков в виде квазичастиц. В работах [1, 2] исследовалось основное состояние гамильтониана с четырехкварковым взаимодействием в виде произведения двух цветных токов, локализованных в пространственных точках х и у, связанных формфактором:
Н = —¡(г^V + гт)д — д1а^^д х (1) х/ йуд'1ьЪд'(ЛаА)(х — у),
где q = q(x), q = q(x), q' = q(y), q' = q(y) — операторы кварков,
dp 1
qai(x) = J
(2n)3 (2|p4\)l/2
[a(p,s,c) x (2)
х паг(р, в, с)егрх + Ь+(р , 8 , фаг (р , 8 , с)е грх],
2 2 2-р2 = —р2 — т2; г — цветовой индекс; а — индекс
спинора в координатном пространстве; а+, а и Ь+, Ь — операторы рождения и уничтожения кварков и
'-'Институт теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова НАНУ, Киев.
2)Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Россия.
3)Институт теоретической и экспериментальной физики, Москва, Россия.
E-mail: molodtsov@itep.ru
антикварков; а|0) = 0, Ь|0) = 0, |0) — вакуум свободного гамильтониана. Всюду подразумевается суммирование по индексам в и с, причем индекс в описывает две спиновые поляризации кварка, а индекс с должен играть аналогичную роль в отношении цвета. Величины 1а = \а/2 — генераторы цветовой калибровочной группы Би(Мс); т — токовая масса. Плотность гамильтониана приведена в евклидовом пространстве, и ^^ обозначают эрмитовы матрицы Дирака; ц,и = 1,2,3,4; (Ла^Льи)(х — — у) — формфактор вида
(3)
= 5ab G
N2 - 11
(A*At )(x - y) =
[I(x - y)5^v - (x - y)]
где второе слагаемое натянуто на вектор относительного расстояния. Для простоты мы будем пренебрегать вторым слагаемым. Напомним, что эффективный гамильтониан (1) появляется при усредненном описании кварков, находящихся под действием сильного стохастического глюонного поля Л^, см. [1, 2]. Выбор евклидовой формулировки задачи не носит принципиального характера и связан с тем, что, как правило, информация о глюонных корреляторах представляется в евклидовых переменных. В частности, переход к пространству Минковского для рассматриваемых ниже корреляционных функций модели Намбу— Иона-Лазинио и модели Келдыша тривиален, поскольку они являются ¿-образными функциями времени, см. [1, 2]. Исходя из вида индуцированного четырехфермионного взаимодействия, основное состояние системы разыскивалось в виде боголю-бовской пробной функции, образованной кварк-антикварковыми парами с противоположными импульсами и с квантовыми числами вакуума [3]:
И = Т |0), (4)
Т = П ехрМа+ (р,в)Ь+ (—р,в) +
p,s
+ a(p,s)b(-p,s)\}.
2
В этой формуле и в дальнейшем мы для упрощения обозначений будем упоминать только один индекс, подразумевая спиновую и цветовую поляризации. Описывающий силу спаривания параметр ^>(р) определялся из условия минимума средней энергии
Е = (а\И\а). (5)
Используя одевающее преобразование Т, определяем операторы рождения и уничтожения квазичастиц А = ТаТ-1, В+ = ТЬ+Т-1 (для фермионов Т-1 = Ти выражаем через них поля кварков [ йр 1
(х)
(х)
(2п)3 (2Н)1/2 + В+(р,в)У (р,з)в-грх ], с1р 1
[А(р,з)и (р,з)вгрх +
[А+(р,8)и(р,8)е-г^ +
И0 = — J йхд(х)(г^ V + гш)д(х) =
йр
\Р4\ (со8(в)А+ (р; 8)А(р; 8) +
У (2п)3
+ 8т(в)А+(—р; 8)В+(р; 8) + + 8т(в)В(—р; 8)А(р; 8) —
— С08(в)В(р; 8)В+(р; 8)),
где угол в = 2^>. Для свободного гамильтониана имеются два диагональных матричных элемента. Рассмотрим один из них:
(М\В(р; 8)В+ (р; 8)\М)-
- (а\А(Р; Б)В(р; 8)В+ (р; 8)А+ (Р; 5)\а).
При его записи мы демонстрируем в правой части только один парциальный вклад, построенный из оператора А, какого-то выделенного сорта с некоторым импульсом Р. Все остальные вклады однотипны и, как легко видеть, приведут к сумме (интегралу) по состояниям, заполняющим сферу Ферми. С учетом принимаемого нами условия нормировки состояния (а\АА+ \ а) = 1 (для совпадающих аргументов операторов А, А+) матричный элемент приводится к виду, который встречался в работах [1, 2] и соответствует вкладу кварков в вакууме
[ %(М\\р4\со8(в)В(р-,8)В+(р-,8т =
(2п)3
/ (2тг)3(2|р4|)1/21
+ В(р,8)У(р,8)егП,
причем спиноры и и V задаются как
и(р, 8) = С08(^>)"и(р, 8) — 8ш(^>)"и(—р, 8), (6) V(р, 8) = 81п(р)п(—р, 8) + С08(р)у(р, 8),
где й(р, 8) = [/+(Р, 8)74, У(р, 8) = У+(р, 8)74 -дираковски сопряженные спиноры.
Интересующая нас задача формулируется следующим образом. Требуется найти такое заполненное квазичастицами кварков состояние (слэтте-ровский детерминант)
\М) = П А+(Р; 5 )\а), (7)
чтобы средняя энергия по этому состоянию была минимальной. Здесь поляризации пробегают все допустимые значения. Для обозначения импульсов и поляризаций заполняющих сферу Ферми квазичастиц мы будем использовать заглавные буквы, в других случаях будут употребляться строчные буквы.
Свободный гамильтониан записывается через операторы квазичастиц в следующем виде:
йр
\Р4 \ С08(в).
.} (2п)3
Напомним также, что В\ а) = 0, А\а) = 0. Парциальный вклад второго диагонального матричного элемента равен:
(а\А(Р; Б)А+ (р; 8)А(р; 8)А+ (Р; Б)\а) = (9)
= (2п)36(р — Р)6^(а\А(Р; Б)А+ (р; 8)\а).
Для заполненного состояния все подобные вклады сводятся к интегралу по сфере Ферми
/ ЩзШР^ШЧ р;в)А(р-,8)\М) =
PF
с1р
\Р4 \ С08(в).
(8)
Теперь займемся вычислением диагональных матричных элементов для гамильтониана взаимодействия я'. Всего имеется
шесть вкладов, для которых мы введем следующие обозначения: 1) — это матричный элемент N\ВВ+В'В'+ \N); 2) - N\ВАА'+ В'+ \N); а) - N\ АА+А'А'+ \N); ¡3) - N\ АА+В'В'+ \N); 7) - N\ А+В+В'А' \N) и, наконец, 6) -N\ВВ'+ А'+ А'\N). Первые два матричных элемента 1) и 2) имеют такой же вид, как и при вычислении вакуумного вклада из работы [1]. Вклад 1) в
члене взаимодействия N\ Я^1^^яя'^!^я'\ N генерирует в итоге следующее спинорное выражение:
Уаг( Р, 8)У1к( р', зУкП^Ум(р', 8>).
В силу полноты спинорного базиса при суммировании по всем цветовым поляризациям возникает единичная по цвету матрица, например, и> следовательно, вклад 1), как это отмечалось в работах [1, 2], обращается в нуль. Запишем также парциальный вклад 2):
(а \ А(Р; Б)В(р; 8)А(я; 1)А+ (р'; 8') х
x B+ (q'; t')A+ (P; 5)\a) = (2n)6[S(q - p') x x 5ts'(a\A(P; S)A+ (P; S)\a) - S(q - P) x x Sts(*\A(P; S)A+ (p'; s')\a)]6(p - q')St.
В итоге
в матричном элементе N("'Чр.дц'^^и) (с учетом приведенной выше нормировки отдельного состояния) имеем следующее спинорное выражение:
+ Уаг(р; зЩ^и^ч 1)и1к(ч Р; в).
Матричные элементы в), 7) и 5) имеют аналогичную структуру, однако все их вклады взаимно сокращаются.
Нам осталось рассмотреть матричный элемент а). В отличие от упомянутых случаев, старший парциальный вклад здесь следует, в силу вида члена взаимодействия, разыскивать уже для пары квазичастиц:
(аЛ^; Т)Л(Р; 5)Л+ (р; в)Л(я; *) х х Л+(р'; в')Л(я'; 1')Л+ (Р; 5)Л+ (Р; Т
При совпадающих импульсах Р и Р получается, как известно (см., например, [4]), следующий по 1/У член разложения, где V — объем системы, и мы его опускаем. В частном случае, когда рассматривается только одна квазичастица, понадобится матричный элемент от состояния вида |1) = = Л+ (Р;3)|а). Опуская промежуточные выкладки, приведем спинорное выражение, приходящее от члена а):
и^-БЩ^и^-Б) х (10)
+ х
-им-тщг^и^Р;5) X
^Щ^Т) х + х
+ йаг(Р-,ЗЩ^Щ3(р-,8) X
Первое и второе слагаемые дадут нулевой вклад по той же причине, что и для матричного элемента 1).
Третье и четвертое слагаемые в действительности одинаковы, поскольку можно переобозначить входящие в эти выражения импульсы и поляризационные индексы. Пятое и шестое — в сумме описывают вклад двух состояний с импульсами Р и Р. Легко проследить, что для ансамбля получится просто интеграл по сфере Ферми (см. также обсуждение ниже).
В том частном случае, когда рассматривается одна квазичастица, матричный элемент, в отличие от (10), пропорционален
хи1к(Р]8)екП^1ЫР-,з).
Поляризационные матрицы квазичастиц были найдены в работах [1, 2]:
УУ = £>474 + со8(0)(р7 — гтп) —
(11)
а + а 2im
sin(0)(p2 - im p7),
IJIJ = £>474 + cos(0)(p7 + im) + a + а
+
2im
■sin(0)(p + im p7)
(проводится суммирование по поляризациям, по цветовым индексам матрица диагональна). В итоге для интересующих нас шпуров можно получить следующие выражения:
Tr(VVj^taU'U 7vta)
N2 -1
= 4—-
x { P4q49^v ± т26^и cos в -
a + a p2
2
(12)
sin в
m2
a + a q2 \ cos в'---—sin в' I + {5^5iv +
+ Siv)
+ cos в' +
a + a . \ COS в H--Sin в QiPi +
a + a 2
sin в'
P4 qi
+ (Si^Sjv -
- Sij+ SiVSjv)piqj cos в +
a + a ~~2
sin в
/ o> , a + a . Q, \ x I cos в H---— sin & J f >
где p = \p\, q = \q\, в' = e(q). Коэффициент a определяется с точностью до фазового множителя
a a = m2/p2, как это и должно быть в случае
х
х
четырехспинора. Проведенный в работах [1, 2] анализ показывает, что наименьшее значение средней энергии получается, когда этот коэффициент является вещественным числом а = ±т/\ р \. Для определенности мы выбираем положительный знак.
Соберем вместе все результаты, и сначала рассмотрим состояния с одной квазичастицей. Для матричного элемента гамильтониана взаимодействия имеем
(1 | qtaY^qq'taYv q' 11)
Nc2 - 1
1
(13)
2 4НМ х Тг[-У(р)У(р)7^(Р)ЩР)7, +
+ ПрМР)7мС/(ЧМЧ)7, +
+ и(Р)й(Р)Ъи(р)й(р)Ъ].
Поляризационные индексы не выписываем. Интересно отметить, что в первом и третьем слагаемых члены,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.