ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА Том 73. Вып. 6, 2009
УДК 539.3
© 2009 г. И. И. Аргатов
ОСРЕДНЕНИЕ УПРУГОЙ МЕЛКОСЛОИСТОЙ СРЕДЫ С ШЕРОХОВАТОСТЬЮ ИЛИ АДГЕЗИЕЙ НА ПОВЕРХНОСТЯХ КОНТАКТА СЛОЕВ
Асимптотическим методом осреднения получены определяющие соотношения слоистой упругой среды с неидеальными условиями контакта на меж-слойных границах. Взаимодействие шероховатых поверхностей описывается нелинейным условием контакта, моделирующим локальную деформацию микронеровностей при помощи некоторого проникновения номинальных поверхностей упругих слоев. Силы сцепления, вызываемые тонкой клеевой прослойкой, описываются в рамках модели Фремона, включающей дифференциальное уравнение, характеризующее изменение функции сцепления. Для описания сил адгезии между гладкими сухими поверхностями предложена кусочно-линейная аппроксимация начального положительного участка кривой потенциала Леннарда—Джонса. Проведено сравнение с решением, получаемым в рамках модели Можи—Дагдейла, основанной на кусочно-постоянной аппроксимации. Решения перечисленных задач строятся с учетом возможного раскрытия межслойных границ.
Задача об осреднении упругой слоистой структуры с линейно упругими условиями проскальзывания была рассмотрена ранее [1]. Изучались задачи с условиями одностороннего контакта и с трением по закону Кулона для различных периодических структур (слоистой, блочной среды, составленной из периодически расположенных ячеек типа "кирпичной кладки" с перевязкой или "мощеной площади") [2, 3]. Были приняты [4] нелинейные условия обобщенного типа (линейно упругое проскальзывание, вязкое трение или нелинейное трение, переходящее в пределе в закон Кулона) при учете возможного расхождения межслойных границ.
Уменьшение толщины слоев в реальной слоистой структуре до размеров, сопоставимых с масштабом шероховатости на поверхностях слоев, приводит к необходимости постановки нелинейных граничных условий, моделирующих контакт реальных шероховатых поверхностей. Подобные граничные условия в задачах контакта одного упругого тела с жестким препятствием применялись в работах математического характера [5, 6] (см. также обзоры [7, 8]). Ранее контактные задачи для упругого шероховатого полупространства рассматривались во многих прикладных работах (см. обзор в [9]).
При уменьшении шероховатости контакт между слоями становится жестче, однако с повышением класса чистоты контактирующих плоских поверхностей начинает играть существенную роль эффект адгезии. Опять-таки силы сцепления между слоями (позволяющие некоторое расхождение межслойных границ) могут быть созданы искусственно путем введения тонкой полимерной клеевой прослойки. Для описания сил адгезии были предложены разные модели (см., например, [10, 11]).
Ниже применяется модель, использованная ранее [12, 13], ее отличительная черта — введение функции сцепления, характеризующей эволюцию состояния адгезионных связей. Также рассматривается кусочно-постоянная аппроксимация сил адгезии (модель Можи—Дагдейла), использовавшаяся ранее в работах по контакту упругих тел [14] и механике трещин [15].
Для решения задачи применяется асимптотический метод осреднения [16, 17], приводящий к нелинейным задачам на ячейке периодичности. В рассматриваемом случае слоистой среды эти задачи допускают решение в явном виде. Как отмечалось [2], в случае блочной среды слож-
ной структуры задача на ячейке периодичности с условиями трения может быть решена численно. В задаче о кручении упругого стержня с условиями трения на границах продольных волокон было получено [18] решение задачи на ячейке периодичности. В плоской задаче были подробно исследованы [3] предельные соотношения для блочной среды, при выполнении которых она теряет несущую способность. Схема построения асимптотики в некоторых деталях следует подходу И.С. Никитина [4]. Вчастном случае малой шероховатости без адгезии в результате предельного перехода получается решение, найденное ранее [2].
Заметим, что практический интерес представляет также перенесение полученных результатов на задачи о деформации слоистых плит (см., например, [19, 20]) с неидеальными условиями контакта на межслойных границах.
Наличие малого параметра, равного отношению толщины слоя к толщине пакета, позволяет выделить как макроскопическую, так и микроскопическую (по известной терминологии [16]) структуры напряженно-деформированного состояния, отвечающие соответствующим уровням строения слоистой среды. Шероховатость поверхностей упругих слоев определяет третий уровень (микроуровень второго порядка), характеризуемый еще одним параметром, имеющим размерность длины. (Это обстоятельство проявляется и при наличии сил адгезии.) Ниже рассматривается именно та ситуация, когда параметр, определяющий размер шероховатости, и характеристическая длина адгезионных связей сопоставимы с толщиной слоев. В таком случае определяющие соотношения мелкослоистой среды на макроуровне несут на себе отпечаток микроструктуры второго порядка.
1. Контакт упругих слоев при наличии нормальной податливости шероховатости. Рассмотрим упругую слоистую среду, слои которой уложенны перпендикулярно оси Ox3. Материал слоев одинаков, однороден и обладает изотропными упругими свойствами, причем все слои имеют одинаковую толщину h.
Пусть пакет толщиной H нагружается поверхностными нагрузками, действующими на лицевых поверхностях x3 = 0 и x3 = H. При таком выборе положения начала системы координат поверхности раздела слоев r(s) совпадают с плоскостями x3 = sh (s = 1,2,...). Зафиксируем толщину пакета H и, считая толщину слоев h переменной величиной, введем малый параметр s = h/H.
Предположим, что на поверхности раздела r(s) слои взаимодействуют между собой в соответствии с законом одностороннего контакта с трением, причем нормальное давление определяется с учетом деформации шероховатости. Именно, при отслоении имеем
[u3] > 0 ^с33 = 0 (1.1)
где [u3] = u3 I (s) „ -u3 I (s) „ — скачок нормального перемещения.
x3 — x3 + 0 x3 — x3 — 0
При вступлении поверхностей в контакт будем иметь
[u3 < 0 ^^33 =-cm(-[u3])m (1.2)
Параметры cm и m шероховатости могут быть выражены через характеристики опорной кривой профиля шероховатой поверхности. По теории Журавлёва-Крагельско-го-Дёмкина было получено [21] значение m = 2v - 1/2, где v — показатель степенного закона Дёмкина. Для наиболее распространенных значений ve [2,3] получаем m е [3/2,5/2]. Интересно отметить (см. [22], §3.3.4), что показатель v определяется фрактальными свойствами поверхности.
Используя функцию (t)+ = (t + |t|)/2, соотношения (1.1) и (1.2) сводим в одно:
^33 = -Cm(-[ u3])m
(1.3)
Условие тангенциального взаимодействия контактирующих поверхностей определим в соответствии с законом Кулона
|стТ + /озз < 0, (аТ + /стзз)[иТ = 0, а • [ит] = |ат|[ит]| (1.4)
Здесь ат = (с31, с31, 0) — вектор касательных напряжений, ит = (и15 "2, 0) — вектор касательных смещений [ и т] — скачок вектора касательных смещений на границе раздела, f — коэффициент трения, |ат| = (с21 + о22)1/2 — модуль вектора ат.
На поверхности можно, вообще говоря, выделить участок Г^ нагруженного контакта, на котором выполняется граничное условие (1.2), участок Г-51, на котором контакт поверхностей отсутствует и выполняются условия [и3] > 0 и с33 = 0, и участок Г0^ соприкосновения поверхностей без передачи усилий, когда одновременно выполняются условия ["3] = 0 и с33 = 0. Граничное условие (1.1) определяет множество
Гм иг0°.
Обращаясь теперь к неравенству (1.4)ь видим, что условие с33 = 0 влечет за собой равенство |ат| = 0. Тем самым условие (1.1) можно уточнить:
["3] > 0 = 0, I = 1, 2,3 (1.5)
В свою очередь, участок нагруженного контакта, согласно граничному условию (1.4), разбивается на зону сцепления П, где выполняются условия
["3] < 0, аТ < /ет(-ИГ, [ит] = 0 (1.6)
зону проскальзывания Г^, где в предположении |[и^ 0 будем иметь
["3] < 0, |аТ = /Ст(-["3] )т, 01 = Н (1.7)
т-М
и, наконец, на зону предельного равновесия ГС0 , где выполняются условия
["3] < 0, |аТ = /Ст(-["3])т, [ит] = 0 (1.8)
Поясним, что при записи граничных условий (1.3) и (1.4) были приняты во внимание условия статического равновесия
[033] = [ 031] = [032] = 0 (1.9)
В ситуации общего положения множества г0*) и гСо, на которых ставятся избыточные граничные условия, представляют собой линии смены типа краевых условий. Следует подчеркнуть заранее, что асимптотические модели, получаемые в результате применения метода осреднения, не способны описать поведение слоистой среды в
окрестностях множеств Г0 и ГС0 .
Как отмечалось ранее [7], при переходе к пределу ст ^ +<х> в решении контактной задачи с условиями нормальной податливости (1.3) получается решение задачи со следующими условиями одностороннего контакта:
["3] > 0, о33 < 0, о33["3] = 0 (1.10)
Второе неравенство (1.10) гарантирует отсутствие растягивающих нормальных напряжений на Г(л), а первое допускает раскрытие контактирующих поверхностей (с образо-
ванием полостей) и одновременно запрещает их взаимное проникновение. Таким образом, условия (1.10) отвечают случаю пренебрежимо малой шероховатости.
Относительно коэффициента жесткости ст сделаем следующее предположение:
ст = г-тс* (1.11)
где величина с~т не зависит от параметра е . Ясно, что значение коэффициента ст должно быть достаточно большим, чтобы предотвращать ощутимые взаимные проникновения контактирующих поверхностей. Мотивацию к выбору явной зависимости (1.11) можно пояснить тем, что при некоторых предположениях коэффициент ст обратно пропорционален максимальной высоте микронеровностей в степени т.
2. Контакт упругих слоев при наличии адгезии. Пусть при формировании пакета между слоями нанесли тонкие клеевые прослойки, толщину которых в сравнении с толщиной слоев будем считать пренебрежимо малой. На поверхности раздела Г^, следуя
известному подходу [23], зададим функцию сцепления в (г, х1; х2, х3^), зависящую от времениподобного параметра г и координат, призванную характеризовать интенсивность сцепления между контактирующими поверхностями.
Величина Р принимает значения от нуля до единицы, причем при Р = 0 все связи
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.