научная статья по теме ОСРЕДНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ НЕОДНОРОДНОГО ТЕЛА Механика

Текст научной статьи на тему «ОСРЕДНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ НЕОДНОРОДНОГО ТЕЛА»

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 1 • 2014

УДК 539.3:534.1

© 2014 г. В. И. ГОРБАЧЕВ, А. Н. ЕМЕЛЬЯНОВ

ОСРЕДНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ НЕОДНОРОДНОГО ТЕЛА

В работе рассматривается проблема осреднения краевой задачи для неоднородного тела, обладающего моментными свойствами — исходная задача. Под осреднением понимается тот или иной способ представления решения исходной задачи через решение точно такой же задачи для тела с однородными свойствами. Задачу для тела с однородными свойствами будем называть сопутствующей задачей, а само тело — сопутствующим однородным телом. Конструктивная процедура осреднения, как правило, включает в себя три этапа: на первом этапе по свойствам неоднородного тела находятся свойства сопутствующего однородного тела (эффективные свойства); на втором этапе решается краевая задача для сопутствующего тела; на третьем этапе по решению сопутствующей задачи находится решение исходной задачи. Такой подход реализован в механике композиционных материалов, построенных из большого числа представительных элементов. Существенный вклад в развитие механики композитов внесен Ю.Н. Работновым [1—3] и его учениками. В последнее время широкое распространение получил метод осреднения задач для композитов регулярной структуры, основанный на разложении решения исходной задачи в ряд по степеням малого геометрического параметра, равного отношению характерного размера ячейки периодичности к характерному размеру всего тела. Первыми в этом направлении являются работы Н.С. Бахвалова [4—6] и Б.Е. Победри [7]. К настоящему времени вышло большое количество монографий, посвященных частично или полностью методу малого геометрического параметра [8-14].

Отдельные задачи для неоднородных тел при непериодической зависимости свойств от координат рассматривались во многих работах. Большинство таких работ, вышедших до 1973 года собраны в двух обширных библиографических указателях [15, 16]. В статьях В.А. Ломакина и в его фундаментальной монографии [17] рассмотрены общие методы и решено множество конкретных задач теории упругости непрерывно неоднородных тел. Теория кручения неоднородных анизотропных стержней рассмотрена в [18].

В 1991 году в докторской диссертации одного из авторов статьи был предложен вариант метода осреднения, основанный на интегральной формуле представления решения исходной статической задачи неоднородной теории упругости через решение сопутствующей задачи [19, 20]. Позже была опубликована интегральная формула для динамической задачи теории упругости [21]. На основе этой интегральной формулы был разработан конструктивный метод осреднения динамических задач неоднородной упругости, пригодный как при периодической, так и при непериодической неоднородности свойств [22]. Интегральная формула для случая моментной теории упругости была опубликована в [23]. В нижеследующей работе

кратко излагается конструктивная методика осреднения задач моментнои упругости, основанная на интегральной формуле.

Ключевые слова: Упругость, неоднородное тело, моментная теория, композит, осреднение.

1. Постановка исходной и сопутствующей задач [24]. В моментной теории упругости кроме напряжений <3у и деформаций вгу присутствуют тензоры моментных напряжений Цу и тензор искривлений ху. Все эти тензоры несимметричны. Постановка статической задачи моментной упругости состоит из уравнений равновесия

° А, У + = 0 ^ у, у + У ук + Ъ = 0 (1Л)

определяющих соотношений

^ у = С1]тп^ пт + Вутпхпт; Ц у = Вутп^ пт + ^утпхпт (1.2)

соотношений типа Коши, выражающих деформации и искривления через компоненты вектора перемещений и1 и вектора вращений ю;:

xnm = am,n (I-3)

и граничных условии

«¿is = ui ; ю(-|2 = (1-4)

Коэффициенты Cymn, Dymn, Bymn являются компонентами тензоров четвертого ранга. Они симметричны по первоИ и второИ парам индексов, но не симметричны по индексам

в парах. Физическая размерность у этих тензоров разная: [ ц ] = g ], [ C ] = [/]0[ g ],

1 2

[ B ] = M [ 5 ], [ D ] = M [ 5 ] - Здесь £ — длина, относящаяся к структуре материала (структурный параметр), например, характерный размер неоднородности, характерный размер представительного элемента композита, характерный размер ячейки периодичности для композита с регулярной структурой. Квадратные скобки от символа обозначают размерность величины, помеченной этим символом.

Под сопутствующей задачей будем понимать задачу аналогичную исходной задаче для тела той же самой формы и с теми же входными данными, но с другими материальными характеристиками Cjkl, D0kl и Вщ. Обозначим через и, e у, т у перемещения, деформации и напряжения, а через у,., Пу, Vy — углы вращения, моментные деформации и моментные напряжения в сопутствующей задаче. Постановка сопутствующей задачи дается следующими формулами:

т Л, У + X = 0; V j + €jkT jk + Yi = 0 (1.5)

T ji = Clklelk + Bijklnlk'; v ji = Bykleik + Dyklnlk (1.6)

ejk = Uk,i + € kisV S; n,k = V kj (1.7)

U'is = uj; V ¿is = (1.8)

Уравнения сопутствующей задачи сводятся к следующей системе уравнений: Ci'klelk, j + ЩыЩ^у + Xi = 0

bmeik, у + dmnlk, у + €ijr (cjklelk + Bjklnlk) + Yi = 0 (1.9)

2. Интегральные формулы в статической задаче моментной теории упругости для неоднородного тела. В работе [23] были получены интегральные формулы, связывающие решения однотипных краевых задач для неоднородного и однородного упругих тел одной и той же формы и при одних и тех же входных данных

Ui(x) = Ui(x) + §Zki(x, Q[Chpq - Cklp9©] + Kk)(x, 'Q[BkiPq - Bkipq(ty]}epq(tydV^ ■

1«/.. кчг^0 ^ /K41 , K«/ V

$k) (x, ty) [B°ipq - Bkipq (ty) ] + Kk) (x, ty) [Dklpq - DUpq (ty) ] }npq (ty)dV^

(2.1)

+

V

Z2«/ кчг^О ,tt41 , 2(i)

®i(x) = ViM + J [£k)(x, ty[Chpq - Cklpq&] + K(k)(x, ^[B^ - BMpq(ty]}e pq&dV^

V

J^(xMBllpq - Bklpq(Q] + ^(x, ^[Dkipq - Dklpq^)]}pq(QdV^

(2.2)

+ V

a (П, ^ a (i) / E-. , a W/ a W, £4 a ('К 1

ekl(x, C) = Ulk(x, t) + €lks ffl, (x, t), кkl(x, t) = &l,k(x, t), a = 1,2

где u \x, £,) и со/ \x, i) — компоненты тензоров перемещений и вращений Грина. В статической задаче моментной теории упругости тензоры Грина можно ввести двумя различными способами. В первом случае в точке £ тела задается единичная сосредоточенная сила, направленная по оси xk, которая в точке x тела вызывает перемещение

1(kh еч 1 (k'h яч -г. е

Ui (x, q) и вращение ю; (x, с,). Во втором случае в точке с тела задается единичный сосредоточенный момент, направленный по оси xk. При этом в точке x тела возникает

перемещение uf\x, £,) и вращение & f\x, £,). В обоих случаях граничные условия принимаются нулевыми.

3. Представление в виде рядов. Предположим, что деформации и искривления в сопутствующей задаче являются гладкими функциями координат xi. Тогда в окрестности любой точки £ с V их можно представить через значения в точке x с V в виде рядов Тейлора

да да

ekl(©) = Z Пh..iq(© x)eklA,Jq(x), км(©) = X Пk..iq(©, x)KklA.Jq(x), (3.1)

q=0 q=0

nh.J,fe x) = ifo - xh) ... ^ - xq) (3.2)

Подставив выражения (3.1) в формулы (2.1) и (2.2), получим представление решения исходной задачи моментной теории упругости в виде рядов по всевозможным производным от деформаций и искривлений в сопутствующей задаче:

да

ui(x) = Ui(x) + Z [N imn(q)(x) дqenm(x) + Uimn(q)(x) дqnnm(x)] (3.3)

q=0

ОТ

®i(x) = 4i(x) + Z [Vimn(q)(x) дqenm(x) + Mimniq)^) дqnnm(x)] (3.4)

q=0

Здесь применен сокращенный способ записи формул так, что, например

&jiqNimniq-l) дqenm = &jiqNimnii---iq-i enmA...iq.

4 Механика твердого тела, № 1

97

Коэффициенты рядов Ы1тп(ч), иЫп(ф, УЫп(ф, М1тп{я) - непрерывные функции координат, обращающиеся в нуль на границе тела: (Ы, и, М, У),-т„(д)!х = 0. Они представляют собой взвешенные моменты деформаций и искривлений Грина исходной задачи [25]. Эти функции тождественно равны нулю для однородного материала и отличны от нуля в случае неоднородного материала. Вид (Ы, и, М,У)1тп(д)-функций определяется функциональной зависимостью от координат физико-механических характеристик материала, поэтому имеет смысл назвать их структурными функциями. Функции (Ы, и, М, У)ш„(9) образуют структурные тензоры ранга q + 3.

Физическая размерность у структурных функций такова: [Ы/тп(1)] = [£)1+1, [и^^] = [£]1+2, [^-ти(г)] = М1, [Мгтв(г)] = [£]1+1. Ряды для деформаций и искривлений принимают вид:

(3.5)

+ ^^ {[Ышп(д),у + ^]1дЫ1тп(д-1) + ^ijSVsmn{д)\ ддепт + 1=0

+ [Uimn(q),j + ^jiзUimn(д-1) + ^(/зМзтп(д)] ддппт}

П' + ^ |{'ти(1),/ + ^''1^'тк(1-1)] ддепт + [Mгmn(g),у' + ^/1дМ1тп(д-1)] ддПпт } (3.6) 1=0

После этого запишем выражения для силовых и моментных напряжений

от

= ^ [Сутп(д) д 1впт + ВутЫд) д 1Ппт] (3.7) 1=0

ОТ

Ц' = ^^ [BУ'mn(g)ддепт + ^1}тп(1)дпт] (3.8) 1=0

Коэффициенты в рядах (3.7), (3.8) для напряжений имеют следующую размерность:

[Сцт«9)] = [I] V], 'д)] = [ВВ'тп(д)] = [I]1 '1)] = [I]1+2[с]

Выражение коэффициентов Сцтп(я), Ву'mn(д), Ёцтп(яУ Ь)утп(1) через (Ы> и> М> У)1тп(3)-

функции будут следующими (для случая q = 0 индекс (0) опускается):

С утп(0) = С утп = СЦтп + С ук1(Ыктп,1 + е к\УЕтп) + -В'кУктп,! (3.9)

В>'тп(0) - Вутп = Вцтп + Су'к1(иктп,1 + екЪМ\тп) + Ву'к1Мктп,1 (3.10)

В'тп(0) ~ Вутп = Вутп + Вук1ктп,1 + екЬ^этп) + ЬукУктп,1 (3.11)

Ьу'mn(0) — Ьутп = Ьутп + Вц'к1 (ик тп,1 + е кЬМ\тп) + Ьцк1Мктп,1 (3.12) а при 1 > 1:

С1]тп(1) = С'к1[Ыктп(1),1 + ктп(1-1) + еИ^тп(1)] + В1]к1\^ктп(1),1 + § иУктп(1-1)] (3.13)

В дтЫ^) = Сук!\иктп^)^ + ктп(Л-Х) + е кЪМвтп^ + Вцк1[Мктп(Я),1 + ктп(1-1)] (3.14)

В Цтп{Д) = Вцк1[Ы ктп(д),1 + 8 ИяЫктп(д-Х) + е к1вУвтп(д)] + Ь1]к1\^ктп(д),1 + 8 иУктп(Я-Х)] (3.15)

30

Ь'тп(1) = ВУк1[иктп(1),1 + ктп^-1) + е кЬМтп(1)] + Ьук1[Мктп(1),1 + ^ 1'3Мктп(1(3.16)

Подстановка рядов (3.7), (3.8) в уравнения равновесия исходной задачи дает

от

[(С1]тп(1),'' + CUуmn(g-l))д 1епт + (Вутп(1)+ Biijmn(g-1)) д 1Ппт] + Х1 = 0

1=0

от

[(BУ'mn(g),'' + Biijmn(g-1) + ^¡]гСг]тп(1)) д 1епт + 1=0 (3.17)

+ (Ьдтп(1),'' + ЬИ1тп(1-1) + еijrBrjmn(з)) д 1Ппт] + = 0

Перепишем уравнения (1.9) сопутствующей задачи следующим образом:

Сщтпепт' + ВщтпПпт'1 + = 0

Вщтпепт, + ЬщтпПпт'1 + е' ^Рг'тп^пт + BrjmnП пт) + ^ = 0 (3.18)

Сравнивая теперь уравнения (3.17) и (3.18), получаем

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком