научная статья по теме ОСТРОВА И ЭРГОДИЧНОСТЬ ТОКА В ПЛАЗМЕ ТОРОИДАЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ЛОВУШЕК Физика

Текст научной статьи на тему «ОСТРОВА И ЭРГОДИЧНОСТЬ ТОКА В ПЛАЗМЕ ТОРОИДАЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ЛОВУШЕК»

ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2014, том 40, № 6, с. 503-515

= ТОКАМАКИ

УДК 533.9.01

ОСТРОВА И ЭРГОДИЧНОСТЬ ТОКА В ПЛАЗМЕ ТОРОИДАЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ЛОВУШЕК

© 2014 г. А. А. Сковорода, Е. А. Сорокина

НИЦ "Курчатовский институт", Москва, Россия e-mail:skovorod@nfi.kiae.ru,sokate@mail.ru

Поступила в редакцию 23.09.2013 г. Окончательный вариант получен 26.11.2013 г.

Гамильтоново описание используется при анализе магнитных и токовых структур, возникающих в результате резонансных возмущений равновесной тороидальной магнитной конфигурации с током. Основное внимание уделяется осесимметричным конфигурациям токамака и пинчей. Показано, что из-за сильного различия в зависимостях магнитного и токового вращательного преобразований от давления плазмы, резонансы (острова) поля и тока могут не совпадать. Рассмотрено возмущенное бессиловое равновесие пинча в цилиндре, где острова поля и тока совпадают. Дается объяснение долгоживущей ribbon-структуры, наблюдаемой в токамаке JET, как бессилового магнитотоко-вого острова.

DOI: 10.7868/S0367292114050084

1. ВВЕДЕНИЕ

За последние десять лет накопились многочисленные экспериментальные свидетельства наличия локальных токовых структур в токамаках, обращенных пинчах (RFP) и сферических токамаках, см., например, [1]. Ключевое слово здесь токовые. Хотя в работах [2, 3] было показано существование стационарного решения идеальных МГД-уравнений в тороидальной плазме в виде токовихревой нити (current carrying filament) и были получены уравнения взаимодействия нескольких токовихревых нитей, униполярный ток при объяснении наблюдаемых структур и вызываемых ими явлений в токамаке, как правило, не учитывался.

Новейшие наблюдения сильных токовых структур на периферии плазмы ассоциируются с активностью краевых локальных мод (ELM) в улучшенном H-режиме удержания плазмы тока-мака, которые схожи с локальными blob-структу-рами, наблюдаемыми в L-режиме удержания [4]. Генерацию этих структур связывают с сильной турбулентностью краевой плазмы [5]. Помимо сравнительно короткоживущих и мелкомасштабных токовых структур наблюдаются и долгоживу-щие достаточно крупные винтовые токовые структуры (ribbon) [6]. В работе [6] наблюдавшиеся ранее в токамаке JET МГД-колебания под названием Outer Mode были идентифицированы как долгоживущий (длительностью 1.4 с) тороидально вращающийся с ионной скоростью (co-rotating) винтовой (m = 4, n = 1) токовый (ток 100— 300А в направлении основного разрядного тока) замкнутый филамент диаметром несколько сан-

тиметров. Эта локальная токовая структура (Юге-БЬМ) возникает спонтанно при небольшой плотности плазмы на малом участке плоского профиля давления пьедестала и исчезает с генерацией первого БЬМа. Теоретическое описание наблюдаемых явлений далеко от завершения.

В настоящей работе рассматриваются островные пространственные структуры, формируемые силовыми линиями магнитного поля и тока в результате малых глобальных резонансных возмущений базовых равновесных тороидальных конфигураций с током. Пренебрегая токами смещения, имеем связь вектора плотности тока '} с

с

вектором магнитного поля В, ' = УхВ, — > 1,

и А

где с — скорость света, и А — скорость Альвена. Естественная соленоидальность плотности тока V •' = 0 отражает условие непрерывности и квазинейтральности в плазме. Соленоидальность ' дает основание для использования гамильтонова описания силовых линий плотности тока по аналогии с гамильтоновым описанием силовых линий соленоидального магнитного поля, V • В = 0. Такое описание проведено в работе [7], где показано, что отмеченная выше аналогия приводит к понятиям остров тока и эргодичность тока. Основное внимание в настоящей работе уделяется осесимметричным базовым конфигурациям (то-камак, пинч).

Статья организована следующим образом. Раздел 2 посвящен гамильтонову описанию магнитного поля и тока. В 3 разд. демонстрируется формирование пространственных структур и эр-

годичности силовых линии вектора плотности тока при задании резонансного возмущения гамильтониана магнитного поля. Возмущение гамильтониана тока рассчитывается, исходя из связи = V х В. Важно заметить, что при этом не требуется сохранение условия равновесия. Таким образом, проводимое в разд. 3 рассмотрение ничего не говорит о дальнейшей быстрой (с альфве-новскими скоростями) эволюции возникающих возмущений, а только демонстрирует возможность образования островных структур и эргодичность тока. В четвертом разделе рассматривается возмущенное бессиловое равновесие в цилиндре. В отличие от разд. 3, в разд. 4 требуется сохранение равновесия при возмущении. В разд. 5 дается описание г1ЪЪоп-структур как бессилового магнитотокового острова. Заключение завершает статью.

2. ГАМИЛЬТОНОВО ОПИСАНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ И ТОКОВ

Известно, что тороидальное магнитное поле, в том числе и эргодическое, можно представить в виде

2пВ = УФ х У а2 + х Уа3,

(1)

где

¥ = ¥ (Ф, а2, а3)

— гамильтониан поля,

Ф, а2, а3 — радиальная, угловые полоидальная и тороидальная координаты [8]. Используя (1), записываются гамильтоновы уравнения магнитных силовых линий

йа2 В • Уа2 _ (д^

йа3 В • Уа3 1дФ,

йФ В •УФ

йа3 В •Уа3 чда2 у

(2)

Ф, а = сош!

Магнитные конфигурации с вложенными магнитными поверхностями (базовые конфигурации) характеризуются гамильтонианом ¥ = ¥ 0 (Ф 0), где ф = ф 0 принимает смысл тороидального магнитного потока, а ¥ 0 — внешнего полоидального магнитного потока. При этом из (2) следует

й а2 дЧ

й Ф

йа -дФ1= *(Ф0), йа=0,

йа дФ0 йа

(3)

где ц 0 — вращательное преобразование магнитного поля. Для задания базового гамильтониана равновесного магнитного поля достаточно знать функцию ц 0 (Ф0). Заметим, что использованные в

/1 \ 2 3

(1) специальные угловые координаты а , а выпрямляют магнитные силовые линии [9].

Естественным дополнением к представлению магнитного поля (1) служит потоковое представление плотности тока '} = V х В

2%} = УI х Уа2 + УР х Уа3,

(4)

порождающее токовое представление магнитного поля

2п В = IV а2 + Р Уа3 + Уи.

(5)

Здесь токовые функции I, Р (ф, а2, а3) — периодические функции угловых координат а2, а3, периодическая функция с нулевым средним значением и (ф, а2, а3) определяется из условия V • В = 0. Используя (4), записываются уравнения силовых линий вектора плотности тока1

дР

дР д1

йа21 __дФ [ йФ) _ да2 да3 йа3); , Iйа3

(6)

д1_

дФ дФ

Равновесие базовой магнитной конфигурации с вложенными магнитными поверхностями требует выполнения условия ' УФ = 0. В (6) это

йФ

означает выполнение равенства, 3

чйа / ]

= 0 или

дР д1

да2 да3

= 0.

(7)

Общее решение уравнения (7) имеет вид Р =

Р(Ф0) + -Щ, I = ] (ф0) + . В результате (5)

да да

принимает стандартный вид [9]

2пВ = / (Ф0) Уа2 + Р (Ф0) Уа3 - vVФ0 + Уф, (8)

где т = и + Е, V = —. Специальным выбором уг-дФ

ловых координат (координаты Хамады) всегда можно получить V = 0 и выпрямить токовые траектории [9]

йР

--й-Р(®0).

йа

(9)

йМ М йФ 0

Здесь ц7 — токовое вращательное преобразование. В этом случае Р = Р (/) является токовым га-

мильтонианом.

Используя интегральное уравнение равновесия Крускала—Калсруда

йФ 0 йФ 0 йФ 0 йФ 0 йФ 0'

(10)

1 Предполагаем наличие тороидального тока, — Ф 0.

дФ

Рис. 1. Сечение Пуанкаре при у = 0.005, (а) для магнитного поля (23), (б) для плотности тока (24) при р р = 0.001, (в) вр = 0.25, (г) вр > 0.35.

можно получить для Ц J формулу

Ц j = Цо

f dp йУ л d W 0 dФ

1 --

dJ

(11)

о у

Здесь p = p (¥ 0) — давление плазмы, V = V (Ф 0) — объем внутри магнитной поверхности Ф 0 = const. Функция p (¥ 0) считается известной. При dp

d

= 0 (бессиловое равновесие) вращательные

преобразования тока и поля совпадают, ц j = ц 0.

При увеличении градиента давления

dp d¥o

> 0 то-

ковое вращательное преобразование уменьшается до нуля при-= 0 (параметр бета, В , рассчи-

аф Р

танный по полоидальному магнитному полю близок к единице, рр ~1). Токовое вращательное преобразование меняет знак при дальнейшем увеличении давления, рр > 1.

Мы приходим к важному выводу, что токовое вращательное преобразование значительно более

чувствительно к изменению давления плазмы, чем магнитное вращательное преобразование. Это является причиной появления существенных различий в виде и положении пространственных структур магнитного поля и тока.

3. ОСТРОВА И ЭРГОДИЧНОСТЬ СИЛОВЫХ ЛИНИЙ '

Используя равновесные координаты Хамады Ф0, а2, а3, зададим малое возмущение у <§ ¥0 базового гамильтониана магнитного поля2

¥ = ¥ 0 (Ф 0 ) + У (Ф 0, а2, а3). (12)

Получим выражения для соответствующих возмущений /, 1,3 в токовом представлении магнитного поля

Р = Т (Фс)+ / (Фс, а2, а3), I = I (Ф0) +1 (, а2, а3), (13)

и = ф + $(ф0, а2, а3).

2

В возмущении у использованы координаты Хамады, полученные в невозмущенном равновесии. Такая процедура корректна для малых островов вдалеке от магнитной оси. Поэтому рис. 1в, 2в, 4в надо рассматривать только как тенденцию.

Для этого приравняем токовое (1) и потоковое (5) представления магнитного поля в ко- и контрвариантных обозначениях

f

да

ез-dL e 2

дФо да

i +

ду §23 + gi3

0Фо^§ да2 V§'

§22 , §12

2 ei

где ei = -drj, 4§ =

= /Уа2 + PVa3 + Vu (14) 1

да2 дФо4§ да24§'

§12 + ду §11

дФо

да1' УФ0 (Уа2 хУа3)

— якобиан. В

основном и первом порядках разложения получаем

§33 + Ц 0 §23

Vi

_ F +

дф §23 + Цо§22 _ J + дф

да3' 4§ §13 + Цо§12 _ дф

4§ дФо'

да

da2 da3

dФ da3

§12

(15)

д 2у

да2 41'

Здесь g¡k — метрика базовой конфигурации. Из последнего уравнения системы (16) определяем 9 и затем I и/, которые входят в уравнения для токовых траекторий (6).

Осесимметричная магнитная конфигурация Рассмотрим магнитную конфигурацию с метрическими коэффициентами g13 = g23 = 0. После простых преобразований приходим к системе уравнений для силовых линий плотности тока

2

§11 д у

4§ дФ0да3 4§ да2да3

дФ0

1 +

дФ0

дУ §22 + _дУ§12 дФо V§ да2 V§

да2

ду §12 +_ду §11 дФо^ да24~§.

дФ0

-1 -

(

§ 22

д 2у

§12

д 2у

V§ дФ0да3 -J§ да2да3

J

дФ0

(17)

1 +

§22 + _дУ §12 дФо I дФо Vi да2 Vi,

да2

ду §12 + _дУ §11 дФо4§ да^

j

дФо

-1 -

Общие формулы (17) еще более упростим, рассмотрев цилиндри

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»