МОЛЕКУЛЯР НАЯ БИОФИЗИКА
УДК 577.323
ОТ МАЯТНИКА ДО ДНК
© 2013 г. Л.В. Якушевич
Институт биофизики клетки РАН, 142290, ПущиноМосковской области E-mail: yakushev@icb.psn.ru Поступила в p едакцию 20.11.12 г. После доработки 05.02.13 г.
В обзоре систематизированы результаты по моделированию угловых колебаний азотистых оснований как в коротких, так и в длинных (в пределе - бесконечных) фрагментах полинук-леотидных цепей ДНК. Материал расположен таким образом, чтобы представить результаты исследований в развитии, начиная с тех, которые были получены в рамках простейших моделей, таких как маятник или пара связанных неодинаковых маятников, а затем и для более сложных моделей ДНК. Описание особенностей динамического поведения всех рассматриваемых модельных систем выполнено на едином математическом языке, представляющем состояние модельной системы как точку, движущуюся по определенной траектории в фазовом пространстве.
Ключевые слова: динамика ДНК, угловые колебания оснований, моделирование, фазовая траектория, маятник.
И сследования конформационной подвижности молекулы ДНК, в том числе и угловых колебаний азотистых оснований, являются одним из наиболее перспективных и многообещающих направлений современной биофизики. Они необходимы для решения задач, связанных с поиском взаимосвязи внутренней динамики и функции ДНК, а также для выяснения динамических механизмов функционирования молекулы. Такие задачи привлекают внимание все большего числа исследователей, поскольку дают надежду найти динамические рычаги управления биологическими процессами, происходящими на молекулярном уровне.
Дополнительный импульс развитию исследований конформационной динамики придают результаты экспериментов по переносу заряда вдоль молекулы ДНК [1], имеющие важные приложения в наноэлектронике. Среди исследователей, занимающихся этой проблемой, растет убеждение, что именно нелинейные кон-формационные волны во многом определяют скорость этого переноса [2].
В данном обзоре мы рассмотрим работы, посвященные только одному виду конформаци-онной подвижности ДНК - угловым колебаниям оснований вокруг сахаро-фосфатных цепей. П ре-дыстория развития этих исследований началась с появления одного из первых подходов к исследованию угловых колебаний, который был блестяще продемонстрирован в работе Инглэн-дера и соавторов [3]. Для моделирования кон-
формационной динамики одной из двух поли-нуклеотидных цепей ДНК эти авторы предло-жили использовать хорошо известный в физике механический аналог - цепочку связанных маятников, подвешенных на горизонтальной нити (рис. 1) [4]. В такой модели маятники имитировали азотистые основания, горизонтальная нить - сахаро-фосфатную цепочку, а гравитационное поле - среднее поле, наводимое второй полинуклеотидной цепочкой. Такой способ моделирования дал возможность написать уравнение для амплитуды угловых колебаний ф(г, t),
1фп - К'а2фгг + Vsinф = 0, (1)
а его решения (кинки) использовать для интерпретации результатов экспер иментов по водо-родно-тритиевому обмену в ДНК. Уравнение (1) содержало четыре параметра: I - момент инерции оснований, K' - коэффициент жесткости сахаро-фосфатной цепочки, а - расстояние между ближайшими парами оснований, V - коэффициент, характеризующий внутреннее поле, в котором происходят колебания оснований. Основной вклад в это поле вносят водородные взаимодействия между основаниями внутри пар.
Публикация работы Инглэндера и соавторов [3] имела большой успех и привела к появлению множества других моделей, улучшающих и развивающих этот подход. Среди них модели Ямосы [5], Такено и Хомма [6], Крум-хансла с соавторами [7], Федянина с соавторами
Рис. 1. Цепочка связанных маятников.
[8], Жанга [9], Якушевич [10-13]. Наиболее интересные результаты, полученные в рамках этих моделей, были суммированы в обзорах Скотта [14], Жоу и Жанга [15], Якушевич [16-18], Гаеты и соавторов [19], в лекциях [20] и монографиях [21-23].
В настоящем обзоре представлен материал, отражающий продолжение этих исследований в настоящие дни. П ри выборе порядка изложения этого материала мы обратились к замечательной книге Заславского и Сагдеева [24]. В ней результаты теоретических исследований сложных динамических систем были представлены как движение и развитие математических моделей, начиная с простой модели маятника и заканчивая сложнейшими динамическими моделями, близкими к реальным физическим системам. Аналогичным образом будут представлены результаты и в нашем обзоре. Вместо описания моделей в порядке появления их в научной литературе мы расположим модели в порядке возрастания их сложности (рис. 2). Начнем с самой простой модели угловых колебаний отдельных оснований - модели нелинейного маятника (рис. 2, модель 1). Затем перейдем к модели пары колеблющихся оснований (рис. 2, модель 2). Далее рассмотрим модель из нескольких пар оснований (рис. 2, модель 3) и, наконец, рассмотрим бесконечную цепочку колеблющихся оснований.
Для описания р езультатов исследования особенностей динамического поведения каждой из рассматриваемых моделей будет использован единый подход, оперирующий представлением о состоянии динамической системы как о точке, движущейся по определенной траектории в фазовом пространстве. В тех случаях, когда данные, представленные в цитируемых работах, недостаточно полны, мы провели дополнительные расчеты с тем, чтобы заполнить имеющиеся
Рис. 2. Двойная спираль ДНК с тремя выделенными фрагментами (слева) и три модели, имитирующие угловые колебания оснований в этих фрагментах (справа).
бреши и получить полную картину. Это дало нам возможность сравнить результаты, полученные для разных моделей, а также сделать прогнозы о путях их дальнейшего р азвития.
МАЯТНИК КАК МОДЕЛЬ, ИМИТИРУЮЩАЯ УГЛОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОТДЕЛЬНОГО О СНОВАНИЯ
Самая простая модель угловых колебаний азотистых оснований была рассмотрена в работе [25]. Следуя логике этой работы, выделим небольшой фрагмент полинуклеотидной цепи, содержащий только одно азотистое основание (рис. 2, фрагмент 1). Пренебрежем внутренними степенями свободы этого основания и будем рассматривать его как твердое тело массы т. Расстояние от центра масс основания до сахаро-фосфатной цепочки обозначим буквой Я. Тогда задачу об угловых колебаниях азотистого основания ДНК можно свести в первом приближении к задаче о колебаниях нелинейного маятника (рис. 2, модель 1) с лагранжианом [26,27]:
Ь = 2-Ф2 - V (1 - со8ф)
и уравнением движения:
1ф(( + Vsinф = 0,
(2)
(3)
где ф(г) - угол отклонения маятника от положения равновесия, I = тЯ2, V = mgR, g -гравитационная постоянная.
Так же как и в работе [25], перепишем обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка (3) в виде двух дифференциальных уравнений первого порядка:
ф, = и =
ш2зт ф;
(4)
где ш0 = (У//)172 = ^/Я )1/2 - ча стота колебаний маятника. Из всего многообр азия решений ра с-смотр им только наиболее хар актер ные, т .е. те, котор ые наблюдаются вблизи о собых точек на фазовой плоскости {ф; ф1} (рис. 3). Так как ур авнения (4) инвар ианты относительно сдвига функции ф на ±2пп, то достаточно огр аничиться р а ссмотр ением о собых точек внутр и интер вала (-П, + п).
Из условий
Ф, = 0; = 0 найдем коор динаты этих точек:
б 1 = {0; 0}; б 2,3 = {±п;0}.
Основание
/ 10-44, кг-м2
А Т
7,61 4,86
У 10-20, Дж
2,09 1,43
81и (8ф) = 5ф - 3 + ...
(5)
(6)
Как показано в работе [25], только одна из этих точек (точка б 1) устойчивая, а о стальные (б2 и б3) - неустойчивые. Приведем ниже результаты анализа динамического поведения модельной системы вблизи этих точек. Для кр ат-кости огр аничимся иллюстр ацией результатов, полученных только для двух видов оснований: для аденина (А) и тимина (Т). С оответствующие им значения коэффициентов (/ и V) были получены в работе [28] и позднее уточнены в работе [29] (см. табл. 1).
Таблица 1. Значения коэффициентов ур авнения движения
Р ис. 3. Фазовая плоскость и о собые точки б 1, б 2
и б 3.
(8ф), = 8и, (8и), = - ш0(5ф); (10)
а их р ешениями станут функции:
ф = 5ф = ф^т (ш0, - а); (11)
ф, = 8и = - и0ш0со8(ш, - а).
Во спользовавшись данными табл. 1, легко построить графики решений (ф и ф1), а также траектории движения на фазовой плоскости {ф; ф,} для аденина и тимина (см. р ис. 4).
Из рис. 4 видно, что решения модельных ур авнений (4) являются стр ого пер иодическими функциями, а фазовые траектории имеют вид эллипсов. Это говорит о том, что движения аденина и тимина вблизи устойчивой точки б 1 имеет колебательный ха р актер. Значения ча стот этих колебаний приведены в табл. 2.
Таблица 2. Значения собственных ча стот колебаний аденина и тимина
Основание
Динамика аденина и тимина вблизи устойчивой точки 01. Решение системы ур авнений (4) в этом случае можно пр едставить в виде:
ф = 0 + 5ф; и = 0+ 8и; (7)
где 8ф - малая поправка. Тогда
(8ф), = 8и; (8и), = - ш2з1и (8ф); (8)
а функцию 8т(8ф) можно р азложить в ряд по малому параметру 8ф/
А Т
ш0 10-11, с
1
5,24 5,42
(9)
и о ставить в р азложении (9) только пер вое слагаемое. В этом случае ур авнения колебаний преобразуются к виду:
Динамика аденина и тимина вблизи неустойчивой точки 0 2. На рис. 5 пр едставлены гр а -фики р ешений фиф,, а также фазовые тр аек-тор ии, пр о ходящие чер ез точку {п - 0,1; 0}, р ас-положенную вблизи и немного левее особой точки б2 Видно, что в этом случае движения о снований все еще со хр аняют колебательный хар актер, хотя фор ма колебаний и хар актер фазовы х тр аектор ий заметно изменились.
Гр афики р ешений ф и ф,, а также тр аектор ии движения, пр о ходящие чер ез точку {п - 0,1; 5-1011}, р а сположенную вблизи и немного выше неустойчивой о собой точки б 2, пр едставлены на рис. 6. Видно, что графики угловой скорости оснований ф, все еще сохраняют колебательный
Р ис. 4. Амплитуды угловых колебаний аденина (а) и тимина (г), угловые скор о сти аденина (б) и тимина (д), а также фазовые траектории аденина (в) и тимина (е) вблизи устойчивой точки Q1 = {0; 0}. Начальные условия: ф(г = 0) = 1, фи (г = 0) = 0, / = 1, 2.
хар актер, однако гр афики угловой амплитуды ф кар динально изменились.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.