ИЗВЕСТИЯ РАН. ФИЗИКА АТМОСФЕРЫ И ОКЕАНА, 2014, том 50, № 4, с. 484-488
УДК 551.46
ОТРАЖЕНИЕ ДЛИННЫХ ВНУТРЕННИХ ВОЛН МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
ОТ ПОДВОДНОГО ОТКОСА © 2014 г. Т. Г. Талипова1,2, Е. Н. Пелиновский1,2,4, О. Е. Куркина1,3, А. Р. Гиниятуллин1
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева
603950Нижний Новгород, ул. Минина, 24 2Институт прикладной физики РАН 603950Нижний Новгород, ул. Ульянова, 46 3Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики 603093 Нижний Новгород, ул. Родионова, 136 4Специальное конструкторское бюро средств автоматизации морских исследований ДВО РАН
693023 Южно-Сахалинск, ул. Горького, 25 E-mails: tgtalipova@mail.ru, pelinovsky@gmail.com Поступила в редакцию 04.06.2013 г.
Динамика длинных волн в окрестности точки перехода двухслойного потока в однослойный изучается в рамках линейной теории мелкой воды. Показана аналогия между этой проблемой и классической задачей о накате поверхностных волн на берег. Обсуждаются условия разрушения внутренних волн на откосе.
Ключевые слова: внутренние волны, пикноклин, накат волн, обрушение волн.
DOI: 10.7868/S0002351514040130
1. ВВЕДЕНИЕ
Интенсивные внутренние волны наблюдаются в различных районах Мирового океана, главным образом, в шельфовой зоне [1—3]. Различные физико-математические теории используются для численного моделирования динамики внутренних волн на шельфе от слабо нелинейных, основанных на уравнении Кортевега-де Вриза, до полно нелинейных, так называемых примитивных, уравнений гидродинамики [1, 3—6]. Внутренние волны обычно не доходят до берега, отражаясь от откоса или разрушаясь на нем. Этот процесс аналитически раньше не рассматривался в литературе, а существующие приближенные аналитические выражения получены для внутренних волн в случае плавно изменяющегося дна и медленном изменении вертикальной стратификации по плотности и течению в горизонтальном направлении [1, 7]. В зоне отражения внутренних волн от откоса приближение медленности изменения параметров среды не работает, и здесь нельзя использовать хорошо развитые асимптотические методы типа методов геометрической оптики или акустики. В данной работе мы рассмотрим простую аналитическую модель трансформации и отражения внутренних волн в двухслойном потоке жидкостей разной плотности переменной глубины. Мы предполагаем, что в некоторой точке двухслойный поток трансформируется в однослойный. Очевидно, что внутренние волны в од-
нослойном потоке не могут существовать, и такая зона играет роль "уреза" для поверхностных волн. Такая аналогия оказывается весьма продуктивной и позволяет строго сформулировать задачу отражения волны от откоса. В результате известные результаты для описания наката морских волн на плоский берег (см., например, [8]) могут быть использованы для описания внутренних волн в зоне, где двухслойный поток трансформируется в однослойный. Эта аналогия обсуждается в разделе 2. Расчетные формулы для параметров внутренней волны в переходной зоне приведены в разделе 3. Условия обрушения внутренней волны обсуждаются в разделе 4. Полученные результаты суммированы в Заключении.
2. АНАЛОГИЯ МЕЖДУ ЗАДАЧАМИ НАКАТА ПОВЕРХНОСТНЫХ И ВНУТРЕННИХ ВОЛН
Рассмотрим здесь распространение внутренних волн в двухслойном океане переменной глубины, когда двухслойный поток переходит в однослойный (рис. 1). Если амплитуда длинных внутренних волн мала и перепад плотностей мал (так называемое приближение Буссинеска, популярное в океанологии), то справедливы следующие линеаризованные уравнения мелкой воды для внутренних волн [9, 10]
Н1и1 + Н2(х)и2 = 0, (1)
- «1)
д1
+
Г' ^ = 0, дх
дП + зд №х)«2 ] = 0,
о1 дх
(2)
(3)
где мы использовали также приближение "твердой крышки", исключающее поверхностные волны. Здесь п — смещение границы раздела жидкостей разной плотности; и1 и и2 — усредненные скорости потоков в верхнем и нижнем слоях; к1 и к2(х) — глубины верхнего и нижнего слоев, и £ = = £(Р2 — Р1УР1 — редуцированное значение ускорения свободного падения. Предполагается, что толщина верхнего слоя Н1 остается постоянной, а меняется только толщина нижнего слоя к2, а, следовательно, и полная глубина Н(х) = Н1 + к2.
Исключая скорость потока в верхнем слое из (1) и применяя процедуру перекрестного дифференцирования к уравнениям (2) и (3), получаем волновое уравнение для смещения границы раздела
д 2ц д1
<д_ дх
с 2(х) дп" дх.
= 0,
где
с(х) =
//(х) ' /1 + Ь(х)
(4)
(5)
к Р1
к2(х) \ Р2
определяет скорость распространения длинных волн в двухслойном океане.
Волновое уравнение (4), записанное в таком общем виде, получается для описания многих волновых движений в неоднородных средах [11], так что имеется возможность переноса ряда известных результатов общей теории волн на внутренние волны. Здесь мы обратим внимание на аналогию с поверхностными волнами в однородной жидкости, для которых уравнение (4) описывает смещение водной поверхности, а скорость распространения волн есть
с(х) = Щх), (6)
где Н(х) — глубина бассейна. В случае водного бассейна, ограниченного берегом, к(х) начинается с нуля и увеличивается с удалением от берега. Изучение параметров волны вблизи точки к = 0 (урез воды) позволяет описать накат волны на берег в линейном приближении. Особенно популярна здесь модель плоского откоса
к(х) = ах, (7)
где а — тангенс угла наклона берега, который очень часто может быть отождествлен с самим углом в силу его малости. Очевидно, что формула (7) может рассматриваться как естественная асимптотика донного профиля вблизи берега — это первый член разложения функции к(х) в ряд Тейлора. На практике, однако, часто реализуется сингулярная асимптотика к(х) ~ хь, при этом показатель степени Ь может быть как меньше единицы
Рис. 1. Геометрия двухслойного потока переменной глубины.
(хорошо известный равновесный профиль Дина с Ь = 2/3), так и больше единицы (безотражательный пляж с Ь = 4/3), хотя случай Ь = 1 также часто встречается (см., например, [12, 13]).
Профиль (7) занимает особое место и в теории наката морских волн на берег. В этом случае удается получить точное решение нелинейной теории мелкой воды и описать в деталях процесс наката морской волны на берег (см., например, [8]). Сильным и неожиданным выводом нелинейной теории оказалась возможность использования линейного волнового уравнения для расчета экстремальных характеристик наката (максимальная высота наката и глубина отката, максимальные скорости потока при накате и откате): экстремальные характеристики, рассчитанные в рамках нелинейной и линейной теорий, совпадают между собой. Более того, критерий обрушения волн на откосе, следуемый из нелинейной теории как условие градиентной катастрофы, может быть получен из решения линейной теории [8, 14]. Именно поэтому линейная теория наката морских волн на берег, развитая уже довольно давно (ссылка), остается популярной.
В силу полной аналогии между линейными волновыми уравнениями для поверхностных волн и волн на границе раздела можно предполагать, что результаты, полученные для поверхностных волн, переносятся на внутренние волны. Естественно, что для этого необходимо соответствующее масштабирование глубин, приводящих к одинаковым изменениям в скорости распространения. Сопоставляя (5)—(7), получаем условие на изменение толщины нижнего слоя с расстоянием
/2(х) =
в х
1 - вх/К (8)
с произвольным значением коэффициента в, определяющим наклон дна в точке х = 0, где двухслойный поток переходит в однослойный, и эту точку естественно назвать "урезом" для внутренних волн. Главное отличие профиля (8) от (7), что он существует только на конечных расстояниях от "уреза" (х < 1/рк1), но это ограничение не представляется существенным, так как позволяет сши-
486
ТАЛИПОВА и др.
где
Р =
кк
ЬН 0
(9)
Соответствующий профиль толщины нижнего слоя схематично показан на рис. 2. Мы не показываем здесь область однослойного потока (х < 0), так как интуитивно предполагаем, что глубина Н2 в ней становится отрицательной (фактически начинает убывать толщина верхнего слоя Нх), чтобы внутренняя волна могла накатываться "физически" на откос. Однако движение в этой области является существенно нелинейным и не может рассматриваться в рамках линейного волнового уравнения. Как и в аналогичных задачах поверхностных волн, мы ограничиваемся рассмотрением области х > 0, где присутствуют жидкости разных плотностей.
Сделаем еще одно важное замечание. Из сопоставления (5)—(8) следует, что
а = р 8 = % 8 Р
(10)
и, следовательно, одинаковое волновое движение в поверхностных и внутренних волнах происходит при существенно различных углах откоса, различаемых на три порядка.
3. НАКАТ ВНУТРЕННЕЙ ВОЛНЫ НА ОТКОС
Рассмотрим теперь решение линейного волнового уравнения (4) в случае изменения толщины нижнего слоя, показанного на рис. 2. В области х > Ь, где глубина бассейна постоянна, поле представляет собой суперпозицию двух монохроматических волн, падающей и отраженной
г|(х, 0 = А ехр[/'о( + х/со)] -- Аг/ ехр[/'о( - х/со)],
(11)
Со =
, кк
к + Но
(12)
скорость распространения внутренних волн в бассейне постоянной глубины, А — амплитуда падающей волны и Агд — амплитуда отраженной волны. В зоне переменной глубины (на шельфе, 0 < х < Ь) ограниченное решение волнового уравнения (4) выражается через функцию Бесселя
Рис. 2. Профиль нижнего слоя двухслойного потока. В левой части показана зона уменьшения толщины нижнего слоя вплоть до нуля ("урез").
вать откос с любой зоной постоянной глубиной (соответственно будет меняться угол откоса, как и для поверхностных волн). Фиксируя ширину откоса Ь и толщину нижнего слоя на его кромке Н0 (или полную глубину Н0 = Н1 + й0), можно определить угол откоса
П(х, 0 = Я10
4ю2 х
гв
ехр(/'®0,
(13)
где Я определяет высоту смещения границы раздела на урезе (х = 0). Сшивая решения (12) и (13) на кромке шельфа (х = Ь) с помощью обычных граничных условий непрерывности уровня (давления) и расхода воды в нижнем слое
Я1,
¡Я11
= А ехр + А/ ехр , (14)
\ а ехр Г^ V А/ ехр Г-^1, (15)
можно найти неизвестные в общем случае комплексные константы Я и А
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.