МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 5 • 2013
УДК 539.373
© 2013 г. С. А. ЛЫЧЕВ, А. В. МАНЖИРОВ ОТСЧЕТНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ РАСТУЩИХ ТЕЛ
Растущие тела рассматриваются как тела с индуцированной неоднородностью, вызванной соединением несогласованно деформированных частей. Приведена формализация тела как абстрактного гладкого многообразия и классификация возможных аффинных связностей на нем. Показан способ задания особой — материальной связности, при которой окрестности всех материальных точек растущего тела переходят в ненапряженное состояние. Предлагается способ построения глобальной свободной от напряжений отсчетной конфигурации растущего тела как вложения в пространство с абсолютным параллелизмом. Установлено, что при послойном наращивании материальная связность, соответствующая свободному от напряжений вложению, определяется тремя независимыми функциями и в общем случае не является евклидовой. Неевклидовость определяется отличием от нуля кручения материальной связности. Предложена формализация растущего тела как расслоения трехмерного гладкого многообразия над одномерной базой, характеризующая структуру материальной связности.
Ключевые слова: растущие тела, несовместность деформаций, неоднородность, натуральная конфигурация, внутренняя геометрия, абсолютный параллелизм.
1. Введение. В растущих телах возникает особое напряженно-деформированное состояние, которое обычно характеризуют несовместными деформациями и остаточными напряжениями. При этом использование натуральной отсчетной конфигурации осложняется тем, что образа таковой не существует в физическом пространстве: растущее тело при любых деформациях не трансформируется в состояние, свободное от напряжений. Вместе с тем для произвольного фиксированного момента процесса роста натуральная отсчетная конфигурация может быть определена как вложение в пространство со специфическими неевклидовыми свойствами. В настоящей работе приведен один из способов такого вложения.
В рамках механики континуума понятие тела интуитивно связано с возможностью его бесконечного деления на части. Такое деление естественным образом приводит к представлению о теле как о непрерывной совокупности материальных точек, наблюдаемой в физическом пространстве как область с кусочно-гладкой границей, способной к изменению своей формы. Кроме того, предполагается свойство "близости": две частицы, которые близки в некотором состоянии, остаются близкими во всех других состояниях тела. Формализация этих рассуждений приводит к концепции математической точки тела как элемента некоторого топологического пространства. Изменение формы тела, т.е. деформация, математически описывается в терминах непрерывных функций как вложение (инъекция) материальных точек в физическое пространство. При этом, в отличие от общих физических теорий, геометрическая структура
физического пространства полагается независимой от вложенных в него тел и, как правило, считается евклидовой.
Одной из основных задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ) является определение отклика тела, вызванного деформацией. Отклик (в частности, механические напряжения) определяется так называемым функционалом отклика, аргументом которого является деформация. Из общих соображений можно заключить, что этот функционал должен удовлетворять ряду ограничений (непрерывности, объективности, и другим), но явный его вид может быть определен только экспериментально, причем эксперимент, как правило, производится для некоторой деформации, трансформирующей испытуемый образец из стандартного отсчетного состояния. Такое состояние обычно полагается натуральным, т.е. свободным от напряжений. В этой связи при определении отклика исследуемого тела теоретическими методами необходимо иметь возможность в окрестности каждой материальной точки воспроизвести отсчетное состояние. Если это удается осуществить для всех точек одновременно, то отклик может быть определен как решение уравнений, записываемых во всей области, занимаемой телом. Отвечающее приведенному рассуждению "ненапряженное" вложение тела в физическое пространство называется натуральной конфигурацией.
Возможность построения натуральной конфигурации как некоторой специальной формы тела в евклидовом пространстве существенно упрощает теоретическую модель процесса деформирования и, как правило, предполагается в рамках классических моделей МДТТ. Вместе с тем существование натуральной отсчетной конфигурации является скорее исключением, чем правилом. Косвенным признаком "ненатуральности" являются (внутренние) остаточные напряжения. Эксперимент показывает, что остаточные напряжения присутствуют в любом теле. В ряде случаев ими можно пренебречь и воспользоваться классическими соотношениями МДТТ, однако при описании обширного класса феноменов внутренние напряжения играют существенную, а иногда и определяющую роль. Здесь можно указать на явления усадки, теплового расширения, накопления дислокаций, пластичности, роста.
Тела с остаточными напряжениями геометрически характеризуются как тела с несовместными деформациями. Образно говоря, если разрезать такое тело на малые части, то каждая часть, деформируясь независимо от других, перейдет в свободное от напряжений состояние. Вместе с тем формы этих частей станут несогласованными, что сделает невозможным их "сборку" без предварительного деформирования, что, разумеется, вызовет вновь поля внутренних напряжений. Разорвать этот порочный круг можно с помощью методов неевклидовой геометрии. Действительно, достаточно отказаться от условия евклидовости пространства, вмещающего тело в отсчетной конфигурации, для того, чтобы получить дополнительные параметры: кривизну, кручение и неметричность, и, надлежащим образом распоряжаясь ими, определить вложение, переводящее все точки тела в недеформированное состояние одновременно.
Геометрические методы построения моделей механики сплошной среды в настоящее время интенсивно развиваются, о чем свидетельствует возрастающее количество публикаций [1—6]. Эти методы привносят в теорию концепции, язык и методологию современной дифференциальной геометрии (теории гладких многообразий), что обогащает, но в то же время в значительной степени усложняет саму механику. Конечно, переход к более абстрактному стилю изложения должен быть оправдан. В настоящей работе он позволяет наиболее полно и ясно описать феномен искусственной неоднородности, возникающий в силу особой геометрической структуры тела, которое образуется материально единообразными частями, т.е. "выполненными" из одного и того же материала, но соединенными друг с другом в деформированном состоянии.
В связи с тем, что используемые геометрические методы пока нельзя отнести к общепринятому математическому аппарату механики сплошной среды, приведем необ-
ходимые сведения из дифференциальной геометрии, снабжая их комментариями механического толка.
2. Тело как гладкое многообразие. Как аллегорически отмечено в монографии [5], тело пребывает в платоновом мире чистых идей, который мы никогда не сможем увидеть, однако проявления этого мира мы ощущаем в облике конфигураций, т.е. "воплощений" тела в физическом пространстве.
Тело В с абстрактной точки зрения представляет собой гладкое многообразие без края (при этом замыкание В может быть компактным, т.е. В может быть открытым ограниченным подмножеством некоторого топологического пространства) [7, 8]. Такое представление означает, что множество В оснащено топологией, удовлетворяющей аксиоме отделимости Хаусдорфа (т.е. любая пара точек имеет непересекающиеся окрестности) и может быть накрыто конечным множеством открытых непересекающихся подмножеств ик с В гомеоморфных открытым подмножествам арифметического пространства М* [9—11]. Этот гомеоморфизм1 устанавливается картрирующими отображениями хк: ик ^ М* композиции которых, определенные на пересечениях
ик п ир, т.е. отображения % к ° Xк * ^ X р(ик п ир) ^ % к (ик п ир) ^ к *, непрерывны и имеют достаточное количество производных. Число п — размерность многообразия — в задачах МДТТ может быть равным 1, 2, 3, в зависимости от класса тела: фибра, мембрана или трехмерное тело.
Материальные точки как элементы множества X е В могут быть идентифицированы посредством упорядоченных п-ок чисел (материальных координат) Хк, которые представляют собой значения отображения хк. Совокупность карт {ик, хк}, накрывающих многообразие В, а именно А = {ик, хк}"к=\, определяет атлас (порядка п). Если многообразие может быть накрыто атласом, состоящим из одной единственной карты, то оно называется тривиальным (о необходимости использования нетривиальных атласов см., например, [5, 8]).
В дифференциальной геометрии выделяются два основных класса абстрактных математических объектов на многообразии: функции и кривые. Более сложные объекты, такие как векторные и тензорные поля, порождаются ими. Такая же идеология может быть развита и в механике континуума, если полагать основными скалярные функции на В и получать векторные и тензорные поля, такие, как поля скоростей, сил, напряжений, в результате вывода, в процессе которого, разумеется, вводятся дополнительные гипотезы.
Замечание 1. Функция на многообразии В определяется как отображение /: В ^ К или, в координатах, соответствующих карте хк, как / ° х К * ^ К. Далее будем обозначать множество п раз дифференцируемых функций на В символом С*(В). Гладкая кривая может быть определена как отображение М з [а, Ь] ^ В, представленное в координатной карте дифференцируемыми функциями К ^ К3: t ^ Хк(?) (к = 1,..., *).
3. Векторные поля на теле. Для того чтобы использовать аппарат неевклидовой геометрии, следует определить понятие касательного пространства в абстрактных терминах, не привлекая при этом наглядных интерпретаций о погружении тела в объемлющее трехмерное евклидово пространство. Определим касательный вектор их к дифференцируемому многообразию В в точке X е В как линейное отображение пространства функций С*(В) на М, удовлетворяющее правилу Лейбница, т.е. V/, g е С*(В) Уа, Р е К:
1 Гомеоморфизм — это взаимно однозначное непрерывное отображение пространства X на простран-
ство У
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.