ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2007, том 41, № 3, с. 249-261
УДК 66.001.12/18
ОЦЕНКА ГИБКОСТИ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ
© 2007 г. Г. М. Островский, Н. Н. Зиятдинов*, Т. В. Лаптева*, И. Д. Первухин*
Научно-исследовательский физико-химический институт им. Л.Я. Карпова, Москва *Казанский государственный технологический университет ostralex@yandex.ru Поступила в редакцию 18.09.2006 г.
Приведены условия гибкости химико-технологических систем (ХТС) для различных случаев полноты экспериментальных данных, доступных на этапе функционирования ХТС. Особенностью этих условий является наличие шахш1птах процедуры, которая делает задачу оценки гибкости задачей недифференцируемой, многоэкстремальной оптимизации. Предложены два подхода решения этой задачи, основанные на методах "ветвей и границ" и "разбиений и границ". Задача оценки гибкости ХТС продемонстрирована на примере системы биологической очистки сточных вод.
В работе рассмотрена возникающая при оптимальном проектировании проблема оценки способности химико-технологических систем (ХТС) удовлетворять проектные ограничения на этапе функционирования. При проектировании ХТС обычно стремятся выполнить некоторые требования, например работать без аварийных ситуаций, быть экологически безопасной, иметь производительность не ниже заданной, стационарный оптимальный режим системы должен быть устойчивым и т. д. Для краткости ХТС, соответствующую этим требованиям, будем называть работоспособной. Важно отметить, что задачу построения работоспособной ХТС приходится, как правило, решать в условиях неполной физико-химической и технологической информации. Источниками неопределенности являются:
начальная неточность коэффициентов в математических моделях связанная с неточностью эксперимента;
неточность химических и физических закономерностей, положенных в основу математических моделей;
изменение некоторых коэффициентов в математических моделях во время эксплуатации ХТС;
изменение внешних условий функционирования ХТС во время ее эксплуатации.
Основной задачей проектирования является определение оптимальных размеров аппаратов, их режимов и построение оптимальной структуры ХТС.
В общем случае обычная задача оптимального проектирования ХТС имеет вид:
шт/(а, г, х, 0), (1)
d, г, X
фг(а, г, х, е) = 0, 1 = 1, ..., п, (2)
й(а, г, х, е)< 0, ] = 1, ..., т, (3)
где уравнения (2) - материальный и тепловой балансы ХТС (математическая модель ХТС); ограничения (3) представляют собой математическую формулировку вышеупомянутых проектных требований; х - п-вектор переменных состояний, а - вектор конструктивных переменных, г - вектор технологических управляющих переменных, 0 - вектор параметров математических моделей. Размерность вектора х равна числу уравнений в системе уравнений (2). Обычно неполнота наших знаний о процессе сводится к тому, что параметры 0 на этапе проектирования известны неточно. О них только известно, что они принадлежат некоторой
области неопределенности Т = (0 : 0 < 0 < 0).
Поскольку размерность вектора х равна числу уравнений в системе уравнений (2), то она определяет переменные х как неявные функции переменных d, г, 0:
х = х(d, г, 0). (4)
Будем считать переменные х зависимыми, а переменные d, г - независимыми. Явный вид функций (4), как правило, неизвестен, поэтому для каждой совокупности d, г, 0 переменные х находят численным решением системы нелинейных уравнений (2). Исключим переменные х с помощью (4), тогда задача (1)-(3) примет вид:
шт/(а, г, 0), (5)
d, г
й(а, г, е)< 0, ] = 1, ..., т, (6)
где
/(а, г, 0) = /[а, г, х(а, г, е),0], й(а, г, 0) = й[а, г, х(а, г, е), 0].
Назовем ХТС гибкой, если иа этапе функционирования с помощью управляющих переменных можно удовлетворить все проектные ограничения, несмотря на изменение внутренних и внешних факторов. При проектировании ХТС с учетом неопределенности приходится решать следующие задачи:
оценка гибкости ХТС;
определение оптимальных значений конструктивных переменных, гарантирующих гибкость ХТС.
Рассмотрим только первую задачу, и будем считать, что в "жизни" ХТС имеются две стадии -проектирования и функционирования.
Ряд факторов влияют на формулировку условий гибкости. В работе приведена формулировка условий гибкости в зависимости от уровня неопределенности параметров на этапе функционирования.
Ясно, что уровень неопределенности зависит от полноты и точности экспериментальных данных, доступных на этапе функционирования ХТС, т.е. зависит от системы сбора экспериментальной информации на этом этапе (наличие датчиков, их точности). Отсюда совокупность неопределенных параметров может быть разбита на две группы: первая - параметры О1, которые можно корректировать на этапе функционирования; вторая - параметры О2, которые нельзя уточнить на этапе функционирования.
ФОРМУЛИРОВКА УСЛОВИЙ ГИБКОСТИ
Сформулируем четыре варианта условий гибкости для следующих случаев:
на этапе функционирования доступные экспериментальные данные позволяют определить точные значения всех неопределенных параметров. В этом случае все неопределенные параметры относятся к первой группе (О = О1).
на этапе функционирования доступные экспериментальные данные позволяют определить только часть неопределенных параметров. В этом случае О = (О1, О2) О е Т1, О е Т2, где Т1, Т2 -области неопределенности параметров О1, О2 соответственно.
так же, как и в предыдущем случае, на этапе функционирования доступные экспериментальные данные позволяют определить только часть неопределенных параметров, О = (О1, О2). Однако в данном случае имеются некоторые дополнительные экспериментальные данные, которые могут быть использованы для улучшения функционирования ХТС.
Первый вариант. Все параметры принадлежат первой группе О1. В данном случае ХТС при фиксированных значениях конструктивных переменных ё будет гибкой, если для любого значения О е Т можно подобрать такие значения вектора г,
что все ограничения (6) будут выполняться. Условие гибкости ХТС может быть записано в виде следующего логического условия [1]:
УО е Т(Зг(V/ е 3 [у(й, г, 0) < 0]),
(3 = 1, ..., т).
В соответствии с уравнением (П.1) (см. приложение), условие V/ е 3 [у/(й, г, 0) < 0] может быть записано в виде
шаху/(й, г, 0) < 0.
/ е 3
Используя это неравенство и соотношение (П.2) преобразуем условие (7) к виду
УО е Т штшаху/(й, г, 0) < 0.
г ]
Опять используя (П.1), получаем [1]
%1(Ф < 0, (8)
где
%1 (й) = шахштшаху/(ё, г, О),
ее Т г / е 3 (9)
(3 = 1, ..., т).
Условие (8) есть необходимое и достаточное условие гибкости ХТП. Функция называется функцией гибкости.
Второй вариант. ХТС при фиксированных значениях конструктивных переменных ё будет гибкой, если для любого значения О1е Т1 можно подобрать такие значения вектора г, что для всех значений О2 е Т2 все ограничения (6) будут выполняться. Для этого случая условие гибкости в логической форме запишется следующим образом [2-4]:
УО1 е Т1 Зг УО2 е Т2 V/
1 2 (Ю)
3 е [у/(й, г, О1, О2)< 0].
Используя те же рассуждения, что и в предыдущем случае, это условие можно привести к следующему виду:
Х2 ( й ) =
= шахштшахшаху/(й, г, 01, 02)< 0, ( )
11 2 2 О1 е Т1 г О2 е Т / е 31
Третий вариант. Вектор неопределенных параметров состоит из двух подвекторов О1 и О2 (О = = (О1, О2)). Пусть при этом О1 е Т1 и О2 е Т2, (Т = Т1 и и Т2). На этапе функционирования ХТС значения компонентов вектора 01 могут быть определены с некоторой ошибкой, зависящей от неточности датчиков. В то же время компоненты вектора 02 не могут быть уточнены. В этом случае параметры 01 могут быть представлены в виде О1 = О1 + О3,
где величина О1 - значение параметров О1, полученные от датчиков и О3 - ошибка измерения (О3 е Т3).
Ясно, что область Т допустимых изменений вектора 01 имеет вид
Т = (01 : 01' * - 03'и ^ <Оьи + 03'и}.
Этот случай может быть сведен к предыдущему. Действительно, здесь можно выделить следующие две группы неопределенных параметров:
первая состоит из параметров О1, вторая - из параметров О3, О2. Ясно, что первая группа соответствует группе О1 второго варианта и вторая группа соответствует группе О2 второго варианта.
_ 2 _2
Введем следующие обозначения О = (О3, О2), Т =
= (О3, О2 : О3 е Т3, О2 е Т2. Подставляя выражение
для О1 в (11) и используя О2 вместо О2 и Т вместо Т2 получим формулировку гибкости в условиях неопределенности:
Хз (а ) =
~ 1 3 2
= тахтттахтах£;-(а, г, 0 + О , О ) < 0.
О1 е Т1 2 О2 е Т2 ] е 3
Четвертый вариант. Второй вариант условий гибкости имеет тот недостаток, что он не учитывает дополнительную экспериментальную информацию, которая, как правило, имеется на этапе функционирования. Здесь приведем формулировку условий гибкости, которая будет учитывать эту дополнительную информацию. Рассмотрим подробнее этот вопрос. Обозначим через О совокупность неопределенных параметров, которые можно измерить на этапе функционирования,
через О - совокупность неопределенных параметров, которые нельзя измерить непосредственно на этапе функционирования и через х - совокупность переменных состояния, которые можно измерить на этапе функционирования. Рассмотрим вначале случай, когда в системе уравнений (2) можно выделить некоторую подсистему, в которую входят только измеряемые переменные состояния
ф(а, х, г, О, О) = 0. (12)
Если размерность вектор-функции ф больше или равна размерности вектора 0
^тф> ^т0, (13)
то значения параметров О на этапе функционирования могут быть найдены решением обратной задачи
В этом случае можно использовать первый вариант условий гибкости. Если условие (13) не выполняется, то невозможно определить значения
параметров О решением задачи (14). В этом случае необходимо использовать второй вариант условий гибкости, в котором
О1 = О, О2 = О.
Однако в этом случае не учитывается экспериментальная информация относительно переменных состояния х. В связи с этим дадим формулировки условий гибкости, которая позволяет учесть эту информацию. Так же, как и в предыдущем случае, считаем, что параметры О, О образуют множество параметров О1, О2 соответственно.
Рассмотрим некоторый момент времени на этапе функциони
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.