ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 6, 2013
УДК 519.718
© 2013 г. Павлов И.В.
ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ УСКОРЕННЫХ ИСПЫТАНИЙ В ПЕРЕМЕННОМ РЕЖИМЕ С ВОЗРАСТАЮЩЕЙ НАГРУЗКОЙ
Рассматривается задача нахождения характеристик надежности в условиях произвольной кусочно-непрерывной функции нагрузки на основе известных характеристик в условиях постоянных нагрузок. Рассматривается также связанная с этим обратная задача, состоящая в том, чтобы на основе ускоренных испытаний в условиях переменной монотонно возрастающей нагрузки оценить характеристики надежности изделия в условиях постоянных нагрузок.
Оценка надежности технических систем, работающих в переменном режиме под воздействием тех или иных переменных факторов (таких, как действующая на систему внешняя нагрузка и др.), является одной из актуальных проблем теории надежности. В частности, в [1] эта задача рассматривалась в следующей постановке — оценить характеристики надежности изделия в условиях произвольной кусочно-непрерывной функции нагрузки на основе известных характеристик в условиях постоянных нагрузок. Не менее важной, с прикладной точки зрения, является обратная задача — на основе результатов ускоренных испытаний в условиях переменной (например, монотонно возрастающей) нагрузки оценить характеристики надежности в условиях постоянных нагрузок, в том числе для малых и средних нагрузок, соответствующих нормальным режимам (что является одной из основных задач ускоренных испытаний).
Пусть и(?) — переменная нагрузка, действующая на систему в момент времени , > 0, Р(,, и) — функция надежности, Х(?, и) — функция интенсивности отказов и t
А(?, и) = (г, и)йг — функция ресурса (ведущая функция в терминологии [2]) в усло-
0
виях постоянной нагрузки и(,) = и > 0.
Будем предполагать, что и(?) — кусочно-непрерывная функция, непрерывная справа по , > 0 и имеющая предел слева в каждой точке , > 0, и(,) > 0 при ? > 0, функция Х(?, и) непрерывна по , > 0, и > 0 и Х(?, и) > 0 при , > 0, и > 0.
В [1] были получены уравнения для определения характеристик надежности в условиях переменной нагрузки
г(Г) = Х[е(Я, и,), и], (1)
где Я, = Я(,) — функция ресурса; г(,) = Я'(0 — функция интенсивности отказов в условиях переменной нагрузки и, = и(,), , > 0; е(Я, и) — функция, обратная к функции Л(,, и) по первому аргументу , при фиксированном значении и, определяемая из уравнения
Л(е, и) = Я. (2)
Из (1) далее следует дифференциальное уравнение для нахождения функции ресурса
К = Ц g( rp ut )> ut ]
(3)
с начальным условием R(0) = 0, после чего функция надежности в условиях переменной нагрузки u, = u(t) определяется как P(t) = exp[—R(t)].
Пример 1. Пусть X(t, u) = cut, A(t u) = cut2/!, где c > 0 — константа, т.е в условиях постоянных нагрузок время безотказной работы системы имеет распределение Вейбул-ла—Гнеденко с параметром формы а = 2 и функцией интенсивности отказов, пропорциональной действующей на систему нагрузке. Пусть u(t) = ut, т.е. функция нагрузки
возрастает с постоянной скоростью u> 0. В этом случае g(Rt, u) = J2Rt/(cut) и уравнение (3) принимает вид R' = J2c utRt. Отсюда находим, что функция ресурса в условиях
переменной нагрузки R(t) = (2/9)cut3, функция интенсивности отказов r(t) = (2/3)cut2. Иными словами, если в условиях постоянных нагрузок параметр формы распределения времени безотказной работы а = 2, то в условиях переменной линейно возрастающей функции нагрузки u(t) = ut время безотказной работы имеет распределение с параметром формы а = 3.
Рассмотрим решение на основе уравнений (1)—(3) обратной задачи, т.е. оценим по результатам ускоренных испытаний в условиях переменной (например, монотонно возрастающей) нагрузки u(t) характеристики надежности изделия в условиях постоянных нагрузок.
Модель с коэффициентом ускорения. Пусть функция ресурса и функция интенсивности отказов в условиях постоянных нагрузок имеют вид
где Ц,, 9) = Л) (,, 9).
В соответствии с (4) распределение времени безотказной работы в данной модели зависит от нагрузки через параметр 9 = 9(и), который имеет смысл "коэффициента ускорения" в зависимости от того или иного значения нагрузки. Указанная обратная задача в этом случае сводится к определению зависимости 9(и) по результатам ускоренных испытаний в условиях переменной (монотонно возрастающей) нагрузки и(,).
Уравнение (1) для данной модели можно записать в виде
где в каждый текущий момент времени , > 0 величина а, = g(Rt, и) в соответствии с (2) определяется из уравнения
Пусть и, = и(,), , > 0 — заданная функция нагрузки и и = {и: и = и(,), 0 < , < 7} — множество всех значений функции и(,) на интервале 0 < , < Т, где Т — момент завершения испытаний в условиях переменной нагрузки и(,). Будем предполагать, что функция нагрузки и(,) непрерывно дифференцируема и строго монотонно возрастает на интервале 0 < , < Т, и(0) = 0, при этом множество и представляет собой отрезок и = [0, й], где й = и(Т).
Пусть R(t) — статистическая оценка функции ресурса по результатам испытаний в условиях нагрузки и, = и(,) и г(,) = R'(t) — соответствующая оценка функции интенсивности отказов. Из уравнений (5), (6) после замены переменных и = и(,) получаем, что решение обратной задачи (функция коэффициента ускорения 9 = 9(и)) находится из системы уравнений
Л(t, u) = Л[t, 9(u)], Цt, u) = Цt, 9(u)],
(4)
r( t) = Цст„9( ut)],
(5)
Л[стt, 9(ut)] = R(t).
(6)
Цст, 9) = r[t(и)], Л(ст, 9) = R[t(и)]
(7)
относительно праы (ст, 9) при каждом u е U, где t(u) — функция обратная к функции нагрузки u(t), 0 < t < T.
Пример 2. ("Экспоненциальная модель"). Рассмотрим частный случай модели с коэффициентом ускорения (4), когда X(t, u) = 9(u), Л(^ u) = 9(u)t, т.е. в условиях постоянных нагрузок функция интенсивности отказов X(t, u) зависит от нагрузки, но не зависит от времени t. Тем самым, время безотказной работы в условиях постоянных нагрузок u(t) = u имеет экспоненциальное распределение с параметром 9(u). Данную модель можно использовать в качестве первого относительно грубого приближения для решения обратной задачи и оценки основных характеристик. Система уравнения (7) в этом случае принимает вид 9 = u[t(u)], 9ст = R[t(u)]. Отсюда следует, что 9(u) = r[t(u)] и функция надежности в условиях постоянных нагрузок имеет вид
P(t, и) = exp [-r(tu)t], (8)
что дает решение обратной задачи для экспоненциальной модели. Здесь и далее используем сокращенное обозначение tu = t(u) для функции, обратной к функции нагрузки. Покажем, что выражение (8), полученное для этой упрощенной модели можно использовать как нижнюю оценку надежности при более общих предположениях.
Модель с коэффициентом ускорения по оси времени. Рассмотрим частный случай модели с коэффициентом ускорения (4), когда
Л(t, и) = H[9(и)t], Цt, и) = 9(и)h[9(и)t]
где h(t) = ff(t); H(t) — функция ресурса в условиях некоторой базовой нагрузки u0, 9(u0) = 1. В данной модели форма распределения времени безотказной работы при различных значениях нагрузки имеет одинаковый вид и задается базовой функцией ресурса H(t). Влияние нагрузки при этом учитывается через коэффициент ускорения (по оси времени) 9 = 9(u).
Обратная задача для данной модели сводится к определению зависимости коэффициента ускорения 9(u) от нагрузки u. Система уравнений (7) в этом случае принимает вид 9h(9a) = r[t(u)], Н(9ст) = R[t(u)]. Отсюда следует выражение для коэффициента ускорения
9( и) = ^и) , h { И\ R (tu)]}
где H-1(R) — функция обратная к функции H(t). После чего функция надежности в условиях постоянных нагрузок определяется как
P(t, и) = exp [-H(9j)], и е U (9)
(где используем сокращенное обозначение 9u = 9(u)), что дает решение обратной задачи для данной модели.
Пример 3. Рассмотрим случай, когда H(t) = ßf1, h(t) = aßt" -1, т.е. распределение времени безотказной работы в условиях постоянных нагрузок u(t) = u аппроксимируется распределением Вейбулла с параметрами a, ß. Распределение времени безотказной работы в условиях переменной монотонно возрастающей (с постоянной скоростью и > 0) нагрузки u(t) = ut также будем аппроксимировать распределением Вейбулла, но с какими-то другими параметрами, т.е. R(t) = bf, r(t) = übt" -1, где параметры a, b определяются по результатам испытаний в условиях переменной нагрузки u(t) = ut.
Формула (9) для функции надежности в этом частном случае принимает вид
Р( г, и) = ехр
пУ V а - а, а и
(а - а) а
и е и,
что дает решение обратной задачи.
Модель с коэффициентом ускорения по оси интенсивности отказов. Рассмотрим другой частный случай модели (4), когда функция ресурса в условиях постоянных нагрузок имеет вид Л(г, и) = 9(u)H(t), где Н(г) — функция ресурса в условиях некоторой базовой (постоянной) нагрузки u0, 9(и0) = 1.
Функция интенсивности отказов (5) в этом случае имеет вид Х(г, и) = 9(и)^г), где величина 9(и) имеет смысл коэффициента ускорения (по оси функции интенсивности отказов), = Н(г). В данной модели так же, как и в предыдущей (9), (10), форма распределения времени безотказной работы при различных значениях нагрузки имеет одинаковый вид и задается базовой функцией Н(г), а влияние нагрузки учитывается через коэффициент ускорения 9 = 9(и).
Для данной модели будем предполагать, что выполняется следующее условие. Функция
х(0 = | ш жг) = М
строго монотонно убывает по t > 0 и Ь(г) ^ да при t ^ 0, Ь(г) ^ 0 при t ^ да. Другими словами, функция 1пН(г) выпукла вверх по t > 0, что является мало ограничивающим условием. Этому условию удовлетворяет, например, любая степенная функция ресурса вида Н(0 = рг", где в > 0, а > 0 и др.
Система уравнений (7) в этом случае принимает вид = г[г(и)], 9Н(г) = Я[г(и)]. Отсюда следует выражение для коэффициента ускорения в данной модели 9(и) = Я[г(и)]/Н(г(и)], где величина ги = г(и) определяется из уравнения
к ( (г ) = г [ г(и) ] Н( г ) я [ г ( и ) ]'
(11)
В силу условия относительно функции Ь(г) это уравнение имеет единственное решение при любом и. После чего функция надежности Р(г, и) в условия постоянных нагрузок и(г) = и находится как
Р(г, и) = ехр[-9(и)Н(г)] = ехр
Я(?и)Н( г)" Н( (и ) .
и е и,
(12)
что дает решение обратной задачи для данн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.