научная статья по теме ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ МЕТОДА АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ Экономика и экономические науки

Текст научной статьи на тему «ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ МЕТОДА АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ»

ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2014, том 50, № 1, с. 55-60

математический анализ экономических моделей

оценка погрешности метода анализа иерархий

© 2014 г. и.л. томашевский

(Архангельск)

Рассмотрен некоторый е-деформированный измерительный процесс, эквивалентный процедуре вычисления приоритетов в методе анализа иерархий (МАИ). Методами теории измерений проведен анализ этого процесса. В результате получены простые оценки для погрешности вычислительной процедуры МАИ.

Ключевые слова: метод анализа иерархий, МАИ, погрешность. Классификация JEL: С43, С44.

1. ОБЩИЙ ПОДХОД К ИЗМЕРЕНИЯМ, е-ДЕФОРМИРОВАННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

Метод анализа иерархий (МАИ), предложенный Т. Саати около тридцати лет назад, продолжает находить широкое применение при моделировании и анализе различных социальных, психологических и экономических ситуаций и проблем, обусловленных факторами, не поддающимися точному математическому определению, но допускающими попарное сравнение. Количественная оценка значимостей, или приоритетов, любых сравнимых факторов О1..., Оп по отношению к вопросу, требующему анализа, осуществляется в МАИ с помощью матрицы парных сравнений (Саати, 2008, § 2.9; Saaty, 2008) с матричными элементами

значимость фактора О,

а,к =-, г' = к = 1, ..., п.

значимость фактора Ок

А именно, значимости факторов находятся как компоненты собственного вектора, соответствующего наибольшему собственному значению Атах этой матрицы. Элегантность МАИ и его относительная простота в применении к изучению различных проблемных ситуаций приводит к ежегодному появлению сотен исследовательских работ, в которых этот метод используется для анализа и решения разнообразных практических задач.

Следует отметить некоторую логическую незавершенность МАИ, связанную с отсутствием количественных оценок для погрешности получаемых с его помощью результатов. Контроль за корректностью результатов осуществляется в МАИ с помощью так называемого "индекса согласованности" (Саати, 2008, § 2.9; Saaty, 2012, § 1.7) С.1. = (ктах - п)/(п - 1), который реализует лишь некоторый эвристический подход к контролю точности вычислений и не позволяет определять реальную величину ошибки метода.

В данной работе предпринимается попытка анализа основной вычислительной процедуры, использующей матрицу парных сравнений с точки зрения теории измерений. Результатом этого анализа являются формулы для погрешности вычислительной процедуры МАИ.

Предположим, что существует некое устройство для измерения значимостей факторов О1,..., Оп по отношению к анализируемой ситуации или проблеме. Пусть в процессе работы это устройство производит различными способами п измерений значимости фактора О, выдавая их значения м®,..., ~(п). Тогда среднее значение результатов полученных измерений

(к) ~(1) + ...+ ~ (п) м, = — /м(к) = —-—

п

1 / ~

1 -1

56 ТОМАШЕВСКИИ

естественно принять за приближенное значение фактора О, а среднеквадратичное отклонение

Дм г = ./! /

пк = 1

м(к) - ~,)2 -

за приближенное значение его погрешности, т.е. считать, что значение фактора О, равно

м, ±Дм,.

Опираясь на этот стандартный подход к процессу измерения, сформулируем близкий к нему нестандартный подход, который будет использован нами далее.

Утверждение. Если деформировать результаты измерений путем добавления к значению с номером / фактора Gi величины в,: м(, ^ м(^ + £, то деформированное среднее значение (в-среднее)

м^ + м (2) + ... + (м (г) + в ,■) + ...+ м(п) м, =--(1)

п

можно рассматривать в качестве нового приближенного значения фактора Gi с погрешностью

8м, = Дм, + \в, \/п, (2)

где

/

Дм, /(м(к)- - (3)

пк=1

среднеквадратичное отклонение результатов измерения от деформированного среднего м, т.е. считать значение фактора Giравным

V, = м, ± 8м,. (4)

Доказательство. Фактически нужно проверить включение

[м, - Дм,, мм, + Дм,] 3 [м, - 8м,, м, + 8м,]. (5)

Это легко сделать, если выразить "деформированные" величины через исходные:

м, = мм, + в,/п, Дм, = Л1-1 /(м(к) - м,)2 = 7Дм2 + (в,/п)2.

Тогда

пк =1

м

- 8м, = м, + в, /п - (Дм, + | в, | /п) = м, - (| в, | - в ,)/п - д/ Дм2 + (в, /п )2 < м, - Дм,

т.е. м, - 8м, < м, - Дм. Аналогично можно получить и другое неравенство. Из этих неравенств и вытекает (5).

2. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ПРОЦЕДУРА МАИ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ в-ДЕФОРМИРОВАННЫХ ИЗМЕРЕНИИ

Покажем, каким образом метод собственных значений, применяемый в МАИ для извлечения информации о факторах G1, ..., Оп из соответствующей матрицы парных сравнений, может быть переформулирован в терминах в-деформированных измерений.

Будем исходить из того, что каждый элемент ак матрицы парных сравнений имеет смысл относительной значимости факторов О, и Gk. Тогда, предполагая известными в-средние значения м1,..., мп всех факторов и принимая значимость фактора Ок в процессе сравнения факторов О, и Ок равной мк, для значимости фактора О, получим

м(к) = а,кмк. (6)

Если рассматривать величину (6) в качестве результата измерения к значимости фактора О, то процедура заполнения всей строки матрицы парных сравнений (т.е. процедура сравнения

фактора Ог со всеми факторами О^..., Оп) превращается в процесс из п измерений значимости фактора О.

Полученные в результате различных измерений значимости мг(к) факторов О1, ..., Оп должны удовлетворять условиям (1), которые, с учетом (6), можно переписать в виде:

аи ~ 1 +... + (а,, + е ,) + ... + а,п

пп

Положим

е, =

где V - некоторая постоянная, и обозначим

Атах = П + О

Тогда равенство (7) можно переписать в виде

п

1 (+£

а1к ~к ), г = 1,

п.

к =1

/агк ~ к = А тах ~г, ■ = 1

к =1

или

(7)

(8) (9)

(10) (11)

А~ = Аmax~,

где А - матрица парных сравнений; м - матрица-столбец из ~1,..., ~п.

Формулы (11), (9), (8) подводят к следующему выводу: если е-деформации в е-деформиро-ванных измерениях имеют значения

ег = - ОМ, = -(ттах - ^^ г = 1,..., П (12)

то е-средние значения м1,..., ~п значимостей рассматриваемых факторов являются компонентами собственного вектора, соответствующего некоторому вещественному собственному значению Атах матрицы парных сравнений А (вещественность Атах вытекает из (10), так как все ~к и агк вещественные числа). При этом справедливо следующее утверждение.

Утверждение. Атах наибольшее собственное значение матрицы парных сравнений А, причем

Атах > п

Доказательство. Рассмотрим случай абсолютно точных измерений, когда значимости всех факторов м1,..., ~п известны абсолютно точно и все матричные элементы матрицы парных сравнений могут быть записаны в виде агк = ~г/~к. Очевидно, что для него равенства (10) принимают вид

^/агкмк = пмг, г =1, ...п Ам = пм.

к =1

Таким образом, ~ктах > п.

Естественно предположить, что, по мере отклонения результатов измерений от абсолютно точных, собственное значение Атах будет плавно отклоняться от значения п. Отсюда следует, что при малых погрешностях оно должно быть близким к п. Как показано (Саати, 1993, § 7.5), такое собственное значение у матрицы парных сравнений только одно, причем оно является ее наибольшим собственным значением и удовлетворяет условию: Атах > п. ■

Из данного утверждения вытекает, что е-средние значения м1,..., мп значимостей рассматриваемых факторов являются компонентами собственного вектора матрицы парных сравнений, соответствующего ее наибольшему собственному значению Атах. А это, в свою очередь, означает, что указанные е-средние м1,.... мп совпадают с значимостями факторов в вычислительной процедуре МАИ.

Таким образом, мы приходим к следующему результату: вычислительная процедура МАИ

«1 — ^ Атах №1

Шп,

с матрицей парных сравнений А = || агк || эквивалентна процедуре е-деформированных измерений с е-деформациями (12) и результатами измерений в виде (6).

58 ТОМАШЕВСКИИ

3. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЦЕДУРЫ МАИ

Остается воспользоваться эквивалентностью вычислительной процедуры МАИ и процедуры в-деформированных измерений и найти, в соответствии с (2), (6), (12), погрешности для получаемых с их помощью значимостей м1, .... мп:

8м, = л1~/(а,кмк - м,)2 + "ктах П м,, , = 1, ..., п,

пп

к = 1

8м, 1 -А/ м к Л2 А тах - п

1 V/ мк 1 \ Атах - п л

—/\а,к--1 I +-м,, , = 1, ..., п. (13)

м, V п~х\ м, I п

Для относительных погрешностей (13) справедлива также простая оценочная формула

- <1,2 У Атах - п, ,= 1, ..., п, (14)

м

использующая только Атах и позволяющая осуществлять экспресс-контроль точности вычислений.

4. ВЫВОД ОЦЕНОЧНОЙ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПОГРЕШНОСТИ

Покажем, каким образом из формулы (13) получается формула (14). Для этого воспользуемся идеологией в-деформированных измерений, трактуя величину

Дм(к) = м(к) - м, , Дм(к) = а,кмк - м, (15)

как отклонение результата измерения с номером к значимости фактора О, от его среднего значения м,, а величину Дм(к)/м, - как относительную погрешность этого измерения. Рассмотрим первое слагаемое, стоящее в правой части формулы (13). В терминах относительных погрешностей оно может быть записано в виде

1 У (а,к ^ - 112 =ЛД / (Дм (к)/м,)2. (16)

пк~т\ м, I у пк=1

Для оценки величины правой части (14) воспользуемся равенством

п к (Дм(к)/м,)2

(Дм)■ Vм,)

тах - п =— //-/д (к, ч (17)

п (к)

к=77=7 1 + (Дм(к)/ м,)

(доказательство этого равенства в техническом аспекте аналогично доказательству (Саати, 1993, с. 167) теоремы о свойстве собственного значения Атах) и покажем, что

/

I1 /(Дм(к)/м,)2<У( 1+ а(-п), ,= 1, ..., п, а = тах \ Дм(к)/мг |. (18)

,, к

к= 1

Поскольку здесь , - это номер фактора, то при получении оценки (18), не нарушая общности, можно считать, что , = 1. И тогда, предполагая а < 1 и учитывая, что 1 + Дм(к)/м, < 1 + а, для правой части (15) получим

1 " 2 1 " (Дм(к)/м 1)2 1 АЛ (Дм(к)/м/ -/(Дм (к )/м 1)2< - У--!-— (1+ а )< - УУ--■-— (1+ а).

п£ пк=11+ Дм (к)/м / ' п£ ■=11+ Дм (к)/м / '

Используя (16), этот результат можно переписать в виде

1п

1 /(Дм (к )/м 1)2<(1 + а )(Атах - п ) .

Очевидно, что такое неравенство будет иметь место не только для = 1, но и для любого . Отсюда и вытекает (17).

Теперь с помощью (17) получим максимально простую формулу, позволяющую оценивать величину погрешности вычислительной процедуры МАИ,

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Экономика и экономические науки»