519.24/.27.004.15
Оценка показателей эффективности при неполных данных
А. К. ШИШОВ
Рассмотрен метод оценки показателей эффективности при измерении комплексных технологических параметров при неполных данных, представленных моментами стареющего распределения.
Ключевые слова: показатель эффективности, измеряемый параметр, стареющее распределение, моменты распределения.
Effectiveness indecies evaluation method of measurement of complex technological parameters at incomplete data represented by posttest distribution moments is considered.
Key words: effectiveness index, measured parameter, posttest distribution, distribution moments.
При измерении комплексных технологических параметров в ряде случаев представляет интерес оценка показателей эффективности вида
W = Р{у > (< ) утр}.
(1)
Здесь IV — показатель эффективности; Р — вероятность того, что измеряемый параметр у, который, как правило, до проведения измерений рассматривают как случайную величину, будет не ниже заданного уровня утр. Обычно утр считают детерминированной постоянной величиной. Однако в некоторых случаях его можно рассматривать как случайную величину [1], например, если у — уровень стойкости системы к воздействию «агрессивной среды», утр — уровень воздействия агрессивной среды на систему; если у — уровень защиты информации, утр — уровень возможных несанкционированных действий по нарушению целостности и сохранности информации.
Далее будем рассматривать величины у и утр как случайные, и выражение (1) примет следующий вид [2]:
w = P (у > У тр )= J G (t) dF (t),
(2)
где G(t) — функции распределения случайных величин у и утр, соответственно.
Обозначим Р0 множество функций распределения с заданными моментами т1, т2, ..., тк:
Ро = {Р((): ]t1 сР(() = т,; / = 1,2,..., к}.
В качестве оценок моментов распределения т(. могут быть использованы, например, их точечные оценки [2]:
п
т, = ± У г ■; / = 1,2,..., к.
I п ^ ]' 1 = 1
В настоящее время известно большое число методов, которые позволяют находить оценки показателя эффективности, представляющего собой вероятностный функционал вида (1) при условии, что утр — неслучайная величина. Об-
зор их при функции распределения известной до моментов, приведен в [3, 4] .
В основе этих методов лежит следующая теорема [5—7]: минимум функционала
J = J c (t) dF (t)
достигается на множестве функций распределения Р0 при непрерывной подынтегральной функции с(^, имеющей к +1 неотрицательную производную, и в классе ступенчатых функций распределения, определяемых таким образом:
при к = 2^ - 1 функция распределения имеет V точек роста 0 < ^ < ^ < ...< ^ < причем для этих точек справедливо соотношение
т, = У 11Р1; / = 0,1,..., к; Ро = 1, (3)
1=1
где Ру — величина роста функции распределения в точке ty ;
при к = 2v функция распределения имеет V +1 точек роста ^ = 0 < t1 < ^ < ... < ^ < для них также справедливо соотношение (3).
Однако оценки, полученные с помощью последнего результата, являются в некоторых случаях заниженными, в частности, пусть утр — постоянная величина, тогда известна следующая нижняя оценка для вероятности Р(у < утр) [8]:
P (Утр ) =
при Утр = 0;
(m1- Утр )2
m2 - 2mi Утр + У тр 0
при 0<Утр<mi; (4) при Утр> mi.
Соотношение (4) дает заниженные оценки, кроме того, для показателя эффективности вида (2) в общем случае условие неотрицательности (к + 1)-й производной функции распределения G(t) не выполняется.
Однако оценки показателя эффективности вида (2) могут быть уточнены за счет дополнительной информации о
7—2800
E
функциях распределения F (?) и G(f), например, информации об изменениях случайной величины у во времени. Для многих технических систем естественной является гипотеза о том, что система, проработавшая определенное время, обладает в среднем худшими вероятностными характеристиками по сравнению с совершенно новой системой. К сожалению, жизнь человека и всех живых существ — пример стареющего распределения.
Пусть F(f) есть функция стареющего распределения с заданными моментами; х, ? — случайная и детерминированная величины. Функция распределения случайной величины у = х - ? - Ft Класс функций распределения F(u), для которых Ft не убывает по ? при любом s, называют классом стареющих распределений [9].
Задача оценивания показателя эффективности в данном случае сводится к следующей: найти такую оценку показателя эффективности, что
J = тт Г G (() с^ ((), F (Т) eFs¿
(5)
где Fs — класс стареющих распределений с заданными моментами.
Рассмотрим решение сформулированной задачи. Правую часть соотношения (5) можно переписать в виде
Г G (() с^ (() = 1 -Г F (() сЮ ((),
Е Е
и вместо задачи, определяемой соотношением (5), найти
J = 1 - тах Г F (() сЮ ((). F (Т) eFsE
Очевидно, что
J = 1 - тах Г F (?) СЮ (?) = тт Г ехр(-Л(?)) ¿Ю (?), F (Т) eFsE F (Т) eFsE
где Л(?) = -1п(1 - F (?)).
Важнейшая особенность стареющего распределения состоит в том, что Л(?) является выпуклой функцией. В [10] доказано, что для любой выпуклой функции Л(?) существует линейная кусочно-выпуклая функция №•(?), такая, что F(w(f)) е Fs, и если F(f)е Fs и F(w(f)) е Fs, а д(?) — невозрастающая функция, то
Гехр(-^(())д(()С? < Гехр(-Л(())д(()Л.
Е Е
Данный результат позволяет находить оценки показателя эффективности при стареющей функции распределения, известной до моментов. Пусть функция распределения слу-
чайной величины у — стареющая и известна до первого момента т и существует плотность распределения случайной величины утр, которая является невозрастающей функцией, тогда нижняя оценка показателя эффективности определяется соотношением
J = Г ехр{^ / т) д () сН.
(6)
Если распределение случайной величины утр — равномерное в интервале [а, Ь], то нижняя оценка показателя эффективности
J = т / (Ь - а) (оценка верна при т < Ь - а).
При экспоненциальном распределении д(?) =ехр(-?/д )/д случайной величины утр нижняя оценка показателя эффективности
J = т / (т + д).
Таким образом, использование предложенного подхода (соотношения (6)) позволяет находить оценки показателей эффективности в виде вероятности того, что измеряемый комплексный технологический параметр будет не ниже заданного уровня при условии, что функция распределения комплексного технологического параметра относится к классу стареющих распределений, известных до моментов.
Л и т е р а т у р а
1. Петухов Г. Б. Теоретические основы и методы исследования эффективности оперативных целенаправленных процессов. — Л.: Изд-во ВИКА им. А. Ф. Можайского, 1979.
2. Боровков А. А. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1976.
3. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надежности. — М.: Сов. радио, 1969.
4. Барлоу Р., Прошан Ф. Статистическая теория надежности и испытания на безотказность. — М.: Наука, 1985.
5. Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов. — М.: Физматгиз, 1961.
6. Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. — М.: Наука, 1976.
7. Крейн М. Г., Нудельман А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. — М.: Наука, 1976.
8. Ломакин М. И. // Известия АН СССР. Автоматика и телемеханика. — 1990. — № 1. — С. 154.
9. Беляев Ю. К. Статистические методы обработки неполных данных о надежности изделий. — М.: Знание, 1987.
10. Ломакин М. И. Экстремальные оценки показателей качества систем в классе распределений с заданными моментами. — М.: Изд-во ВПА им. В. И. Ленина, 1989.
Дата одобрения 26.12.2005 г.
о
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.