УДК 556.166
Оценка повторяемости катастрофических наводнений на основе статистического анализа динамики уровней рек
Н. Н. Радаев*
Динамика изменения уровней рек в конкретном пункте рассмотрена как реализация квазидетерминированного эргодического случайного процесса. Предложен методический аппарат его статистического и вероятностного анализа. Для определения повторяемости стихийных бедствий, вызванных наводнениями, процесс изменения уровня рек аппроксимирован потоком случайных событий — наводнений и распределением максимумов подъема уровня рек. По данньш многолетних наблюдений определены статистические функции распределения уровней р. Лена в районе Якутска и р. Ока в районе Касимова. Даны оценки повторяемости стихийных бедствий в рассматриваемых пунктах. Показано, что использование предложенного метода позволяет повысить точность оценки повторяемости стихийных бедствий.
Для экономического обоснования рационального землепользования по критериям выгоды и ущерба [7] необходима информация о повторяемости стихийных бедствий, вызываемых наводнениями. Однако точность оценки частоты катастрофических наводнений статистическим методом по данным, полученным за десятки и даже сотни лет, низка. Так, при частоте наводнений КГ1 год'1 ее оценку по данным наблюдений за 10 лет можно сделать лишь с относительной погрешностью 128%, а за 100 лет — 41% [8] (с доверительной вероятностью 0,9). Это приводит к потерям из-за принятия ошибочных решений.
Целью статьи является повышение точности оценки повторяемости катастрофических наводнений с помощью информации, полученной из анализа многолетних измерений динамики уровней рек.
Стихийное бедствие в результате наводнения в фиксированном пункте за интервал времени Д/ рассмотрим как сложное событие, происходящее при совместном наступлении двух независимых случайных событий:
1) наводнения на рассматриваемой территории за интервал времени Аг (обычно за год);
2) разрушения объектов инфраструктуры в результате наводнения.
Для оценки частоты стихийных бедствий необходима информация о частоте и силе наводнений. Частота наводнений на рассматриваемой территории характеризуется величиной {год'1). Условная вероятность разрушения объектов инфраструктуры в результате наводнения вычисляется
* Военная академия Ракетных войск стратегического назначения им. Петра Великого.
по информации о соотношении силы наводнения и стойкости объектов инфраструктуры.
Пусть и — уровень воды в реке, отклонения которого от нормы характеризуют силу наводнений. Будем описывать его зависимостью u(t) (рис. 1а). На конкретные реализации этой зависимости во времени влияет множество факторов. Поэтому указанный процесс будем рассматривать как реализацию некоторого квазидетерминированного случайного процесса U(f). Так как этот процесс разворачивается не только во времени, но и в пространстве, то в общем случае необходимо исследовать случайные поля U(t, х), где х — вектор координат.
Выбросы процесса изменения уровня реки в конкретном пункте U(t\x) представляют собой наводнения, критерием наступления которых является выполнение условия
и > и„,
где ии — некоторый критический уровень.
Наводнения вызываются, как правило, некоторым циклически действующим превалирующим фактором, что обусловливает их цикличность (в частности, паводки случаются каждую весну примерно в одни сроки). Однако при оценке частоты редких событий (ктш «1) годовой цикличностью максимумов процесса можно пренебречь. Катастрофические наводнения обусловлены совпадением ряда неблагоприятных факторов — обильные дожди, таяние снега (в горах также ледников), подпруживание рек льдом, обвалами, оползнями и т. п., прорыв естественных и искусственных плотин, попуски воды из водохранилищ. Особо высокий подъем уровня воды обусловливается сочетанием двух и более факторов.
Силу наводнений определяют, как правило, не временные, а амплитудные значения их параметров. Поэтому будем характеризовать ее уровнями "шах разрушительных факторов (максимальный подъем уровня воды, скоростной напор и другие), определяющими их разрушительное воздействие на объекты инфраструктуры. Ограничившись одномерным случаем, в качестве действующей нагрузки будем рассматривать уровень воды. По совокупности возможных наводнений действующую нагрузку представим случайной величиной Un3K, полной вероятностной характеристикой которой является функция распределения Fraax(«) = P(UmM < и).
Тогда описание процесса изменения уровня реки в целях оценки возможности наступления стихийных бедствий, т. е. описание наводнений по частоте и силе, должно включать (рис. 16):
и, м а)
и , кр i^max fl
иИ
4 L
0
-4 •J
и б> "max
Стихийное бедствие
Наводнение
I, год
I 0 /Стих)
Рис. 1. Фрагмент реализации процесса изменения уровня р. Лена в районе Якутска в 1992—1996 гг. (а) и его аппроксимация (б).
— во времени — поток наводнений (выбросов случайного процесса), рассматриваемых как случайные события, характеризуемый частотой
— по силе — условное распределение /^(¡^Отах > и„) = Р(С/тах < и|С/т„ > «„) наводнений по амплитуде выбросов (распределение максимальных подъемов уровня воды).
Пусть икр — критическая нагрузка (предельный уровень воды), при которой повреждение или разрушение расположенного в зоне возможного затопления объекта еще не наступает. В общем случае критическая нагрузка характеризует стойкость объекта к внешним воздействиям. Характеристика стойкости совпадает с характеристикой уязвимости, которая определяется как критическая нагрузка и'^ = и^, начиная с которой наступает разрушение. Уязвимость объектов зависит от их расположения, типа и глубины фундамента, наличия подвала, материала стен и т. д. Из-за случайного разброса характеристик объектов от образца к образцу, их технического состояния в момент наводнения и других неучитываемых факторов критическую нагрузку по совокупности расположенных в зоне возможного затопления объектов следует рассматривать как случайную величину (7ер. Вероятностной характеристикой критической нагрузки является функция распределения ^р(и) = />(С/кр < и) предельного уровня действия разрушительного фактора для объекта.
Согласно [6], разрушение объектов инфраструктуры наступает при выполнении условия
^Лпах С^кр,
вероятность q = Р( {/тах > 1/кр) выполнения которого является условной вероятностью повреждения (разрушения) объекта при условии, что наводнение в районе его размещения произошло. Величина д вычисляется по заданным законам распределения действующей и критической нагрузок [1].
Тогда среднее число стихийных бедствий по причине наводнений за интервал времени Д/ асЛ(Дг) = л^Д/, где Хс5 — частота стихийных бедствий, определится по формуле
ас6( ДО = атм( ДО?, (1)
гдеатах(А0 =
Для оценки частоты стихийных бедствий при отсутствии достаточной статистики предлагается использовать теоретико-вероятностный метод, основанный на представлении процесса изменения уровня реки в рассматриваемом пункте как случайного и определении частоты наводнений и их распределения по силе -Рт1Х(и) из статистического или вероятностного анализа его измеренной (десятки лет) реализации.
Проведем вначале статистический анализ динамики уровней рек. Для оценки частоты наводнений представим их потоком случайных событий. Поток наводнений, обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия (простейший поток), характеризуется параметром аюис(ДО = А.„«„(О М — математическим ожиданием числа на-
воднений (выбросов случайного процесса за уровень «„) за интервал времени Ы. Оценка частоты наводнений определяется по формуле
AT'
где с!„ — число наводнений, зарегистрированных за интервал времени ДГ » А/.
Так, по статистическим данным об уровнях воды на р. Лена (Якутск) за 61 год и р, Ока (Касимов) за 107 лет получены оценки частоты подтопления земель:
для р. Лена в районе Якутска
**' 67
%шш(ин) = ——: * 1,1 год"'
61 год
для р. Ока в районе Касимова
^тах(Ия) =
36 107 лет
« 0,34 год"
В качестве к„ рассматривался уровень выхода воды на пойму реки (для Якутска ии = 500 см, для Касимова — 750 см). Таким образом, повторяе-
мость (среднее время между наводнениями) t
ср
1/ХП1ИЫ в районах
Якутска и Касимова составляет 0,91 и 2,9 года соответственно.
В фиксированном пункте уровни рек для достаточно продолжительных интервалов времени описываются квазистационарным случайным процессом t/(i|x). Во взятом наугад сечении по t случайный процесс описывается распределением параметров F(u\x) = P(U < ы|х) или для краткости F(u) = = P(U < и).
Определим статистическую функцию распределения F(u) = P(U < и) параметров процесса U(t). Для этого рассмотрим случайную величину U уровня воды в произвольный момент времени (рис. 2). Тогда функция рас-
и
пределения F(u) = P(U < и) = J f(u)du имеет смысл функции непревыше-
™оО
ния уровня и, а R(u) = P(U > и) — функция превышения уровня и. Здесь Ди) — плотность распределения вероятностей уровня подъема (понижения) воды. Тогда, используя метод относительного времени пребывания [3], запишем
P(U > щ)
Щ AT
J \mmnm / \шшш F(u)'P(U<m
¡М1111ШЩ ! чишиж „ Щ-^Ш«I
\J 4ЛГ. >
Рис. 2. Иллюстрация распределений уровня воды в реке и его плотности распределения вероятностей.
где АТк = АТШ — длитель-
ность 1-го' участка, на котором процесс 1/(1) пребывает в области не ниже к-го разряда. На рис. 3 приведены статистические функции распределения F(u) для Якутска и Касимова, а на рис. 4 — соответствующие гистограммы. Их анализ показывает, что рас-
пределения уровней рек относятся к классу распределений с "тяжелыми" правыми хвостами.
Для использования в задаче прогноза частоты таких редких событий, как катастрофическое наводнение, статистическую функцию распределения целесообразно заменить подходящей теоретической с помощью методов проверки статистических гипотез о согласии статистического распределения с теоретическим (задача выравнивания статистических рядов). Согласно методу моментов [4], параметры теоретического распределения выбираются с таким расчетом, чтобы несколько важнейших числовых характеристик (моментов) теоретического распределения б
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.